6.4 Etterspørsel og priselastisitet | Matematikk for økonomer

Etterspørselsfunksjoner, priselastisitet, elastisk og uelastisk etterspørsel.

55 min

16 oppgaver

EtterspørselPriselastisitetElastiskUelastiskOptimal prissetting

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.2Derivasjonsregler

Brukes videre i

6.5Markedslikevekt

Hvor mye konsumentene vil kjøpe av en vare avhenger av prisen. Sammenhengen mellom pris og solgt mengde beskrives av en etterspørselsfunksjon. Hvor følsom etterspørselen er for prisendringer kalles priselastisitet og er et av de viktigste verktøyene en bedrift har når den skal sette riktig pris.

Etterspørsel og inntektsfunksjon

Endre koeffisientene i den lineære etterspørselsfunksjonen og se hvordan inntektsfunksjonen ($p \cdot x$) får en parabel-form med maksimum.

x(p) = a - bp

I(p) = p \cdot x(p)

a

(skjæring)

b

(helning)

0,5

Etterspørselsfunksjon

x(p)

✏️Lineær etterspørsel

En bedrift selger en vare med etterspørselsfunksjon $x(p) = 100 - 2p$ .

a) Hvor mange enheter selges ved $p = 30$ ?
b) Hvilken pris gir null etterspørsel?

x(30) = 100 - 2 \cdot 30 = 40

enheter.

b) Vi løser $x(p) = 0$ :
$100 - 2p = 0 \Rightarrow p = 50$

Ved pris over 50 kr vil ingen kjøpe varen.

Tenk deg at du er bedriftsleder og vurderer en prisøkning. Du må vite hvor mye etterspørselen synker. Ser du bare på den deriverte $x'(p)$ , får du et tall i enheter per krone, og det er vanskelig å sammenligne på tvers av varer. Elastisitet løser dette ved å måle den prosentvise endringen i etterspørsel for hver prosent prisen øker.

Priselastisitet

x(p)

Elastisk og uelastisk etterspørsel

|E_p|

✏️Beregne priselastisitet

Etterspørselen er $x(p) = 100 - 2p$ . Finn elastisiteten ved $p = 20$ og tolk svaret.

Steg 1 — beregn etterspørselen:

x(20) = 100 - 2 \cdot 20 = 60

Steg 2 — deriver:
$x'(p) = -2$

Steg 3 — sett inn i formelen:
$E_p = \frac{20}{60} \cdot (-2) = -\frac{2}{3} \approx -0{,}67$

$\displaystyle |E_p| = \frac{2}{3} < 1$ , så etterspørselen er uelastisk ved $p = 20$ .

Tolkning: Hvis prisen øker fra 20 kr med 1 %, synker etterspørselen med ca. 0,67 %.

Selv om $x(p) = a - bp$ har konstant deriverte $x'(p) = -b$ , varierer elastisiteten med prisen. Ved lave priser er etterspørselen ofte uelastisk, og ved høye priser elastisk. Det finnes alltid en pris der $|E_p| = 1$ , og denne prisen ligger midt mellom $p = 0$ og prisen der $x(p) = 0$ .

📜Elastisitet og inntekt

I(p) = p \cdot x(p)

være inntektsfunksjonen. Da gjelder:

I'(p) = x(p) \cdot (1 + E_p)

Derfor:
- Uelastisk ( $|E_p| < 1$ ): Prisøkning gir høyere inntekt
- Elastisk ( $|E_p| > 1$ ): Prisøkning gir lavere inntekt
- Enhetselastisk ( $|E_p| = 1$ ): Inntekten er maksimal

Hvorfor? Vi deriverer

I(p) = p \cdot x(p)

med produktregelen:

I'(p) = x(p) + p \cdot x'(p) = x(p)\left(1 + \frac{p}{x(p)} \cdot x'(p)\right) = x(p)(1 + E_p)

Siden $x(p) > 0$ , har $I'(p)$ samme fortegn som $1 + E_p$ . Inntekten øker når $E_p > -1$ (uelastisk), og synker når $E_p < -1$ (elastisk). Maksimum nås altså når $E_p = -1$ , det vil si $|E_p| = 1$ .

✏️Inntekt og optimal pris

Etterspørselen er $x(p) = 200 - 4p$ . Ved hvilken pris er inntekten maksimal, og hva er den maksimale inntekten?

Inntektsfunksjonen:

I(p) = p \cdot x(p) = p(200 - 4p) = 200p - 4p^2

Deriverer og setter lik null:
$I'(p) = 200 - 8p = 0 \Rightarrow p = 25$

Sjekk at det er maksimum:
$I''(p) = -8 < 0$ ✓

Maksimal inntekt:
$I(25) = 25 \cdot (200 - 100) = 25 \cdot 100 = 2500$

Sjekk via elastisitet:
$x(25) = 100$ , $x'(p) = -4$
$\displaystyle E_p = \frac{25}{100} \cdot (-4) = -1$

$|E_p| = 1$ ved optimal pris, akkurat som teoremet sier. Maksimal inntekt er 2500 kr.

✏️Konstant elastisitet

Etterspørselen er $x(p) = \dfrac{1000}{p^2}$ for $p > 0$ . Finn elastisiteten.

Skriv

x(p) = 1000 p^{-2}

. Da er

x'(p) = -2000 p^{-3} = -\dfrac{2000}{p^3}

$E_p = \frac{p}{x(p)} \cdot x'(p) = \frac{p}{1000/p^2} \cdot \left(-\frac{2000}{p^3}\right) = \frac{p^3}{1000} \cdot \left(-\frac{2000}{p^3}\right) = -2$

Elastisiteten er konstant lik $-2$ for alle priser. Etterspørselen er alltid elastisk: 1 % prisøkning gir 2 % nedgang i etterspørsel. En prisøkning vil derfor alltid redusere inntekten.

- Bedrifter med uelastiske varer (medisin, strøm, sigaretter) kan øke prisen og få høyere inntekt
- Bedrifter med elastiske varer (fly, restauranter, klær) bør være forsiktige med prisøkninger fordi de raskt mister kunder
- Myndigheter bruker elastisiteten når de vurderer avgifter: høy avgift på uelastiske varer gir mest skatteinntekt

📝Oppgave 1

Etterspørselen er $x(p) = 80 - 0{,}5p$ .

Finn etterspørselen ved $p = 40$ .

Finn elastisiteten ved $p = 40$ .

Er etterspørselen elastisk eller uelastisk ved $p = 40$ ?

Ved hvilken pris er $|E_p| = 1$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Etterspørselen for en vare er $x(p) = 300 - 5p$ .

Sett opp inntektsfunksjonen $I(p)$ .

Finn prisen som maksimerer inntekten.

Hva er den maksimale inntekten?

Vis at $|E_p| = 1$ ved den optimale prisen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

En vare har etterspørselsfunksjon $x(p) = \dfrac{500}{p}$ for $p > 0$ .

Finn $x'(p)$ .

Vis at elastisiteten er konstant og lik $-1$ .

Hva betyr dette for inntekten?

📝Oppgave 4

Salg av kinobilletter har etterspørselsfunksjon $x(p) = 1000 - 4p^2$ for $0 \leq p \leq 15$ .

Finn $x'(p)$ .

Beregn elastisiteten ved $p = 10$ .

Er etterspørselen elastisk eller uelastisk ved $p = 10$ ? Hva betyr dette for kinoeieren hvis hun vurderer å øke prisen?

Finn prisen som maksimerer inntekten (oppgi to desimaler).

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Etterspørselsfunksjon: $x(p)$ er avtakende - høyere pris gir lavere etterspørsel.
- Priselastisitet: Måler hvor mye etterspørselen reagerer på prisendringer.
- Klassifisering: $|E_p| > 1$ elastisk, $|E_p| < 1$ uelastisk.
- Inntekt og elastisitet: Ved uelastisk etterspørsel gir prisøkning høyere inntekt.

Viktige formler

E_p = \frac{p}{x(p)} \cdot x'(p), \qquad I'(p) = x(p)(1 + E_p)

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Etterspørselsfunksjon	$x(p)$ , avtakende
Priselastisitet	Etterspørselens følsomhet for pris
Elastisk	$\|E_p\| > 1$
Uelastisk	$\|E_p\| < 1$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.