3.1 Lineære funksjoner | Matematikk for økonomer

Rette linjer, stigningstall, konstantledd og ettpunktsformelen.

45 min

14 oppgaver

Lineære funksjonerStigningstallKonstantleddEttpunktsformelen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

3.2Andregradsfunksjoner 6.1Kostnadsfunksjoner 7.1Funksjoner av to variabler

Enkel innsetting

Når vi har et matematisk uttrykk, for eksempel $2x + 1$ , så sier vi ofte at $x$ er en variabel. Det er fordi $x$ kan være mange forskjellige verdier (den varierer).

Du kan velge hvilket tall du vil erstatte $x$ med — dette kalles å sette inn en verdi for $x$ .

✏️Eksempel 1

Sett inn $x = 3$ i uttrykkene nedenfor og regn ut hvilken verdi du får.

a) $4x + 1$

b) $-2x + 4$

Løsning:

a) Uttrykket er $4 \cdot x + 1$ . Vi skal sette inn $x = 3$ , det vil si at vi erstatter $x$ med 3:
$4 \cdot 3 + 1 = 12 + 1 = 13$

b) Vi erstatter $x$ med 3 og regner ut:
$-2x + 4 = -2 \cdot 3 + 4 = -6 + 4 = -2$

📝Oppgave 1

Sett inn $x = 2$ i uttrykkene nedenfor og regn ut hvilken verdi du får.

x + 3

3x - 1

-4x + 10

Avhengig og uavhengig variabel

Noen ganger er verdien til en variabel (ofte $y$ ) avhengig av verdien til en annen variabel (ofte $x$ ).

- $x$ kalles den uavhengige variabelen — den kan vi velge fritt
- $y$ kalles den avhengige variabelen — verdien bestemmes av $x$

Eksempel: I uttrykket $y = 2x - 3$ ser vi at:
- Når $x = 4$ : $y = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$
- Når $x = 1$ : $y = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1$

Verdien til $y$ er altså avhengig av hva verdien til $x$ er.

✏️Eksempel 2

Sett inn $x = -2$ i uttrykkene nedenfor og regn ut verdien til $y$ .

a) $y = 2x - 1$

b) $y = -x + 4$

Løsning:

a) Vi setter $-2$ inn for $x$ i uttrykket og regner ut:
$y = 2 \cdot x - 1 = 2 \cdot (-2) - 1 = -4 - 1 = -5$

b) Vi setter $-2$ inn for $x$ i uttrykket og regner ut:
$y = -x + 4 = -(-2) + 4 = 2 + 4 = 6$

📝Oppgave 2

Sett inn $x = -3$ i uttrykkene nedenfor og regn ut hvilken verdi $y$ får.

y = x + 5

y = 2x - 1

y = -4x + 1

Linjer og enkel innsetting

En linje i koordinatsystemet kan beskrives med en «regel» som $y = 2x$ .

Alle punkter på linjen følger denne regelen:
- Når $x = 1$ : $y = 2 \cdot 1 = 2$ → punktet $(1, 2)$
- Når $x = 3$ : $y = 2 \cdot 3 = 6$ → punktet $(3, 6)$
- Når $x = -2$ : $y = 2 \cdot (-2) = -4$ → punktet $(-2, -4)$

For å tegne en linje kan vi:
1. Velge noen $x$ -verdier (f.eks. 3 verdier spredt utover)
2. Beregne tilhørende $y$ -verdier
3. Markere punktene i koordinatsystemet
4. Tegne en rett linje gjennom punktene

📊Linjen $y = 2x$

Linjen $y = 2x$ med noen punkter markert.

✏️Eksempel 3

Tegn linjen som følger «regelen» $y = 2x - 2$ i et koordinatsystem fra $x = -4$ til $x = 5$ .

Løsning:

Vi begynner med å finne 3 punkter som følger regelen $y = 2x - 2$ .

Jeg velger $x = -3$ , $x = 0$ og $x = 4$ (spredt utover).

For $x = -3$ :
$y = 2 \cdot (-3) - 2 = -6 - 2 = -8$
Første punkt: $(-3, -8)$

For $x = 0$ :
$y = 2 \cdot 0 - 2 = 0 - 2 = -2$
Andre punkt: $(0, -2)$

For $x = 4$ :
$y = 2 \cdot 4 - 2 = 8 - 2 = 6$
Tredje punkt: $(4, 6)$

Vi markerer punktene i koordinatsystemet og tegner en rett linje gjennom dem.

📊Eksempel 3: $y = 2x - 2$

Linjen $y = 2x - 2$ med de beregnede punktene.

Tips: Valg av $x$ -verdier

Vi kan velge hvilke $x$ -verdier vi vil, men for å tegne en best mulig linje er det lurt å velge $x$ -verdier som er spredt utover koordinatsystemet.

God praksis:
- Velg én negativ verdi (f.eks. $x = -3$ )
- Velg $x = 0$ (gir skjæringspunktet med $y$ -aksen)
- Velg én positiv verdi (f.eks. $x = 4$ )

📝Oppgave 3

Tegn et koordinatsystem og bruk metoden i eksempelet ovenfor til å tegne grafene til:

y = 2x + 1

y = x - 2

y = -2x + 3

Stigningstall og konstantledd

Linjer i koordinatsystemet beskrives ofte på formen:

$y = ax + b$

Her kaller vi:
- $a$ for stigningstallet
- $b$ for konstantleddet

Eksempel: I linjen $y = 2x + 1$ er stigningstallet $a = 2$ og konstantleddet $b = 1$ .

Konstantleddet

b

Stigningstallet

a

📊Stigningstall og konstantledd

Linjen $y = 2x + 1$ med stigningstall $a = 2$ og konstantledd $b = 1$ .

Hvordan lese av stigningstallet fra grafen

For linjen $y = 2x + 1$ :
- Start i et punkt på linjen, f.eks. $(0, 1)$
- Gå 1 enhet til høyre (langs $x$ -aksen)
- Se hvor mye du må gå opp/ned for å treffe linjen igjen

I dette tilfellet må vi gå 2 opp → stigningstallet er $a = 2$ .

Bruker vi uttrykket $y = 2x + 1$ ser vi at dersom $x$ øker med 1, så øker $y$ med 2:
- $x = 0$ : $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$
- $x = 1$ : $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ (økning på 2)

✏️Eksempel 4

Tegn grafen til linjen $y = -3x + 4$

Her er stigningstallet $a = -3$ og konstantleddet $b = 4$ .

Løsning:

Skritt 1: Tegn koordinatsystemet og marker et punkt med konstantleddet på $y$ -aksen.

I dette tilfellet er konstantleddet $b = 4$ , så vi markerer punktet $(0, 4)$ .

Skritt 2: Beveg deg 1 til høyre og opp/ned stigningstallet.

Stigningstallet er $a = -3$ , så vi beveger oss 1 til høyre og 3 ned. Vi får punktet $(1, 1)$ .

Skritt 3: Ta frem en linjal og tegn linjen som går gjennom de 2 punktene.

Du har nå tegnet linjen $y = -3x + 4$ .

📊Eksempel 4: $y = -3x + 4$

Linjen $y = -3x + 4$ tegnet ved hjelp av konstantledd og stigningstall.

📝Oppgave 4

Tegn et koordinatsystem og bruk metoden i eksempelet ovenfor til å tegne grafene til:

y = 3x + 1

y = x - 2

y = -x + 1

📝Oppgave 5

Se på grafene og bestem konstantleddet $b$ og stigningstallet $a$ . Skriv deretter funksjonsuttrykket $y = ax + b$ .

📝Oppgave 6

Bestem stigningstall $a$ og konstantledd $b$ for hver av grafene under. Skriv funksjonsuttrykket $y = ax + b$ .

Oppsummering

For en lineær funksjon $y = ax + b$ :

Begrep	Betydning	Hvordan finne fra graf
Konstantledd $b$	Skjæring med $y$ -aksen	Les av $y$ -verdien der linjen krysser $y$ -aksen
Stigningstall $a$	Hvor mye $y$ endres når $x$ øker med 1	Gå 1 til høyre, tell opp/ned til linjen

Huskeregel:
-

a > 0

: Linjen stiger (oppover mot høyre)
-

a < 0

: Linjen synker (nedover mot høyre)

- $a = 0$ : Horisontal linje

📝Oppgave 7

Blandede oppgaver om lineære funksjoner.

Hva er stigningstallet og konstantleddet til $y = 5x - 2$ ?

Hva er stigningstallet og konstantleddet til $y = -x + 7$ ?

En linje har stigningstall 3 og konstantledd $-4$ . Skriv funksjonsuttrykket.

En linje går gjennom $(0, 5)$ og $(1, 2)$ . Finn stigningstallet og skriv funksjonsuttrykket.

📝Oppgave 8

Utfordringsoppgaver.

En linje går gjennom punktene $(2, 7)$ og $(4, 13)$ . Finn stigningstallet.

Bruk svaret fra a) til å finne konstantleddet. (Hint: Sett inn et av punktene)

Skriv funksjonsuttrykket for linjen.

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Disse oppgavene tester forståelsen din av kapittelet.

Finn feilen. En medstudent skriver i et notat: "Stigningstallet til en linje er

\Delta y - \Delta x

." Hva er feil? Skriv den riktige formelen, og forklar med ord hva stigningstallet betyr praktisk for en linje som beskriver kostnad som funksjon av antall enheter.

Forklar uten å regne. Hvorfor har to parallelle linjer alltid nøyaktig samme stigningstall? Hva er da forskjellen mellom dem rent matematisk? Bruk et hverdagsbilde for å illustrere.

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Lineære funksjoner

Begrep/Regel	Formel
Generell form	$f(x) = ax + b$
Stigningstall	$a$ — hvor mye $y$ endres når $x$ øker med 1
Konstantledd	$b$ — skjæring med $y$ -aksen i $(0, b)$
Stigningstall fra to punkter	$a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Et-punktsformelen	$y - y_1 = a(x - x_1)$
To-punktsformelen	$y - y_1 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$
Nullpunkt	$x = -\dfrac{b}{a}$ (når $a \neq 0$ )
Parallelle linjer	Samme stigningstall: $a_1 = a_2$
Normale linjer	$a_1 \cdot a_2 = -1$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.