7.3 Stasjonære punkter og andrederiverttest

Topper og bunner i et tovariabel-landskap

Økonomi handler ofte om å finne det beste. Hvilke priser gir maksimal inntekt? Hvilken innsatsfaktorkombinasjon minimerer kostnaden? Hvilken produktmiks gir høyest profitt? Når funksjonen avhenger av to variabler, blir grafen et landskap med fjell, daler og noen merkelige sadelformer. Vi skal lære å finne de flate punktene og avgjøre hva slags punkt vi står i.

Et punkt $(a,b)$ er et stasjonært punkt for $f(x,y)$ dersom begge de partielle deriverte er null der: $f_x(a,b)=0$ og $f_y(a,b)=0$. Vi sier at gradienten $\nabla f(a,b)=(0,0)$. Dette er den førsteordens nødvendige betingelsen: ethvert lokalt maksimum eller minimum i et indre punkt må være stasjonært, akkurat som toppen av en bakke er flat i alle retninger.

La oss finne det stasjonære punktet til $f(x,y)=x^2+y^2-4x-6y+13$. Vi deriverer: $f_x=2x-4$ og $f_y=2y-6$. Setter vi begge lik null får vi $x=2$ og $y=3$. Det er ett stasjonært punkt, $(2,3)$. Faktisk kan funksjonen skrives $f(x,y)=(x-2)^2+(y-3)^2$, en sum av kvadrater, så $(2,3)$ er et minimum med verdi $0$. Men hvordan vet vi det uten å se denne fine omskrivingen?

Andrederiverttesten og Hessian-determinanten

I én variabel klassifiserte vi punkter med fortegnet til $f''$: positiv ga minimum, negativ ga maksimum. Med to variabler er det ikke nok å se på $f_{xx}$ og $f_{yy}$ hver for seg -- vi må også vite hvordan flaten krummer i skrå retning, og det styres av krysspartiellen $f_{xy}$. Svaret samles i Hessian-determinanten $D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2$, regnet ut i det stasjonære punktet.

Reglene er disse. Hvis $D>0$ og $f_{xx}>0$, har vi et lokalt minimum (en dal som buer oppover i alle retninger). Hvis $D>0$ og $f_{xx}<0$, har vi et lokalt maksimum. Hvis $D<0$, har vi et sadelpunkt -- opp i én retning og ned i en annen, som en hesteryggsal. Og hvis $D=0$, er testen ubestemt og vi må undersøke nærmere.

Tilbake til $f(x,y)=x^2+y^2-4x-6y+13$ i punktet $(2,3)$: $f_{xx}=2$, $f_{yy}=2$, $f_{xy}=0$, så $D=2\cdot 2-0^2=4>0$ og $f_{xx}=2>0$ -- et lokalt minimum, akkurat som vi mistenkte. Kontrast: $f(x,y)=x^2-y^2$ har eneste stasjonære punkt $(0,0)$, der $f_{xx}=2$, $f_{yy}=-2$, $f_{xy}=0$, så $D=-4<0$ -- et sadelpunkt. Det stemmer med formen: langs $x$-aksen buer den opp ($f=x^2$), langs $y$-aksen ned ($f=-y^2$).

Profittmaksimering -- når systemet løser seg, og når det ikke gjør det

Nå tar vi metoden inn i økonomien. En bedrift med profittfunksjon $\pi(x,y)=40x+60y-x^2-xy-2y^2-50$ vil finne optimal produksjon. Førsteordens betingelser: $\pi_x=40-2x-y=0$ og $\pi_y=60-x-4y=0$. Fra første ligning er $y=40-2x$. Satt inn i den andre: $60-x-4(40-2x)=0\Rightarrow 7x=100\Rightarrow x=\tfrac{100}{7}$, og $y=\tfrac{80}{7}$. Andreordens: $\pi_{xx}=-2$, $\pi_{yy}=-4$, $\pi_{xy}=-1$, så $D=(-2)(-4)-(-1)^2=7>0$ med $\pi_{xx}<0$ -- et lokalt maksimum. Profitten der blir om lag $62$.

Tilsvarende kan vi minimere en kostnad. For $C(x,y)=x^2+2xy+3y^2-8x-12y+100$ gir $C_x=2x+2y-8=0$ og $C_y=2x+6y-12=0$ løsningen $x=3$, $y=1$. Her er $C_{xx}=2$, $C_{yy}=6$, $C_{xy}=2$, så $D=12-4=8>0$ og $C_{xx}>0$ -- et minimum, med kostnad $C(3,1)=82$.

Men ikke alle problemer har en pen indre løsning. For $\pi(x,y)=10x+8y-x^2-2xy-y^2$ gir betingelsene $x+y=5$ og $x+y=4$ samtidig -- umulig! Systemet er inkonsistent, og det finnes ingen stasjonære punkter. Da må optimum ligge på randen ($x=0$ eller $y=0$). Setter vi $y=0$ blir $\pi=10x-x^2$, maks ved $x=5$ med $\pi=25$; setter vi $x=0$ får vi maks $\pi=16$. Bedriften bør altså produsere kun vare A. I økonomiske oppgaver er det helt vanlig at de partielle deriverte ikke kan bli null samtidig inne i det tillatte området -- da må randen sjekkes, eller vi trenger Lagranges metode fra neste kapittel.

Oppsummering

For å finne topper og bunner til en funksjon av to variabler leter vi først etter stasjonære punkter, der $f_x=0$ og $f_y=0$ samtidig. Dette er den førsteordens nødvendige betingelsen for ethvert indre maksimum eller minimum. Deretter klassifiserer vi punktet med andrederiverttesten ved hjelp av Hessian-determinanten $D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2$: $D>0$ med $f_{xx}>0$ gir minimum, $D>0$ med $f_{xx}<0$ gir maksimum, $D<0$ gir sadelpunkt, og $D=0$ er ubestemt.

I økonomiske anvendelser bruker vi dette til å maksimere profitt og minimere kostnad. Men vi så også at systemet $f_x=0,f_y=0$ noen ganger er inkonsistent og ikke har noen indre løsning -- da må vi sjekke randen av det tillatte området, typisk $x\geq 0$ og $y\geq 0$. Når begrensningen er en likning i seg selv, som et budsjett eller et produksjonsmål, trenger vi en kraftigere metode. Den møter vi i neste kapittel: Lagranges multiplikatormetode.