7.2 Partielle deriverte

Å fryse én variabel om gangen

Tenk deg at du leder en bedrift med både kapital $K$ og arbeidskraft $L$. Du lurer på: hvor mye mer produserer vi hvis vi ansetter én ekstra arbeider, gitt at maskinparken er den samme? Spørsmålet handler om endring i bare én retning, mens alt annet holdes fast. Det er nettopp dette partiell derivasjon måler.

Den partielle deriverte av $f(x,y)$ med hensyn på $x$ skrives $\dfrac{\partial f}{\partial x}$, eller kortere $f_x$. Definisjonen ligner den vanlige deriverte, men nå holder vi $y$ konstant: $f_x=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$. I praksis trenger vi ikke grenseverdien -- regelen er enkel: for å finne $f_x$, behandle $y$ som et tall og deriver som vanlig med hensyn på $x$.

La oss prøve $f(x,y)=3x^2+5xy-2y^2+7$. Når vi deriverer mhp $x$ blir $3x^2\to 6x$, leddet $5xy\to 5y$ (her er $5y$ tallet foran $x$), mens $-2y^2$ og $7$ er rene konstanter og forsvinner. Altså $f_x=6x+5y$. Deriverer vi i stedet mhp $y$, forsvinner $3x^2$, $5xy\to 5x$ og $-2y^2\to -4y$, så $f_y=5x-4y$. Et godt knep: når du deriverer mhp $x$, lat som $y$ er tallet $5$.

Marginalprodukter, grensenytte og grensekostnad

De partielle deriverte har konkrete økonomiske navn. For en produktfunksjon $Q(K,L)$ er $Q_K$ marginalproduktet av kapital (MPK) og $Q_L$ marginalproduktet av arbeidskraft (MPL). For en nyttefunksjon $U(x,y)$ er $U_x$ og $U_y$ grensenyttene, og for en kostnadsfunksjon $C(x,y)$ er $C_x$ og $C_y$ grensekostnadene ved å øke produksjonen av hver vare.

Ta Cobb-Douglas $Q(K,L)=10K^{0{,}3}L^{0{,}7}$. Deriverer vi mhp $K$ får vi $Q_K=10\cdot 0{,}3\,K^{-0{,}7}L^{0{,}7}=3K^{-0{,}7}L^{0{,}7}$, og mhp $L$ blir $Q_L=10\cdot 0{,}7\,K^{0{,}3}L^{-0{,}3}=7K^{0{,}3}L^{-0{,}3}$. $Q_K$ forteller hvor mye ekstra produksjon en ekstra enhet kapital gir.

Grensekostnader kan avhenge av begge varer. For $C(x,y)=500+6x+4y+0{,}05x^2+0{,}03xy+0{,}02y^2$ blir $C_x=6+0{,}1x+0{,}03y$ og $C_y=4+0{,}03x+0{,}04y$. Ved $(100,50)$ er $C_x=6+10+1{,}5=17{,}5$ kr -- det koster ca. 17,50 kr å lage én vare A til, og merk at produksjonen av B påvirker dette via interaksjonsleddet. For nytten $U(x,y)=\sqrt{xy}=x^{1/2}y^{1/2}$ blir $U_x=\tfrac{1}{2}\sqrt{y/x}$ og $U_y=\tfrac{1}{2}\sqrt{x/y}$; ved $(4,9)$ gir det $U_x=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{2}=0{,}75$ og $U_y=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}$.

Andre runde: andreordens partielle deriverte

De partielle deriverte $f_x$ og $f_y$ er selv funksjoner av $x$ og $y$, så vi kan derivere dem på nytt. Det gir andreordens partielle deriverte: $f_{xx}$ (deriver $f_x$ mhp $x$), $f_{yy}$ (deriver $f_y$ mhp $y$), og de to krysspartielle $f_{xy}$ og $f_{yx}$. En vakker overraskelse, Youngs setning, sier at så lenge disse er kontinuerlige, spiller rekkefølgen ingen rolle: $f_{xy}=f_{yx}$.

La oss sjekke det på $f(x,y)=x^3y^2-4xy+y^3$. Førsteordens: $f_x=3x^2y^2-4y$ og $f_y=2x^3y-4x+3y^2$. Andreordens: $f_{xx}=6xy^2$, $f_{yy}=2x^3+6y$, $f_{xy}=6x^2y-4$ og $f_{yx}=6x^2y-4$. Ganske riktig er $f_{xy}=f_{yx}$.

Fortegnet til disse forteller mye om økonomien. For Cobb-Douglas $Q(K,L)=6K^{0{,}5}L^{0{,}5}$ blir $Q_{KK}=-1{,}5K^{-1{,}5}L^{0{,}5}<0$ og $Q_{LL}=-1{,}5K^{0{,}5}L^{-1{,}5}<0$. Negativ andrederivert betyr avtakende marginalprodukt -- hver ny arbeider gir noe ekstra, men gevinsten krymper jo flere du allerede har. Dette er loven om avtakende grenseproduktivitet. Samtidig er $Q_{KL}=1{,}5K^{-0{,}5}L^{-0{,}5}>0$, og positiv krysspartiell betyr at innsatsfaktorene er komplementære: mer arbeidskraft gjør kapitalen mer produktiv. For en nyttefunksjon avgjør fortegnet til $U_{xy}$ på samme måte om to goder er komplementære ($U_{xy}>0$) eller substitutter ($U_{xy}<0$).

Oppsummering

En partiell derivert måler hvordan en funksjon endrer seg når vi varierer én variabel og holder de andre fast. Regelen er enkel: behandle den andre variabelen som en konstant og deriver som vanlig. Resultatene har tunge økonomiske navn -- $Q_K$ og $Q_L$ er marginalprodukter, $U_x$ og $U_y$ grensenytter, $C_x$ og $C_y$ grensekostnader.

Deriverer vi en gang til, får vi andreordens partielle deriverte $f_{xx}$, $f_{yy}$ og de krysspartielle $f_{xy}$ og $f_{yx}$, som er like ved Youngs setning når de er kontinuerlige. Fortegnene bærer mening: $Q_{KK}<0$ og $Q_{LL}<0$ gir avtakende grenseproduktivitet, mens $f_{xy}>0$ betyr komplementære goder og $f_{xy}<0$ substitutter. Disse andreordens størrelsene blir avgjørende når vi i neste kapittel skal avgjøre om et stasjonært punkt er et maksimum, minimum eller sadelpunkt.