7.3 Stasjonære punkter og andrederiverttest | Matematikk for økonomer

Stasjonære punkter, Hessian-determinanten og klassifisering av lokale ekstrema og sadelpunkter.

60 min

16 oppgaver

Stasjonært punktHessianLokalt maksimumLokalt minimumSadelpunktProfittmaksimering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.2Partielle deriverte

Brukes videre i

7.4Lagranges multiplikatormetode

I økonomien jakter vi ofte på toppunkter og bunnpunkter for funksjoner av flere variabler: hvilken kombinasjon av priser gir maksimal inntekt? Hvilken kombinasjon av innsatsfaktorer minimerer kostnaden? Hvilken produktmiks gir høyest profitt? Vi skal nå utvide derivasjonsteorien fra én variabel slik at vi kan finne og klassifisere slike punkter for funksjoner av to variabler.

Stasjonært punkt

(a, b)

📜Førsteordens nødvendige betingelse

Hvis

f(x, y)

har et lokalt maksimum eller minimum i et indre punkt

(a, b)

av definisjonsmengden, og

f

er deriverbar i

(a, b)

, så er

f_x(a, b) = 0 \quad \text{og} \quad f_y(a, b) = 0.

✏️Eksempel 1 — Finn stasjonære punkter

Finn alle stasjonære punkter til $f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13$ .

Førsteordens deriverte:

f_x = 2x - 4

f_y = 2y - 6

Sett begge lik null:
$2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$
$2y - 6 = 0 \Rightarrow y = 3$

Det er ett stasjonært punkt: $(2, 3)$ .

Vi kan kontrollere: $f(2, 3) = 4 + 9 - 8 - 18 + 13 = 0$ . Faktisk kan vi skrive $f(x, y) = (x-2)^2 + (y-3)^2$ , som er en sum av kvadrater. Minimum er $0$ i punktet $(2, 3)$ .

Å finne stasjonære punkter er ett trinn, men vi vil vite om de er maksima, minima eller noe annet. I én variabel brukte vi andrederivertesten: $f''(a) > 0$ gav minimum, $f''(a) < 0$ gav maksimum. Med to variabler er det ikke nok å se på $f_{xx}$ og $f_{yy}$ — vi må også vite hvordan funksjonen krummer i diagonal retning. Det styres av krysspartialene $f_{xy}$ .

Hessian-determinant

(a, b)

📜Andreordens test for to variabler

Anta at $(a, b)$ er et stasjonært punkt og at andreordens partielle deriverte er kontinuerlige. La $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$ evaluert i $(a, b)$ .

- $D > 0$ og $f_{xx} > 0$ : $(a, b)$ er et lokalt minimum
- $D > 0$ og $f_{xx} < 0$ : $(a, b)$ er et lokalt maksimum
- $D < 0$ : $(a, b)$ er et sadelpunkt
- $D = 0$ : testen er ubestemt — vi må undersøke nærmere

Et sadelpunkt er et stasjonært punkt der funksjonen verken har lokalt maksimum eller minimum. Den krummer oppover i én retning og nedover i en annen — som en hestesadel. Eksempel: $f(x, y) = x^2 - y^2$ i origo. Her er $f$ konveks langs $x$ -aksen ( $x^2$ ) og konkav langs $y$ -aksen ( $-y^2$ ). I produksjonsøkonomi kan sadelpunkter dukke opp når man har flere lokalt optimale strategier som krysser hverandre.

✏️Eksempel 2 — Klassifiser stasjonært punkt

Klassifiser det stasjonære punktet $(2, 3)$ for $f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13$ fra Eksempel 1.

Andreordens:

f_{xx} = 2

f_{yy} = 2

f_{xy} = 0

Hessian-determinant:
$D = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0$

Siden $D > 0$ og $f_{xx} = 2 > 0$ , er $(2, 3)$ et lokalt minimum med funksjonsverdi $f(2, 3) = 0$ .

(Faktisk er det også et globalt minimum, siden funksjonen er en sum av kvadrater.)

✏️Eksempel 3 — Sadelpunkt

Finn og klassifiser alle stasjonære punkter for $f(x, y) = x^2 - y^2$ .

Førsteordens:

f_x = 2x = 0 \Rightarrow x = 0

f_y = -2y = 0 \Rightarrow y = 0

Eneste stasjonære punkt: $(0, 0)$ .

Andreordens:
$f_{xx} = 2, f_{yy} = -2, f_{xy} = 0$

$D = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4 < 0$

$(0, 0)$ er et sadelpunkt.

Dette stemmer godt med formen til funksjonen: langs $x$ -aksen er $f(x, 0) = x^2$ (oppover-parabel) og langs $y$ -aksen er $f(0, y) = -y^2$ (nedover-parabel).

📝Oppgave 1

Finn alle stasjonære punkter

f(x, y) = x^2 + y^2

f(x, y) = 4x - x^2 + y^2

f(x, y) = x^2 - 2x + y^2 + 4y

f(x, y) = xy - x - y

✏️Eksempel 4 — Lokalt maksimum

Finn og klassifiser stasjonære punkter for $f(x, y) = -x^2 - y^2 + 6x + 8y - 5$ .

Førsteordens:

f_x = -2x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3

f_y = -2y + 8 = 0 \Rightarrow y = 4

Stasjonært punkt: $(3, 4)$ .

Andreordens:
$f_{xx} = -2, f_{yy} = -2, f_{xy} = 0$

$D = (-2)(-2) - 0^2 = 4 > 0, \quad f_{xx} = -2 < 0$

$(3, 4)$ er et lokalt maksimum. Funksjonsverdi: $f(3, 4) = -9 - 16 + 18 + 32 - 5 = 20$ .

📝Oppgave 2

Finn og klassifiser alle stasjonære punkter

f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y

f(x, y) = -x^2 - 2y^2 + 4x + 8y

f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y

f(x, y) = xy

✏️Eksempel 5 — Profittmaksimering med to produkter

En bedrift produserer to varer. Profittfunksjonen er

\pi(x, y) = 10x + 8y - x^2 - 2xy - y^2.

Finn den produktmiksen som maksimerer profitten, og beregn maksimal profitt.

Førsteordens betingelser:

\pi_x = 10 - 2x - 2y = 0 \Rightarrow x + y = 5

\pi_y = 8 - 2x - 2y = 0 \Rightarrow x + y = 4

Konklusjon: Systemet er inkonsistent ( $5 \neq 4$ ), så det finnes ingen stasjonære punkter. Maksimum kan ikke ligge i et indre punkt; det må eventuelt søkes på randen ( $x = 0$ eller $y = 0$ ).

Teknisk sett betyr dette at maksimum av en slik konkav funksjon vil ligge på randen — i praksis at den optimale strategien er å produsere kun én av de to varene. Vi løser delproblemene:
- Setter $y = 0$ : $\pi(x, 0) = 10x - x^2$ , maks ved $x = 5$ , $\pi = 25$
- Setter $x = 0$ : $\pi(0, y) = 8y - y^2$ , maks ved $y = 4$ , $\pi = 16$

Bedriften bør produsere kun vare A med $x = 5$ , og profitten blir $25$ .

Når førsteordens betingelser har ingen løsning

Det er ikke uvanlig at systemet $f_x = 0, f_y = 0$ er inkonsistent — det betyr bare at funksjonen ikke har stasjonære punkter i det indre. I økonomiske oppgaver må vi da sjekke randpunktene (typisk $x \geq 0, y \geq 0$ ), eller bruke metoder for problem med bibetingelser (Lagranges metode, kapittel 7.4).

✏️Eksempel 6 — Profittmaksimering, konsistent system

En bedrift har profittfunksjon

\pi(x, y) = 40 x + 60 y - x^2 - xy - 2 y^2 - 50.

Finn optimal produksjon og maksimal profitt.

Førsteordens:

\pi_x = 40 - 2x - y = 0

\pi_y = 60 - x - 4y = 0

Fra første ligning: $y = 40 - 2x$ . Setter inn i andre:
$60 - x - 4(40 - 2x) = 0$
$60 - x - 160 + 8x = 0$
$7x = 100 \Rightarrow x = \dfrac{100}{7} \approx 14{,}29$

$y = 40 - 2 \cdot \dfrac{100}{7} = \dfrac{280 - 200}{7} = \dfrac{80}{7} \approx 11{,}43$

Andreordens:
$\pi_{xx} = -2, \pi_{yy} = -4, \pi_{xy} = -1$
$D = (-2)(-4) - (-1)^2 = 8 - 1 = 7 > 0, \quad \pi_{xx} = -2 < 0$

Dette er et lokalt maksimum.

Maksimal profitt:
$\pi\!\left(\tfrac{100}{7}, \tfrac{80}{7}\right) = 40 \cdot \tfrac{100}{7} + 60 \cdot \tfrac{80}{7} - \left(\tfrac{100}{7}\right)^2 - \tfrac{100}{7} \cdot \tfrac{80}{7} - 2 \left(\tfrac{80}{7}\right)^2 - 50$
$= \tfrac{4000 + 4800}{7} - \tfrac{10000 + 8000 + 12800}{49} - 50 = \tfrac{8800}{7} - \tfrac{30800}{49} - 50$
$= \tfrac{61600 - 30800}{49} - 50 = \tfrac{30800}{49} - 50 \approx 628{,}57 - 50 = 578{,}57$

Optimal produksjon: $x \approx 14{,}29, y \approx 11{,}43$ , maksimal profitt ca. $578{,}57$ kr.

📝Oppgave 3

En bedrift har profittfunksjon $\pi(x, y) = 50 x + 40 y - x^2 - x y - y^2$ .

Finn førsteordens betingelser.

Løs systemet.

Vis at det er et lokalt maksimum.

Beregn maksimal profitt.

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 7 — Kostnadsminimering

En bedrift produserer en vare ved hjelp av to innsatsfaktorer, og totalkostnaden er

C(x, y) = x^2 + 2xy + 3y^2 - 8x - 12y + 100.

Finn det punktet som minimerer kostnaden.

Førsteordens:

C_x = 2x + 2y - 8 = 0 \Rightarrow x + y = 4

C_y = 2x + 6y - 12 = 0 \Rightarrow x + 3y = 6

Trekk: $2y = 2 \Rightarrow y = 1, x = 3$ .

Andreordens:
$C_{xx} = 2, C_{yy} = 6, C_{xy} = 2$
$D = 2 \cdot 6 - 2^2 = 8 > 0, \quad C_{xx} = 2 > 0$

Det er et lokalt minimum.

Minimumskostnad:
$C(3, 1) = 9 + 6 + 3 - 24 - 12 + 100 = 82$

Den optimale innsatsfaktorkombinasjonen er $(3, 1)$ , og minimumskostnaden er $82$ .

📝Oppgave 4

En bedrift har totalkostnad $C(x, y) = x^2 + 2 y^2 + 2xy - 10 x - 14 y + 50$ for produksjon av to varer.

Finn førsteordens betingelser.

Finn det stasjonære punktet.

Vis at det er et lokalt minimum.

Beregn minimumskostnaden.

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 8 — Profitt med to priser

En monopolist selger samme produkt i to markeder med etterspørselen

x_1 = 60 - p_1, \quad x_2 = 40 - 0{,}5 p_2

Konstant marginalkostnad er 10 kr per enhet, faste kostnader 100 kr. Finn de prisene som maksimerer profitten.

Inntekt:

I = p_1 x_1 + p_2 x_2 = p_1(60 - p_1) + p_2(40 - 0{,}5 p_2) = 60 p_1 - p_1^2 + 40 p_2 - 0{,}5 p_2^2

Kostnad:
$C = 10(x_1 + x_2) + 100 = 10(60 - p_1 + 40 - 0{,}5 p_2) + 100 = 1000 - 10 p_1 - 5 p_2 + 100$
$= 1100 - 10 p_1 - 5 p_2$

Profitt:
$\pi(p_1, p_2) = I - C = 60 p_1 - p_1^2 + 40 p_2 - 0{,}5 p_2^2 - 1100 + 10 p_1 + 5 p_2$
$= 70 p_1 - p_1^2 + 45 p_2 - 0{,}5 p_2^2 - 1100$

Førsteordens:
$\pi_{p_1} = 70 - 2 p_1 = 0 \Rightarrow p_1 = 35$
$\pi_{p_2} = 45 - p_2 = 0 \Rightarrow p_2 = 45$

Andreordens:
$\pi_{p_1 p_1} = -2, \pi_{p_2 p_2} = -1, \pi_{p_1 p_2} = 0$
$D = 2 > 0, \pi_{p_1 p_1} < 0$ : lokalt maksimum.

Maksimal profitt: $\pi(35, 45) = 70 \cdot 35 - 35^2 + 45 \cdot 45 - 0{,}5 \cdot 45^2 - 1100 = 2450 - 1225 + 2025 - 1012{,}5 - 1100 = 1137{,}5$ kr.

Prisdifferensiering: Monopolisten setter ofte forskjellige priser i ulike markeder. Den optimale prisen i hvert marked er der grenseinntekten i markedet er lik felles grensekostnad. Det er en direkte konsekvens av at

\pi_{p_1}

\pi_{p_2}

må være null i optimum.

📝Oppgave 5

En monopolist selger to varer som er substitutter. Etterspørselen er
$x_1 = 80 - 2 p_1 + p_2$ og $x_2 = 60 + p_1 - 2 p_2$ . Marginalkostnader er $10$ kr for vare 1 og $5$ kr for vare 2. Faste kostnader ignoreres.

Sett opp profittfunksjonen $\pi(p_1, p_2)$ .

Finn førsteordens betingelser.

Løs systemet og finn optimal pris i hvert marked.

Vis at det er et lokalt maksimum.

✏️Eksempel 9 — Funksjon uten lokalt ekstremum

Vis at $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ har to stasjonære punkter, og klassifiser dem.

Førsteordens:

f_x = 3 x^2 - 3y = 0 \Rightarrow y = x^2

f_y = 3 y^2 - 3x = 0 \Rightarrow x = y^2

Setter inn: $x = (x^2)^2 = x^4 \Rightarrow x^4 - x = 0 \Rightarrow x(x^3 - 1) = 0$ .
Løsninger: $x = 0$ (gir $y = 0$ ) og $x = 1$ (gir $y = 1$ ).

Stasjonære punkter: $(0, 0)$ og $(1, 1)$ .

Andreordens:
$f_{xx} = 6x, f_{yy} = 6y, f_{xy} = -3$

Punkt $(0, 0)$ : $D = 0 - 9 = -9 < 0$ : sadelpunkt.

Punkt $(1, 1)$ : $D = 36 - 9 = 27 > 0, f_{xx} = 6 > 0$ : lokalt minimum med $f(1, 1) = 1 + 1 - 3 = -1$ .

📝Oppgave 6

Finn og klassifiser alle stasjonære punkter for

f(x, y) = x^2 + 4xy + y^2

f(x, y) = x^3 - 12 x + y^2 - 4y

f(x, y) = x^2 y - x^2 - 2y

✏️Eksempel 10 — Pris og kvantum

En produsent kan sette pris $p$ og kjøpt mengde markedsføring $m$ . Etterspørsel er $q = 200 - p + 4\sqrt m$ . Marginalkostnaden er $20$ . Kostnad for markedsføring er $m$ kr per enhet. Faste kostnader = 0. Finn optimal pris og markedsføring.

Inntekt:

I = p \cdot q = p(200 - p + 4\sqrt m)

Kostnad:

C = 20 q + m = 20(200 - p + 4\sqrt m) + m = 4000 - 20 p + 80\sqrt m + m

Profitt:

\pi(p, m) = p(200 - p + 4\sqrt m) - 4000 + 20 p - 80\sqrt m - m

= 200 p - p^2 + 4 p \sqrt m + 20 p - 80\sqrt m - m - 4000

= 220 p - p^2 + (4 p - 80)\sqrt m - m - 4000

Førsteordens:
$\pi_p = 220 - 2p + 4\sqrt m = 0$
$\pi_m = (4p - 80) \cdot \tfrac{1}{2\sqrt m} - 1 = \dfrac{4p - 80}{2\sqrt m} - 1 = 0$

Fra andre ligning: $2 \sqrt m = 4p - 80 \Rightarrow \sqrt m = 2p - 40$ .

Sett inn i første ligning:
$220 - 2p + 4(2p - 40) = 0$
$220 - 2p + 8p - 160 = 0$
$6p + 60 = 0 \Rightarrow p = -10$

Og da $\sqrt m = 2 \cdot (-10) - 40 = -60$ . Begge resultatene er økonomisk meningsløse (negativ pris og negativ kvadratrot).

Konklusjon: Det finnes ingen indre stasjonært punkt med $p \geq 0$ og $m \geq 0$ . Vi må derfor sjekke randen $m = 0$ :
$\pi(p, 0) = (p - 20)(200 - p),$
som maksimeres ved $p = 110$ med profitt $\pi = 90 \cdot 90 = 8100$ .

Bedriften bør velge $p = 110$ og $m = 0$ — dvs. ikke bruke noe på markedsføring. Markedsføringen er rett og slett for dyr i forhold til den marginale etterspørselsøkningen den gir.

📝Oppgave 7

En bedrift har profittfunksjon $\pi(x, y) = 30 x + 20 y - x^2 - y^2 + xy - 10$ .

Finn førsteordens betingelser.

Løs systemet.

Vis at det er et lokalt maksimum.

Beregn maksimal profitt (en desimal).

📝Oppgave 8

Klassifiser alle stasjonære punkter for $f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3$ .

Finn alle stasjonære punkter.

Beregn $f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}$ .

Klassifiser $(0, 0)$ .

Klassifiser $(1, 1)$ .

📜Oppsummering: Andreordens test

Trinn	Beskrivelse
1	Finn $f_x$ og $f_y$
2	Løs systemet $f_x = 0, f_y = 0$ → stasjonære punkter $(a, b)$
3	Beregn $f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}$ i $(a, b)$
4	Regn ut $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$
5	Bruk testen: $D > 0, f_{xx} > 0$ → min; $D > 0, f_{xx} < 0$ → maks; $D < 0$ → sadelpunkt; $D = 0$ → ubestemt

Husk: Globale maksima/minima i et begrenset område kan også ligge på randen av definisjonsmengden — disse må sjekkes separat.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Stasjonært punkt: Der både $f_x = 0$ og $f_y = 0$ (gradienten er null).
- Førsteordensbetingelse: Nødvendig for indre maks/min.
- Hessian-determinanten: $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$ .
- Andrederiverttest: $D$ og $f_{xx}$ avgjør om punktet er maks, min eller sadelpunkt.

Viktige formler

f_x = 0, \quad f_y = 0

D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Stasjonært punkt	$f_x = f_y = 0$
Hessian-determinant	$f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$
Sadelpunkt	Verken maks eller min
Andrederiverttest	Klassifiserer stasjonære punkter

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.