5.3 Derivasjon av spesielle funksjoner | Matematikk for økonomer

Eksponentialfunksjoner og logaritmer er sentrale i økonomi for å modellere vekst, renter og avskrivning. Her lærer vi å derivere disse funksjonene.

Derivasjon av eksponentialfunksjoner

\frac{d}{dx}(e^x) = e^x

Tallet $e \approx 2{,}718$ er spesielt fordi $e^x$ er sin egen deriverte. Dette gjør det naturlig i modeller med kontinuerlig vekst.

✏️Kontinuerlig rente

En investering vokser etter $V(t) = 10000 \cdot e^{0{,}05t}$ . Finn $V'(t)$ og tolk resultatet.

Med kjerneregelen der $u = 0{,}05t$ :

$V'(t) = 10000 \cdot e^{0{,}05t} \cdot 0{,}05 = 500 \cdot e^{0{,}05t}$

Tolkning: Vekstfarten øker over tid. Ved $t=0$ : $V'(0) = 500$ kr/år.

Derivasjon av logaritmer

\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}

✏️Derivasjon av ln

Deriver $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ .

Kjernen er $u = x^2 + 1$ med $u' = 2x$ .

$\displaystyle f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$

✏️Kombinert funksjon

Deriver $f(x) = x^2 \cdot e^{-x}$ .

Produktregelen med $g = x^2$ og $h = e^{-x}$ :

$g' = 2x$ og $h' = -e^{-x}$

$f'(x) = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = xe^{-x}(2 - x)$

📝Oppgave 1

Deriver:

f(x) = 3e^x

g(x) = e^{2x}

h(x) = 5 \cdot 2^x

📝Oppgave 2

Deriver:

f(x) = \ln(3x)

g(x) = \ln(x^3)

h(x) = x \ln x

📝Oppgave 3

En befolkning vokser etter $P(t) = 5000 \cdot e^{0{,}03t}$ .

Finn $P'(t)$ .

Hvor stor er veksten etter 10 år?

Når er veksten 300 per år?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Disse oppgavene tester forståelsen din av kapittelet.

Finn feilen. En student deriverer

\ln(x^2)

og får

\displaystyle \frac{1}{x^2}

. Bruk kjerneregelen til å vise at riktig svar er

\displaystyle \frac{2}{x}

. Hvor i argumentet glemte studenten å bruke kjerneregelen?

Forklar betydningen. Hva betyr det at

e^x

er sin egen deriverte, altså at

(e^x)' = e^x

? Hvorfor gjør dette

e^x

til den naturlige basen for kontinuerlig vekst? Knytt forklaringen til at vekstraten i hvert punkt er proporsjonal med funksjonsverdien selv.

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Spesielle derivasjoner

Funksjon	Derivert
$e^x$	$(e^x)' = e^x$ (sin egen deriverte)
$\ln x$	$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ for $x > 0$
$a^x$	$(a^x)' = a^x \ln a$
$\log_a x$	$(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$
$e^{g(x)}$ (kjerneregel)	$(e^{g(x)})' = g'(x) \cdot e^{g(x)}$
$\ln(g(x))$ (kjerneregel)	$(\ln(g(x)))' = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$
Konsekvens	$(e^{kx})' = k e^{kx}$
Konsekvens	$(\ln(kx))' = \dfrac{1}{x}$ (forutsetter $k \neq 0$ )

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Derivasjon av eksponentialfunksjoner: $e^x$ er sin egen deriverte.
- Derivasjon av $a^x$ : Gir $a^x \ln a$ .
- Derivasjon av logaritmer: $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$ .
- Kjerneregelen: Brukes for sammensatte eksponential- og logaritmefunksjoner.

Viktige formler

(e^x)' = e^x, \qquad (a^x)' = a^x \ln a

(\ln x)' = \frac{1}{x}, \qquad (\ln u)' = \frac{u'}{u}

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
$e^x$	Sin egen deriverte
$\ln x$	Derivert $1/x$
$a^x$	Derivert $a^x \ln a$
Kjerneregel	For sammensatte funksjoner