7.1 Funksjoner av to variabler

Når én variabel ikke er nok

Tenk deg at du driver en liten bedrift. Du har sett på kostnaden $K(x)$ som funksjon av hvor mange enheter $x$ du produserer -- én variabel inn, ett tall ut. Men virkeligheten er sjelden så enkel. For å produsere trenger du både kapital og arbeidskraft. En kunde kjøper flere goder samtidig. Etterspørselen etter en vare avhenger både av prisen og av hvor mye folk tjener. Vi trenger derfor funksjoner som tar imot flere tall på én gang.

En funksjon av to variabler er nettopp en regel som til hvert tallpar $(x,y)$ tilordner ett entydig tall $z=f(x,y)$. Mengden av tillatte tallpar kaller vi definisjonsmengden $D$, en delmengde av planet $\mathbb{R}^2$, og mengden av alle utgangsverdier kaller vi verdimengden. Vi skriver $f:D\to\mathbb{R}$. Variablene $x$ og $y$ er de uavhengige, mens $z$ er den avhengige.

Å regne ut en funksjonsverdi er like enkelt som før: vi setter tallene rett inn. La $f(x,y)=3x^2+2xy-y^2$. Da blir $f(2,1)=3\cdot 4+2\cdot 2\cdot 1-1=12+4-1=15$, og $f(-1,2)=3\cdot 1+2\cdot(-1)\cdot 2-4=3-4-4=-5$. Det krevende er ikke regningen, men å venne seg til at to størrelser nå spiller sammen samtidig.

Økonomiske funksjoner og Cobb-Douglas

I økonomien dukker funksjoner av to variabler opp under mange navn. En produktfunksjon $Q=f(K,L)$ forteller hvor mye en bedrift produserer med kapital $K$ og arbeidskraft $L$. En nyttefunksjon $U(x,y)$ beskriver hvor fornøyd en konsument er med mengdene $x$ og $y$ av to goder. En kostnadsfunksjon $C(x,y)$ gir totalkostnaden ved å lage to varer, og en etterspørselsfunksjon $D(p,m)$ knytter etterspurt mengde til pris $p$ og inntekt $m$.

Den mest berømte produktfunksjonen er Cobb-Douglas: $Q(K,L)=AK^{\alpha}L^{\beta}$. La oss prøve $Q(K,L)=10K^{0{,}4}L^{0{,}6}$ med $K=16$ og $L=81$. Med $16^{0{,}4}\approx 3{,}031$ og $81^{0{,}6}\approx 13{,}967$ får vi $Q\approx 10\cdot 3{,}031\cdot 13{,}967\approx 423{,}4$. Her er det lurt å bruke potensregelen $(ab)^n=a^n b^n$ og holde konstanten og hver potens for seg.

Det vakre skjer når vi dobler begge innsatsfaktorene. Da blir $Q(2K,2L)=10\cdot(2K)^{0{,}4}(2L)^{0{,}6}=2^{0{,}4}\cdot 2^{0{,}6}\cdot Q(K,L)=2^{1}\cdot Q(K,L)$. Produksjonen dobles altså! Dette kalles konstant skalaavkastning, og det henger sammen med at eksponentene summerer til $0{,}4+0{,}6=1$. Generelt gjelder $Q(tK,tL)=t^{\alpha+\beta}Q(K,L)$.

Definisjonsmengde: hvor er funksjonen lov?

Et uttrykk gir ikke alltid mening. Vi kan ikke dele på null, ikke ta kvadratrot av et negativt tall, og ikke ta logaritmen av noe som ikke er positivt. Definisjonsmengden til $f(x,y)$ er nettopp alle tallpar $(x,y)$ der uttrykket gir et reelt tall. I økonomi kommer det gjerne en ekstra restriksjon på toppen: mengder og priser er ikke-negative.

La oss se på tre tilfeller. For $f(x,y)=\dfrac{xy}{x-y}$ må nevneren ikke være null, så $x-y\neq 0$, altså $y\neq x$. For $g(x,y)=\sqrt{16-x^2-y^2}$ må uttrykket under rottegnet være $\geq 0$, så $x^2+y^2\leq 16$ -- en sirkelskive med radius $4$ rundt origo. Og for $h(x,y)=\ln(x+y-1)$ må argumentet være $>0$, altså $x+y>1$, som er området over linjen $y=1-x$.

Økonomisk kontekst kan forsterke dette. En nyttefunksjon $U(x,y)=\ln x+2\ln y$ krever matematisk at $x>0$ og $y>0$, og det samme krever økonomien fordi mengdene må være positive. Definisjonsmengden blir da hele det åpne første kvadranten, der både $x$ og $y$ er positive. Begge tolkninger peker på det samme stedet.

Nivåkurver: kart over flaten

Grafen til en funksjon av to variabler er en flate i rommet -- vanskelig å tegne på flatt papir. Heldigvis finnes et triks du allerede kjenner fra turkart med høydekurver og værkart med isobarer: nivåkurver. En nivåkurve på nivå $c$ er alle $(x,y)$ der $f(x,y)=c$, altså der funksjonen har samme verdi.

For en lineær funksjon som $f(x,y)=2x+3y$ setter vi $2x+3y=c$ og løser for $y$: $y=-\tfrac{2}{3}x+\tfrac{c}{3}$. For $c=0,6,12$ får vi tre rette linjer, alle med samme stigning $-\tfrac{2}{3}$ -- parallelle linjer. Slik er det alltid for lineære funksjoner: nivåkurvene blir parallelle rette linjer.

Mer spennende blir det for produktfunksjonen $Q(K,L)=KL$. Setter vi $KL=Q$ får vi $L=Q/K$, altså hyperbler i første kvadrant. For $Q=9$ kan bedriften velge $(K,L)=(1,9)$, $(3,3)$ eller $(9,1)$ -- alle gir samme produksjon. Disse nivåkurvene har egne navn: isokvanter for produktfunksjoner, indifferenskurver for nyttefunksjoner, og isokostkurver for kostnadsfunksjoner. En konsument er indifferent mellom alle punkter på samme indifferenskurve, og jo lenger ut fra origo, jo høyere nytte. Samme mønster ser vi for nyttefunksjonen $U(x,y)=xy$, der $U=1,4,9$ også gir hyperbler stadig lenger fra origo.

Oppsummering

En funksjon av to variabler tilordner ett tall $z=f(x,y)$ til hvert tallpar, og vi regner ut verdier ved å sette tallene rett inn. I økonomien møter vi dem som produktfunksjoner $Q(K,L)$, nyttefunksjoner $U(x,y)$, kostnadsfunksjoner og etterspørselsfunksjoner. Den sentrale Cobb-Douglas-funksjonen $Q=AK^{\alpha}L^{\beta}$ har konstant skalaavkastning når $\alpha+\beta=1$, slik at $Q(tK,tL)=t^{\alpha+\beta}Q$.

Definisjonsmengden er alle tallpar der uttrykket gir mening: nevner $\neq 0$, rot-argument $\geq 0$, log-argument $>0$, og ofte $x,y\geq 0$ i økonomisk sammenheng. Til slutt lar nivåkurvene $f(x,y)=c$ oss kartlegge den tredimensjonale flaten på papir. Lineære funksjoner gir parallelle linjer, mens Cobb-Douglas og $U=xy$ gir hyperbler -- isokvanter, indifferenskurver og isokostkurver alt etter hvilken funksjon vi ser på. Med dette grunnlaget er vi klare for å spørre hvor raskt slike funksjoner endrer seg, gjennom partiell derivasjon i neste kapittel.