3.1 Lineære funksjoner | Matematikk for økonomer

Rette linjer, stigningstall, konstantledd og ettpunktsformelen.

45 min

14 oppgaver

Lineære funksjonerStigningstallKonstantleddEttpunktsformelen

Du leser den lesevennlige versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

En regel som lager tall

Tenk deg at du tar en taxi der prisen følger en fast regel. Akkurat slik fungerer et matematisk uttrykk som $2x+1$ : bokstaven $x$ er en variabel, et tall vi får velge selv, og uttrykket regner det om til et svar. Når vi bestemmer oss for en verdi for $x$ , sier vi at vi setter inn den verdien.

La oss prøve med $x=3$ . I uttrykket $4x+1$ bytter vi rett og slett $x$ med tallet $3$ og regner: $4\cdot 3 + 1 = 12 + 1 = 13$ . Og i $-2x+4$ får vi $-2\cdot 3 + 4 = -6 + 4 = -2$ . Det handler bare om å erstatte bokstaven med tallet og følge regnerekkefølgen -- multiplikasjon før addisjon.

Ofte gir vi svaret et eget navn, $y$ . Da skriver vi for eksempel $y=2x-3$ , og sier at $y$ er avhengig av $x$ . Her er $x$ den uavhengige variabelen, den vi velger fritt, mens $y$ er den avhengige -- verdien faller ut av regelen. Velger vi $x=4$ , blir $y=2\cdot 4 - 3 = 5$ ; velger vi $x=1$ , blir $y=2\cdot 1 - 3 = -1$ . Pass godt på fortegnene: setter vi $x=-2$ inn i $y=-x+4$ , blir det $-(-2)+4 = 2+4 = 6$ .

Fra regel til rett linje

Det fine er at en slik regel ikke bare gir løse tall -- den tegner en linje i koordinatsystemet. Ta regelen $y=2x$ . Hvert punkt på linjen følger regelen: $x=1$ gir $y=2$ , altså punktet $(1,2)$ ; $x=3$ gir punktet $(3,6)$ ; og $x=-2$ gir $(-2,-4)$ . Når vi markerer disse punktene og trekker en strek gjennom dem, dukker linjen opp.

Metoden er alltid den samme. Vi velger noen $x$ -verdier som er spredt utover, regner ut tilhørende $y$ -verdier, setter punktene i koordinatsystemet og trekker en rett linje. Et godt knep er å velge én negativ verdi, $x=0$ , og én positiv verdi. La oss tegne $y=2x-2$ fra $x=-3$ til $x=4$ . For $x=-3$ får vi $y=2\cdot(-3)-2 = -8$ , så $(-3,-8)$ . For $x=0$ får vi $y=-2$ , altså $(0,-2)$ . For $x=4$ får vi $y=2\cdot 4 - 2 = 6$ , altså $(4,6)$ . Tre punkter er nok til en sikker linje.

Grunnen til at $x=0$ er så nyttig, er at det gir oss punktet der linjen krysser $y$ -aksen helt gratis. Det punktet skal vi snart se har en helt egen betydning.

📝Oppgave Quiz 1

Stigningstall og konstantledd

De fleste linjer skriver vi på den ryddige formen $y = ax + b$ . Her har de to tallene hvert sitt navn og hver sin jobb. Tallet $b$ kaller vi konstantleddet, og $a$ kaller vi stigningstallet. I linjen $y=2x+1$ er altså $a=2$ og $b=1$ .

Konstantleddet $b$ forteller hvor linjen skjærer $y$ -aksen. Det gir mening: på $y$ -aksen er $x=0$ , og da blir $y = a\cdot 0 + b = b$ . Skjæringspunktet er derfor alltid $(0,b)$ . Stigningstallet $a$ forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med $1$ . Er $a>0$ , stiger linjen mot høyre; er $a<0$ , synker den; er $a=0$ , er den vannrett. For $y=2x+1$ betyr $a=2$ at hver gang vi går ett steg til høyre, går vi to opp: fra $(0,1)$ til $(1,3)$ .

Det gjør tegningen lekende lett. For $y=-3x+4$ starter vi i konstantleddet $(0,4)$ , og siden $a=-3$ går vi ett til høyre og tre ned, til $(1,1)$ . To punkter, og linjalen gjør resten. Motsatt vei kan vi lese en graf: finn først hvor den krysser $y$ -aksen (det er $b$ ), gå så ett til høyre og tell opp eller ned til linjen igjen (det er $a$ ). Krysser den i $(0,-3)$ og går to opp per steg, er regelen $y=2x-3$ .

📝Oppgave Quiz 2

Linjer i økonomien

Nå blir det praktisk. Et taxiselskap tar $50$ kr i startpris og $15$ kr per kilometer. Prisen følger en lineær regel: $P(x) = 50 + 15x$ , der $x$ er antall kilometer. Her er startprisen $50$ konstantleddet, og kilometerprisen $15$ stigningstallet. En tur på $8$ km koster $P(8) = 50 + 15\cdot 8 = 170$ kr. Ble regningen $230$ kr, løser vi $50 + 15x = 230$ , som gir $15x = 180$ og dermed $x=12$ km.

Stigningstallet har her en konkret betydning: det er prisen per ekstra kilometer, det vi kaller marginalkostnaden. Den vanlige feilen er å tro at stigningstallet er en differanse, $\Delta y - \Delta x$ . Det er feil -- stigningstallet er et forhold, en brøk: $\displaystyle a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .

Dette gjør det lett å sammenligne valg. To bedrifter selger samme vare. Bedrift A har en fast oppstartskostnad på $50$ kr og tar $10$ kr per enhet, så $K_A(x) = 50 + 10x$ . Bedrift B har ingen oppstart, men tar $20$ kr per enhet, så $K_B(x) = 20x$ . Når er de like dyre? Vi setter $50 + 10x = 20x$ , som gir $50 = 10x$ og $x=5$ enheter. Da koster begge $K_A(5) = 100$ kr. Trenger du bare $3$ enheter, er B billigst: $K_B(3) = 60$ kr mot $K_A(3) = 80$ kr. To parallelle linjer har forresten alltid samme stigningstall; det er bare konstantleddet -- starthøyden -- som skiller dem.

📝Oppgave Quiz 3

Oppsummering

En lineær funksjon er en regel $y=ax+b$ som gjør et valgt tall $x$ om til et svar $y$ , og som tegner en rett linje i koordinatsystemet. Vi finner punkter ved å sette inn verdier for $x$ og regne ut $y$ , og en linje er sikkert tegnet med tre punkter som er spredt utover.

De to tallene styrer alt. Konstantleddet $b$ er der linjen skjærer $y$ -aksen, i punktet $(0,b)$ . Stigningstallet $a$ er hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med $1$ , regnet som forholdet $\displaystyle a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ -- aldri en differanse. Er $a>0$ stiger linjen, er $a<0$ synker den.

I økonomien blir disse begrepene konkrete: konstantleddet er en fast startkostnad, og stigningstallet er kostnaden per ekstra enhet, altså marginalkostnaden. Når vi setter to slike kostnadsfunksjoner lik hverandre, finner vi punktet der det lønner seg å bytte valg -- og parallelle linjer, med likt stigningstall, skiller seg bare i starthøyden $b$ .

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.