3.3 Eksponentialfunksjoner | Matematikk for økonomer

Når veksten tar av

Legg ett riskorn på første rute på et sjakkbrett, to på neste, fire på den tredje -- og fortsett å doble. Lenge ser det uskyldig ut, men plutselig eksploderer tallene. Dette er eksponentiell vekst, og den beskrives av en helt egen funksjonstype der variabelen sitter i selve eksponenten.

En eksponentialfunksjon har formen $f(x)=a\cdot b^x$ , der $a\neq 0$ , $b>0$ og $b\neq 1$ . Her er $a$ startverdien, fordi $f(0)=a\cdot b^0=a$ , og $b$ er vekstfaktoren -- tallet vi ganger med for hvert steg. Et spesielt viktig grunntall er Eulers tall $e\approx 2{,}718$ , som gir funksjonen $f(x)=e^x$ og dukker opp naturlig i mange vekstmodeller.

La oss prøve. En bakteriekultur starter med $1000$ bakterier og dobler seg hver time. Da er startverdien $a=1000$ og vekstfaktoren $b=2$ , så $N(t)=1000\cdot 2^t$ . Vi sjekker: $N(0)=1000\cdot 2^0=1000$ , $N(1)=1000\cdot 2^1=2000$ og $N(2)=1000\cdot 2^2=4000$ . Antallet vokser ikke jevnt som på en linje -- det ganger seg oppover, og det er nettopp det som gjør eksponentiell vekst så kraftfull.

Vekstfaktoren forteller alt

Det er vekstfaktoren $b$ som bestemmer om en eksponentialfunksjon vokser eller skrumper. Er $b>1$ , har vi vekst -- grafen stiger og blir brattere og brattere. Er $0<b<1$ , har vi nedgang -- grafen synker og nærmer seg null. Akkurat $b=1$ er forbudt, for da ville ingenting skje.

I praksis kjenner vi ofte en prosent i stedet for en vekstfaktor, og da må vi regne om. Øker noe med $p$ prosent per enhet, blir $\displaystyle b=1+\frac{p}{100}$ . Avtar noe med $p$ prosent, blir $\displaystyle b=1-\frac{p}{100}$ . Tenk på en bil som mister $15\%$ av verdien hvert år og koster $400\,000$ kr ny. Vekstfaktoren er $b=1-0{,}15=0{,}85$ , så verdien følger $V(t)=400\,000\cdot 0{,}85^t$ . Etter fem år er den verdt $V(5)=400\,000\cdot 0{,}85^5\approx 177\,000$ kr.

Motsatt vei vokser sparepenger. Setter du $10\,000$ kr i banken med $3\%$ årlig rente, blir vekstfaktoren $b=1+0{,}03=1{,}03$ , og beløpet følger $K(t)=10\,000\cdot 1{,}03^t$ . Etter tjue år: $K(20)=10\,000\cdot 1{,}03^{20}\approx 18\,061$ kr -- altså rundt $8061$ kr i ren rente. Den lille prosenten gjør stor forskjell når den får virke år etter år.

Grafenes faste vaner

Uansett hvilke tall vi velger, oppfører grafen til $f(x)=a\cdot b^x$ med $a>0$ seg etter noen faste regler. Den krysser alltid $y$ -aksen i startverdien, $f(0)=a$ . Den er alltid positiv -- $f(x)>0$ for alle $x$ -- og har derfor ingen nullpunkter. Og den har en horisontal asymptote ved $y=0$ : grafen nærmer seg $x$ -aksen mer og mer uten noensinne å røre den.

Fortegnet på veksten avgjør retningen. Er $b>1$ , stiger grafen fra venstre mot høyre og blir bratt for store $x$ . Er $0<b<1$ , synker den og kryper nedover mot null. Sammenlign $f(x)=2^x$ og $\displaystyle g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ . Den første vokser, fordi $b=2>1$ ; den andre avtar, fordi $b=0{,}5<1$ . Begge går gjennom $(0,1)$ , og siden $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^x=2^{-x}$ , er de to grafene speilinger av hverandre om $y$ -aksen.

Denne typen funksjon er grunnmuren under alt fra befolkningsvekst og renteberegning til radioaktiv nedbrytning. Vil vi vite hvor lang tid noe bruker på å doble seg eller halvere seg, finnes det egne formler -- doblingstiden er $\displaystyle T=\frac{\ln 2}{\ln b}$ og halveringstiden $\displaystyle T=\frac{\ln 0{,}5}{\ln b}$ -- men de bygger på logaritmer, som er temaet for neste kapittel.

Oppsummering

En eksponentialfunksjon $f(x)=a\cdot b^x$ har variabelen i eksponenten, med $a\neq 0$ , $b>0$ og $b\neq 1$ . Startverdien $a$ er verdien ved $x=0$ , og vekstfaktoren $b$ er tallet vi ganger med for hvert steg. Det naturlige grunntallet $e\approx 2{,}718$ gir den spesielle funksjonen $e^x$ .

Vekstfaktoren styrer retningen: $b>1$ gir vekst, mens $0<b<1$ gir nedgang. Når vi kjenner en prosent, regner vi om med $\displaystyle b=1+\frac{p}{100}$ ved økning og $\displaystyle b=1-\frac{p}{100}$ ved nedgang -- slik fikk bilen $b=0{,}85$ og banksparingen $b=1{,}03$ .

Grafen til en eksponentialfunksjon med $a>0$ er alltid positiv, krysser $y$ -aksen i startverdien, har ingen nullpunkter og nærmer seg den horisontale asymptoten $y=0$ . Denne typen funksjon modellerer vekst og nedgang i bakteriekulturer, bilverdier og bankkontoer -- og legger grunnlaget for logaritmene vi møter i neste kapittel.