5.6 Implisitt derivasjon

Når $y$ ikke er gitt eksplisitt

Så langt har funksjonene våre vært snille: $y = f(x)$, der $y$ er en ferdig formel i $x$. Men i økonomi dukker det stadig opp sammenhenger som ikke er løst opp på den måten. En invers etterspørselskurve kan se ut som $xy = 100$. En Cobb-Douglas-isokvant -- alle kombinasjoner av kapital og arbeid som gir samme produksjon -- skrives $K^{0{,}5}L^{0{,}5} = 100$. En sirkel er $x^2 + y^2 = 25$. I alle disse er $y$ gitt implisitt: den er låst til $x$ gjennom en ligning, men ikke skrevet ut som en formel.

Vi vil likevel vite hvordan $y$ endrer seg når $x$ endrer seg -- altså $\displaystyle \frac{dy}{dx}$. Løsningen er implisitt derivasjon: vi deriverer begge sider av ligningen med hensyn på $x$, behandler $y$ som en funksjon av $x$, og løser for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$. Fremgangsmåten har fire steg: deriver begge sider; bruk kjerneregelen på ledd med $y$; samle alle $\displaystyle \frac{dy}{dx}$-ledd på én side; og faktoriser ut $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ og løs.

La oss prøve på sirkelen $x^2 + y^2 = 25$. Deriverer vi begge sider, blir $\displaystyle \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$, mens $\displaystyle \frac{d}{dx}(y^2) = 2y\cdot\frac{dy}{dx}$ ved kjerneregelen -- $y$ er jo en funksjon av $x$. Høyresiden $25$ blir null. Så $\displaystyle 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$, og vi løser: $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. I punktet $(3, 4)$ er tangentens stigningstall $\displaystyle -\frac{3}{4}$.

Hvorfor kjerneregelen er nøkkelen

Hele hemmeligheten bak implisitt derivasjon ligger i én ting: når vi deriverer et ledd som inneholder $y$, må vi huske at $y$ selv er en funksjon av $x$. Akkurat som $\displaystyle \frac{d}{dx}(u^2) = 2u\cdot u'$ for en hvilken som helst $u(x)$, er $\displaystyle \frac{d}{dx}(y^2) = 2y\cdot\frac{dy}{dx}$. Den ekstra faktoren $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ er det som skiller implisitt fra vanlig derivasjon -- og det er den som oftest glemmes.

Noen nyttige mønstre: $\displaystyle \frac{d}{dx}(y^n) = ny^{n-1}\frac{dy}{dx}$, $\displaystyle \frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}$, $\displaystyle \frac{d}{dx}(e^y) = e^y\frac{dy}{dx}$, og ved produktregelen $\displaystyle \frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$.

La oss bruke dette på den inverse etterspørselskurven $xy = 100$, der $x$ er pris og $y$ er solgt mengde. Vi deriverer venstresiden med produktregelen: $\displaystyle \frac{d}{dx}(xy) = 1\cdot y + x\cdot\frac{dy}{dx}$. Høyresiden $100$ blir null. Så $\displaystyle y + x\frac{dy}{dx} = 0$, og vi løser: $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$. Vi kan sjekke ved å løse eksplisitt: $y = 100x^{-1}$ gir $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -100x^{-2} = -\frac{100}{x^2}$, og siden $100 = xy$ blir dette $\displaystyle -\frac{xy}{x^2} = -\frac{y}{x}$. Samme svar. Tolkningen: øker prisen med én krone, faller solgt mengde med $y/x$ enheter ved det nåværende punktet.

Isokvanter og grensesubstitusjonsrate

Nå kommer den økonomisk mektigste anvendelsen. En produksjonsfunksjon $Q = K^{0{,}5}L^{0{,}5}$ binder produksjonen til kapital $K$ og arbeid $L$. Alle kombinasjoner som gir $Q = 100$ ligger på isokvanten $K^{0{,}5}L^{0{,}5} = 100$. Vi vil vite hvor mye arbeid vi må gi opp når vi øker kapitalen -- altså $\displaystyle \frac{dL}{dK}$ langs isokvanten.

Vi deriverer med hensyn på $K$, med produkt- og kjerneregel: $\displaystyle 0{,}5K^{-0{,}5}L^{0{,}5} + K^{0{,}5}\cdot 0{,}5L^{-0{,}5}\frac{dL}{dK} = 0$. Vi løser og forenkler: $\displaystyle \frac{dL}{dK} = -\frac{0{,}5K^{-0{,}5}L^{0{,}5}}{0{,}5K^{0{,}5}L^{-0{,}5}} = -\frac{L}{K}$. I punktet $(100, 100)$ er $\displaystyle \frac{dL}{dK} = -1$: for å holde produksjonen konstant må vi gi opp én arbeider per ekstra enhet kapital.

Dette har et eget navn i konsumentteorien. For en indifferenskurve $F(x_1, x_2) = c$ -- alle kombinasjoner med samme nytte -- er grensesubstitusjonsraten (MRS) definert som $\displaystyle \text{MRS} = -\frac{dx_2}{dx_1}$. Minustegnet gjør den positiv, siden kurven faller. MRS forteller hvor mange enheter $x_2$ vi er villige til å gi opp for én enhet mer av $x_1$. Ta nyttefunksjonen $U = x_1 x_2^2$ langs $U = 32$. Implisitt: $\displaystyle x_2^2 + x_1\cdot 2x_2\frac{dx_2}{dx_1} = 0$, så $\displaystyle \frac{dx_2}{dx_1} = -\frac{x_2}{2x_1}$ og $\displaystyle \text{MRS} = \frac{x_2}{2x_1}$. I punktet $(2, 4)$ er MRS $\displaystyle = \frac{4}{4} = 1$.

Den raske formelen og tangenter

Etter litt øvelse finnes en snarvei. Hvis sammenhengen er skrevet $F(x, y) = c$, kan vi bruke formelen

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y},$$

der $F_x$ er den partielle deriverte med hensyn på $x$ (vi deriverer og holder $y$ konstant) og $F_y$ er partiellderivert med hensyn på $y$. Ta $F(x, y) = x^3 + 3xy + y^2 = 11$. Da er $F_x = 3x^2 + 3y$ og $F_y = 3x + 2y$, så $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 3y}{3x + 2y}$. Dette gir nøyaktig samme svar som om vi hadde derivert implisitt ledd for ledd -- bare raskere.

En typisk anvendelse er å finne tangenten til en kurve. Ta $x^2 + xy + y^2 = 7$ i punktet $(1, 2)$. Først sjekker vi at punktet ligger på kurven: $1 + 2 + 4 = 7$, stemmer. Implisitt derivasjon gir $\displaystyle 2x + y + (x + 2y)\frac{dy}{dx} = 0$, altså $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$. I $(1, 2)$ blir stigningstallet $\displaystyle -\frac{2 + 2}{1 + 4} = -\frac{4}{5}$. Med punkt-stigningstall-formen: $\displaystyle y - 2 = -\frac{4}{5}(x - 1)$, som forenkles til $\displaystyle y = -\frac{4}{5}x + \frac{14}{5}$.

Den vanligste feilen i hele dette kapittelet er å glemme kjerneregelen og derivere $y^3$ som om $y$ var konstant: $3y^2$ i stedet for det korrekte $\displaystyle 3y^2\frac{dy}{dx}$. Glem aldri faktoren $\displaystyle \frac{dy}{dx}$.

Oppsummering

Når $y$ ikke er gitt eksplisitt, men er låst til $x$ gjennom en ligning $F(x, y) = c$, bruker vi implisitt derivasjon: deriver begge sider med hensyn på $x$, bruk kjerneregelen på alle $y$-ledd (husk faktoren $\displaystyle \frac{dy}{dx}$), samle og løs for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$. Slik fant vi at sirkelen gir $\displaystyle -\frac{x}{y}$ og etterspørselskurven $xy = 100$ gir $\displaystyle -\frac{y}{x}$.

Metoden er gull i økonomien. På en isokvant forteller $\displaystyle \frac{dL}{dK} = -\frac{L}{K}$ hvordan kapital og arbeid byttes, og grensesubstitusjonsraten $\displaystyle \text{MRS} = -\frac{dx_2}{dx_1}$ måler hvor mye av ett gode vi gir opp for et annet langs en indifferenskurve. Med øvelse går det raskt via formelen $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$, og resultatet avhenger som regel av både $x$ og $y$ -- det er helt som forventet.