Tilbake
1.3
Brøkregning

1.3 Brøkregning

Alle fag for Høyskole

Regning med brøker, forkorting, utviding og fellesnevner.

45 min
14 oppgaver
BrøkregningForkortingUtvidingFellesnevnerAlgebraiske brøker
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 14 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

I dette kapitlet skal vi lære å rekne med brøkar. Vi startar med å sjå på korleis vi gangar brøkar saman.

📜Å gange brøkar
ab⋅cd=a⋅cb⋅d=acbd\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} = \frac{ac}{bd}

Når vi skal gange to brøkar med kvarandre, gangar vi det over brøkstreken med det over brøkstreken og det under brøkstreken med det under brøkstreken.

Å gange eit heiltal med ein brøk:

a⋅bc=a1⋅bc=a⋅b1⋅c=abca \cdot \frac{b}{c} = \frac{a}{1} \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{1 \cdot c} = \frac{ab}{c}

✏️Eksempel 1

Gang saman brøkane:

a) 15⋅32\displaystyle \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2}

b) 3⋅32\displaystyle 3 \cdot \frac{3}{2}

Løysing:

a) 15⋅32=1⋅35⋅2=310\displaystyle \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{3}{10}

b) 3⋅32=31⋅32=3⋅31⋅2=92\displaystyle 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{9}{2}

📝Oppgave 1

Gang saman brøkane

a
34⋅17\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{7}
b
92⋅37\displaystyle \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{7}
c
7⋅25\displaystyle 7 \cdot \frac{2}{5}
d
13⋅23⋅43\displaystyle \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3}
e
54⋅3\displaystyle \frac{5}{4} \cdot 3
f
2⋅37⋅15\displaystyle 2 \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{5}
Løs oppgavenTren
Å forkorte brøkar

Når vi skal forkorte brøkar kan det vere nyttig å hugse at vi kan faktorisere tal. Til dømes er: 8=4⋅28 = 4 \cdot 2 og 12=4⋅3=2⋅2⋅312 = 4 \cdot 3 = 2 \cdot 2 \cdot 3 eller 12=2⋅612 = 2 \cdot 6

✏️Eksempel 2

Forkort brøkane:

a) 86\displaystyle \frac{8}{6}

b) 4575\displaystyle \frac{45}{75}

Løysing:

a) 86=4⋅23⋅2=43\displaystyle \frac{8}{6} = \frac{4 \cdot {\color{red}2}}{3 \cdot {\color{red}2}} = \frac{4}{3}

b) 4575=3⋅153⋅25=3⋅55⋅5=35\displaystyle \frac{45}{75} = \frac{{\color{red}3} \cdot 15}{{\color{red}3} \cdot 25} = \frac{3 \cdot {\color{red}5}}{{\color{red}5} \cdot 5} = \frac{3}{5}

NB: Om vi ser det kan vi òg gjere det enda enklare:
4575=3⋅155⋅15=35\displaystyle \frac{45}{75} = \frac{3 \cdot {\color{red}15}}{5 \cdot {\color{red}15}} = \frac{3}{5}

Begge framgangsmåtar er rette. I byrjinga kan du ha fokus på å forkorte det du kan. Etter kvart kan du tenke meir på korleis du kan forkorte med så stort tal som mogleg.

📝Oppgave 2

Forkort brøkane så mykje som mogleg. Hugs at a1=a\displaystyle \frac{a}{1} = a

a
104\displaystyle \frac{10}{4}
b
2510\displaystyle \frac{25}{10}
c
105\displaystyle \frac{10}{5}
d
8127\displaystyle \frac{81}{27}
e
2⋅43⋅4\displaystyle \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}
f
12⋅204⋅6\displaystyle \frac{12 \cdot 20}{4 \cdot 6}
Løs oppgavenTren
Multiplisere og forkorte brøkar

Når vi gangar brøkar kan vi ofte forkorte undervegs for å gjere reknestykket enklare.

✏️Eksempel 3

Rekn ut og forkort viss mogleg:

a) 105⋅32\displaystyle \frac{10}{5} \cdot \frac{3}{2}

b) 65⋅152\displaystyle \frac{6}{5} \cdot \frac{15}{2}

c) 4⋅34\displaystyle 4 \cdot \frac{3}{4}

Løysing:

a) 105⋅32=10⋅310=3\displaystyle \frac{10}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{{\color{red}10} \cdot 3}{{\color{red}10}} = 3

NB: Legg merke til at vi ganga saman det under brøken med ein gong, men ikkje det over brøken. Dette er fordi vi raskast mogleg vil kunne stryke 10 over og under brøkstreken.

b) 65⋅152=6⋅155⋅2=2⋅3⋅3⋅55⋅2=9\displaystyle \frac{6}{5} \cdot \frac{15}{2} = \frac{6 \cdot 15}{5 \cdot 2} = \frac{{\color{red}2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot {\color{blue}5}}{{\color{blue}5} \cdot {\color{red}2}} = 9

c) 4⋅34=3\displaystyle 4 \cdot \frac{3}{4} = 3 fordi 4⋅34=41⋅34=4⋅31⋅4=3\displaystyle 4 \cdot \frac{3}{4} = \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{4} = \frac{{\color{red}4} \cdot 3}{1 \cdot {\color{red}4}} = 3

📝Oppgave 3

Rekn ut og forkort viss mogleg

a
25⋅32\displaystyle \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{2}
b
123⋅34\displaystyle \frac{12}{3} \cdot \frac{3}{4}
c
5⋅34\displaystyle 5 \cdot \frac{3}{4}
d
125⋅156\displaystyle \frac{12}{5} \cdot \frac{15}{6}
e
830⋅154\displaystyle \frac{8}{30} \cdot \frac{15}{4}
f
726⋅1314⋅6\displaystyle \frac{7}{26} \cdot \frac{13}{14} \cdot 6
Løs oppgavenTren
📜Å dele brøkar
Når vi deler ein brøk på ein annan brøk kan vi:

ab÷cd=ab⋅dc=a⋅db⋅c\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Eit spesialtilfelle av dette er når vi deler med eit heiltal:

ab÷c=ab÷c1=ab⋅1c=ab⋅c\frac{a}{b} \div c = \frac{a}{b} \div \frac{c}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{a}{b \cdot c}

✏️Eksempel 4

Rekn ut:

a) 27÷32\displaystyle \frac{2}{7} \div \frac{3}{2}

b) 7÷152\displaystyle 7 \div \frac{15}{2}

c) 34÷9\displaystyle \frac{3}{4} \div 9

Løysing:

a) 27÷32=27⋅23=421\displaystyle \frac{2}{7} \div \frac{3}{2} = \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{21}

b) 7÷152=71⋅215=1415\displaystyle 7 \div \frac{15}{2} = \frac{7}{1} \cdot \frac{2}{15} = \frac{14}{15}

c) 34÷9=34÷91=34⋅19=3⋅14⋅9=3⋅14⋅3⋅3=112\displaystyle \frac{3}{4} \div 9 = \frac{3}{4} \div \frac{9}{1} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 9} = \frac{{\color{red}3} \cdot 1}{4 \cdot {\color{red}3} \cdot 3} = \frac{1}{12}

📝Oppgave 4

Utfør divisjonen og forkort brøken viss mogleg

a
75÷32\displaystyle \frac{7}{5} \div \frac{3}{2}
b
38÷52\displaystyle \frac{3}{8} \div \frac{5}{2}
c
102÷52\displaystyle \frac{10}{2} \div \frac{5}{2}
d
8÷32\displaystyle 8 \div \frac{3}{2}
e
56÷3\displaystyle \frac{5}{6} \div 3
f
3⋅15÷72\displaystyle 3 \cdot \frac{1}{5} \div \frac{7}{2}
Løs oppgavenTren
📜Broten brøk
abcd=ab÷cd=ab⋅dc=a⋅db⋅c=adbc\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} = \frac{ad}{bc}
✏️Eksempel 5
Løys den brotne brøken:

2356\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}

Løysing:

Alternativ 1:
2356=23÷56=23⋅65=2⋅2⋅33⋅5=45\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}} = \frac{2}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{2 \cdot 2 \cdot {\color{red}3}}{{\color{red}3} \cdot 5} = \frac{4}{5}

Alternativ 2:
2356=23⋅656⋅6=2⋅635⋅66=2⋅2⋅335=45\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}} = \frac{\frac{2}{3} \cdot {\color{blue}6}}{\frac{5}{{\color{blue}6}} \cdot {\color{blue}6}} = \frac{\frac{2 \cdot 6}{3}}{\frac{5 \cdot {\color{red}6}}{{\color{red}6}}} = \frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot {\color{red}3}}{{\color{red}3}}}{5} = \frac{4}{5}

📝Oppgave 5

Utfør divisjonen og forkort brøken viss mogleg. NB: For høgast læringsutbytte blir det tilrådd å løyse som alternativ 2 i eksempelet.

a
1323\displaystyle \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}
b
14212\displaystyle \frac{\frac{1}{4}}{\frac{2}{12}}
c
523\displaystyle \frac{5}{\frac{2}{3}}
Løs oppgavenTren
📜Å leggje saman brøkar med lik nemnar
ac+bc=a+bc\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}
✏️Eksempel 6
Trekk saman brøkane:

15+25\frac{1}{5} + \frac{2}{5}

Løysing:

15+25=1+25=35\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}

✏️Eksempel 7
Trekk saman brøkane og forkort viss mogleg:

94−14\frac{9}{4} - \frac{1}{4}

Løysing:

94−14=9−14=84=2\frac{9}{4} - \frac{1}{4} = \frac{9 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2

📝Oppgave 6

Trekk saman brøkane og forkort viss mogleg

a
37+27\displaystyle \frac{3}{7} + \frac{2}{7}
b
73+83\displaystyle \frac{7}{3} + \frac{8}{3}
c
96−16\displaystyle \frac{9}{6} - \frac{1}{6}
d
74−34\displaystyle \frac{7}{4} - \frac{3}{4}
e
165+25+75\displaystyle \frac{16}{5} + \frac{2}{5} + \frac{7}{5}
f
1923−1823+423\displaystyle \frac{19}{23} - \frac{18}{23} + \frac{4}{23}
Løs oppgavenTren
Å utvide brøkar

Nokre gonger ønskjer vi å utvide brøkar. For å utvide ein brøk må vi gange med det same talet over og under brøkstreken. På den måten kan vi få ein ny nemnar utan å endre den faktiske verdien til brøken.

✏️Eksempel 8

Utvid brøkane:

a) Utvid brøken 53\displaystyle \frac{5}{3} slik at nemnaren blir 6

b) Utvid brøken 25\displaystyle \frac{2}{5} slik at nemnaren blir 10x10x

Løysing:

a) 53=5⋅23⋅2=106\displaystyle \frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{10}{6}

b) 25=2⋅2x5⋅2x=4x10x\displaystyle \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2x}{5 \cdot 2x} = \frac{4x}{10x}

📝Oppgave 7

Utvid brøken

a
79\displaystyle \frac{7}{9} slik at nemnaren blir 18
b
32\displaystyle \frac{3}{2} slik at nemnaren blir 2x2x
c
83\displaystyle \frac{8}{3} slik at nemnaren blir 15x15x
Løs oppgavenTren
Brøkar med ulik nemnar

Når vi møter på brøkar med ulik nemnar må vi utvide ein eller begge brøkane slik at vi får ein fellesnemnar. Då ser vi først om det finst eit tal som vi berre treng å gange med ein av nemnarane slik at vi får den andre nemnaren.

✏️Eksempel 9
Trekk saman brøkane:

12+210\frac{1}{2} + \frac{2}{10}

Løysing:

12+210=1⋅52⋅5+210=510+210=5+210=710\frac{1}{2} + \frac{2}{10} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5 + 2}{10} = \frac{7}{10}

✏️Eksempel 10
Trekk saman:

2+372 + \frac{3}{7}

Løysing:

2+37=21+37=2⋅71⋅7+37=147+37=1772 + \frac{3}{7} = \frac{2}{1} + \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7}{1 \cdot 7} + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}

Hugs: n=n1\displaystyle n = \frac{n}{1}

📝Oppgave 8

Trekk saman brøkane og forkort viss mogleg

a
46+13\displaystyle \frac{4}{6} + \frac{1}{3}
b
47−114\displaystyle \frac{4}{7} - \frac{1}{14}
c
128+14\displaystyle \frac{12}{8} + \frac{1}{4}
d
1+15\displaystyle 1 + \frac{1}{5}
e
42−16+1\displaystyle \frac{4}{2} - \frac{1}{6} + 1
f
712+16+2\displaystyle \frac{7}{12} + \frac{1}{6} + 2
Løs oppgavenTren
Å gange nemnarane med kvarandre for å finne fellesnemnar

Når det ikkje går å berre gange ein av nemnarane, må vi gange begge. Ein metode som alltid fungerer når vi skal finne fellesnemnar for to brøkar er å utvide den første brøken med nemnaren i den andre brøken og den andre brøken med nemnaren i den første brøken.

✏️Eksempel 11
Trekk saman brøkane:

12+37\frac{1}{2} + \frac{3}{7}

Løysing:

12+37=1⋅72⋅7+3⋅27⋅2=714+614=1314\frac{1}{2} + \frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} + \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{7}{14} + \frac{6}{14} = \frac{13}{14}

📝Oppgave 9

Trekk saman brøkane og forkort viss mogleg

a
12+13\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3}
b
43+27\displaystyle \frac{4}{3} + \frac{2}{7}
c
25−14\displaystyle \frac{2}{5} - \frac{1}{4}
d
39+15\displaystyle \frac{3}{9} + \frac{1}{5}
e
12−3+15\displaystyle \frac{1}{2} - 3 + \frac{1}{5}
f
72−111−2\displaystyle \frac{7}{2} - \frac{1}{11} - 2
Løs oppgavenTren
Å finne minste felles nemnar

Når vi bruker metoden ovanfor kan det hende at vi får ein unødvendig høg fellesnemnar. Om vi til dømes skal leggje saman: 121+114\displaystyle \frac{1}{21} + \frac{1}{14} vil vi få 21⋅14=29421 \cdot 14 = 294 som nemnar.

Dette vil skje fordi vi har felles faktorar i nemnarane våre. Vi ser vi kan faktorisere uttrykket slik: 13⋅7+12⋅7\displaystyle \frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{2 \cdot 7}. Begge nemnarane inneheld altså faktoren 7, så dette er felles. Den første nemnaren har ein 3-ar som den andre nemnaren ikkje har og den andre nemnaren har ein 2-ar som den første ikkje har. Då kan vi leggje til det som manglar i kvar av brøkane for å få ein felles nemnar:

13⋅7+12⋅7=2⋅12⋅3⋅7+3⋅13⋅2⋅7=242+342=542\frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{2 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3 \cdot 7} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 7} = \frac{2}{42} + \frac{3}{42} = \frac{5}{42}

✏️Eksempel 12
Trekk saman brøkane:

110+115\frac{1}{10} + \frac{1}{15}

Løysing:

110+115=15⋅2+15⋅3=1⋅35⋅2⋅3+1⋅25⋅3⋅2=330+230=530=16\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{{\color{blue}5} \cdot 2} + \frac{1}{{\color{blue}5} \cdot 3} = \frac{1 \cdot {\color{green}3}}{{\color{blue}5} \cdot 2 \cdot {\color{green}3}} + \frac{1 \cdot {\color{green}2}}{{\color{blue}5} \cdot 3 \cdot {\color{green}2}} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{{\color{red}5}}{30} = \frac{1}{6}

📝Oppgave 10

Bruk minste felles nemnar for å trekke saman brøkane og forkort viss mogleg

a
16+18\displaystyle \frac{1}{6} + \frac{1}{8}
b
414+210\displaystyle \frac{4}{14} + \frac{2}{10}
c
314−121\displaystyle \frac{3}{14} - \frac{1}{21}
d
19+112\displaystyle \frac{1}{9} + \frac{1}{12}
e
120+125\displaystyle \frac{1}{20} + \frac{1}{25}
f
722−133−1\displaystyle \frac{7}{22} - \frac{1}{33} - 1
Løs oppgavenTren
📝Oppgave T
Tenk og forklar. Desse oppgåvene testar forståinga di av kapittelet.
a
Finn feilen. Ein student skriv 1a+1b=1a+b\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a+b}. Vis med eit konkret taleksempel at dette er feil, og finn det rette uttrykket.
b
Forklar. Ein student forenklar x2+4x+2\displaystyle \frac{x^2 + 4}{x + 2} til x+2x + 2. Forklar kvifor du IKKJE kan stryke i denne brøken, men gjerne i x2−4x+2\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x + 2}.
🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig
Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Multiplikasjon av brøkar: Gang teljar med teljar og nemnar med nemnar.
- Divisjon av brøkar: Gang med den omvende brøken.
- Addisjon og subtraksjon: Brøkane må ha felles nemnar.
- Forkorting og utviding: Gang eller del teljar og nemnar med same tal.

Viktige formlar


ab⋅cd=acbd,ab÷cd=ab⋅dc\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}, \qquad \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}
ac+bc=a+bc\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}

Nøkkelomgrep


OmgrepForklaring
TeljarTalet over brøkstreken
NemnarTalet under brøkstreken
FellesnemnarFelles nemnar for fleire brøkar
ForkorteDele teljar og nemnar med same tal

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.