5.2 Derivasjonsregler

Slutt å regne grenseverdier hver gang

I forrige kapittel regnet vi ut den deriverte fra definisjonen -- med grenseverdier og bokstaven $h$ som krympet mot null. Det fungerer, men det er tungvint. Tenk deg å gjøre det for $3x^4 - 5x^2 + 2x - 7$. Heldigvis finnes det derivasjonsregler, og de er alle utledet fra nettopp den definisjonen. Lærer du reglene, deriverer du på sekunder.

Den viktigste er potensregelen. For $f(x) = x^n$, der $n$ er et hvilket som helst reelt tall, er $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$. Du trekker eksponenten ned som faktor og senker den med én. Så $(x^3)' = 3x^2$, og $(x)' = 1\cdot x^0 = 1$.

To regler til hører naturlig med. Konstantregelen sier at en konstant deriveres til null: $(c)' = 0$ -- en flat linje har ingen stigning. Og en konstant foran en funksjon blir bare med på lasset: $(c\cdot g(x))' = c\cdot g'(x)$. Til slutt sumregelen: $(g(x) + h(x))' = g'(x) + h'(x)$, altså vi deriverer ledd for ledd.

Med disse tre kan vi derivere ethvert polynom. Ta $f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2x - 7$. Ledd for ledd: $3\cdot 4x^3 - 5\cdot 2x + 2\cdot 1 - 0 = 12x^3 - 10x + 2$. Ferdig.

Produktregelen og kvotientregelen

Hva om funksjonen er et produkt av to deler som hver inneholder $x$? Da kan vi ikke bare gange de deriverte sammen -- det blir feil. I stedet bruker vi produktregelen: for $f(x) = g(x)\cdot h(x)$ er

$$f'(x) = g'(x)\cdot h(x) + g(x)\cdot h'(x).$$

Huskeregelen lyder: «derivert av den første ganger den andre, pluss den første ganger derivert av den andre». La oss derivere $f(x) = (2x+1)(x^2-3)$. Vi setter $g(x) = 2x+1$ med $g'(x) = 2$, og $h(x) = x^2-3$ med $h'(x) = 2x$. Da blir $f'(x) = 2\cdot(x^2-3) + (2x+1)\cdot 2x = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$.

Når funksjonen er en brøk, bruker vi kvotientregelen. For $\displaystyle f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ er

$$f'(x) = \frac{g'(x)\cdot h(x) - g(x)\cdot h'(x)}{(h(x))^2}.$$

Legg merke til minus i telleren og kvadratet i nevneren. Et økonomieksempel: gjennomsnittskostnaden er $\displaystyle \bar{K}(x) = \frac{K(x)}{x}$, der $K(x) = x^2 + 100x + 2000$. Med $g(x) = x^2+100x+2000$ og $h(x) = x$ får vi $\displaystyle \bar{K}'(x) = \frac{(2x+100)\cdot x - (x^2+100x+2000)\cdot 1}{x^2}$. Telleren blir $2x^2 + 100x - x^2 - 100x - 2000 = x^2 - 2000$, så $\displaystyle \bar{K}'(x) = \frac{x^2 - 2000}{x^2} = 1 - \frac{2000}{x^2}$.

Kjerneregelen -- funksjoner inni funksjoner

Den siste og kanskje mektigste regelen håndterer sammensatte funksjoner -- en funksjon pakket inni en annen. Se på $f(x) = (3x^2 + 1)^5$. Her er det en ytre funksjon (noe opphøyd i femte) og en indre funksjon, kjernen, nemlig $3x^2 + 1$. Vi kan ikke bare derivere ytterst og glemme kjernen.

Kjerneregelen sier: for $f(x) = g(u(x))$ er

$$f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x).$$

Huskeregelen er: «deriver ytterst, behold kjernen, og gang med den deriverte av kjernen». La oss bruke den på $f(x) = (3x^2 + 1)^5$. Kjernen er $u = 3x^2 + 1$ og den ytre funksjonen er $g(u) = u^5$. Vi har $g'(u) = 5u^4$ og $u'(x) = 6x$. Setter vi sammen, får vi

$$f'(x) = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 1)^4.$$

Legg merke til mønsteret: den ytre delen $5u^4$ ble til $5(3x^2+1)^4$ -- kjernen er bevart -- og så ganget vi med kjernens deriverte, $6x$. Det er denne faktoren $u'(x)$ som er lett å glemme, men som er hele poenget. Kjerneregelen blir spesielt viktig i neste kapittel, når vi deriverer eksponential- og logaritmefunksjoner med kjerner inni.

Oppsummering

Derivasjonsreglene erstatter den tungvinte definisjonen og lar oss derivere raskt. Potensregelen $(x^n)' = nx^{n-1}$ er arbeidshesten, sammen med konstantregelen $(c)' = 0$ og $(cf)' = cf'$, og sumregelen $(f+g)' = f' + g'$. Med disse deriverer vi ethvert polynom ledd for ledd, som $3x^4 - 5x^2 + 2x - 7 \to 12x^3 - 10x + 2$.

For sammensatte uttrykk har vi tre kraftverktøy. Produktregelen $(fg)' = f'g + fg'$ håndterer produkter, kvotientregelen $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ håndterer brøker -- husk minus i telleren -- og kjerneregelen $(g(u))' = g'(u)\cdot u'$ pakker ut funksjoner inni funksjoner ved å derivere ytterst og gange med kjernens deriverte. Disse reglene er grunnmuren for alt som kommer videre i kurset, fra eksponentialfunksjoner til full funksjonsdrøfting.