5.3 Derivasjon av spesielle funksjoner

Funksjonene som beskriver vekst

Når vi modellerer renter, investeringer og avskrivninger i økonomi, dukker det stadig opp eksponentialfunksjoner og logaritmer. En investering som forrentes kontinuerlig vokser som $e^{rt}$; en størrelse som vokser saktere og saktere beskrives gjerne med $\ln x$. For å finne hvor raskt slike størrelser endrer seg, må vi kunne derivere dem. Heldigvis har de noen forbløffende elegante derivasjonsregler.

La oss begynne med den mest bemerkelsesverdige funksjonen i matematikken. Eksponentialfunksjonen $e^x$ er sin egen deriverte:

$$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x.$$

Den forandrer seg ikke når du deriverer den. Det er nettopp denne egenskapen som gjør $e$ til naturens valgte vekstkonstant. For et generelt grunntall er det en liten justering: $\displaystyle \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \cdot \ln a$. Når $a = e$ blir $\ln e = 1$, og vi er tilbake til $e^x$.

Kombinerer vi med kjerneregelen fra forrige kapittel, får vi det vi virkelig trenger i økonomi: $\displaystyle \frac{d}{dx}(e^{u(x)}) = e^{u(x)} \cdot u'(x)$. Kjernen $u$ blir bevart i eksponenten, og vi ganger med den deriverte av kjernen. En konsekvens er den hyppig brukte regelen $(e^{kx})' = k\,e^{kx}$.

Eksponentialfunksjoner i praksis

La oss se hvordan dette virker på en ekte investering. Anta at en sum vokser etter $V(t) = 10000 \cdot e^{0{,}05t}$, der $t$ er tiden i år. Hvor raskt vokser den? Vi deriverer med kjerneregelen, der kjernen er $u = 0{,}05t$ med $u' = 0{,}05$:

$$V'(t) = 10000 \cdot e^{0{,}05t} \cdot 0{,}05 = 500 \cdot e^{0{,}05t}.$$

Merk at vekstfarten selv vokser over tid -- det er rentes rente i et nøtteskall. Ved starten, $t = 0$, er $V'(0) = 500\cdot e^0 = 500$ kroner per år. Senere går det fortere.

Ofte støter vi på funksjoner som blander eksponential med polynom. Se på $f(x) = x^2 \cdot e^{-x}$. Her må vi bruke produktregelen fra forrige kapittel, med $g = x^2$ og $h = e^{-x}$. Vi har $g' = 2x$, og for $h$ bruker vi kjerneregelen: $(e^{-x})' = e^{-x}\cdot(-1) = -e^{-x}$. Da blir

$$f'(x) = 2x\cdot e^{-x} + x^2\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = xe^{-x}(2 - x).$$

Legg merke til hvordan vi faktoriserte ut $e^{-x}$ for å rydde opp. Slike kombinasjoner -- produkt- og kjerneregel sammen -- er helt vanlige når vi senere skal drøfte funksjoner og finne topp- og bunnpunkter.

Logaritmer og deres deriverte

Logaritmen er eksponentialfunksjonens motstykke, og den har en uventet pen derivert. For den naturlige logaritmen gjelder

$$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}, \quad x > 0.$$

Det er nesten for enkelt: en logaritme, som vokser så sakte, har en derivert som bare er $1/x$. For en logaritme med annet grunntall blir det $\displaystyle \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x\,\ln a}$.

Det virkelig nyttige kommer når vi kombinerer med kjerneregelen. For en sammensatt logaritme er

$$\frac{d}{dx}(\ln u(x)) = \frac{u'(x)}{u(x)}.$$

Med ord: den deriverte av $\ln$ av noe, er den deriverte av kjernen delt på kjernen selv. La oss bruke den på $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. Her er kjernen $u = x^2 + 1$ med $u' = 2x$. Da blir rett og slett

$$f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}.$$

Vi tar bare kjernens deriverte $2x$ og deler på kjernen $x^2 + 1$. Denne formen -- en brøk med en deriverte over et uttrykk -- vil du gjenkjenne overalt der logaritmer dukker opp. Og siden $e^x$ og $\ln x$ er hverandres inverse, henger derivasjonsreglene deres tett sammen og dukker stadig opp side om side i økonomiske modeller for vekst og avtakende utbytte.

Oppsummering

Vekstens egne funksjoner har overraskende elegante deriverte. Eksponentialfunksjonen $e^x$ er sin egen deriverte, $(e^x)' = e^x$, mens et generelt grunntall gir $(a^x)' = a^x\ln a$. Med kjerneregelen blir $(e^{u})' = e^{u}\cdot u'$, så for eksempel $(e^{kx})' = k\,e^{kx}$ -- som vi brukte til å vise at en investering $V(t) = 10000\,e^{0{,}05t}$ har vekstfart $V'(t) = 500\,e^{0{,}05t}$.

Logaritmen er motstykket: $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$, og med kjerneregelen $\displaystyle (\ln u)' = \frac{u'}{u}$, slik at $\ln(x^2+1)$ har derivert $\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}$. Når disse blandes med produktregelen -- som i $x^2 e^{-x}$ -- kan vi derivere nær sagt hvilken som helst funksjon vi møter i økonomiske vekstmodeller. Verktøykassen er nå komplett nok til at vi i de neste kapitlene kan begynne å drøfte funksjoner og løse optimeringsproblemer.