1.3 Brøkregning

Når kaka skal deles

Du og to venner deler en pizza, men en av dere er ekstra sulten og spiser tre av de åtte stykkene. Brøker er språket vi bruker når noe ikke går opp i hele tall -- og i økonomi dukker de opp overalt: andeler av et marked, renter på en del av året, fordeling av et overskudd. Derfor er det verdt å bli trygg på å regne med dem.

Vi starter med det enkleste: å gange to brøker. Da ganger vi teller med teller og nevner med nevner: $\displaystyle \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$. For eksempel er $\displaystyle \frac{1}{5}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{10}$. Et heltall kan alltid skrives som en brøk med nevner $1$, så $\displaystyle 3\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{1}\cdot\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$. Det er en god vane å huske: tallet $n$ er det samme som $\displaystyle \frac{n}{1}$.

Ofte kan vi gjøre svaret penere ved å forkorte -- å dele teller og nevner med samme tall. $\displaystyle \frac{8}{6}$ har en felles faktor $2$, så $\displaystyle \frac{8}{6}=\frac{4}{3}$. Og $\displaystyle \frac{45}{75}$ deler vi på $15$ og får $\displaystyle \frac{3}{5}$. Når vi ganger brøker, lønner det seg ofte å forkorte underveis: $\displaystyle \frac{6}{5}\cdot\frac{15}{2}=\frac{6\cdot 15}{5\cdot 2}=9$, fordi $5$ og en $2$ stryker mot tallene over.

Å dele brøker og brudne brøker

Deling kan virke skummelt, men det er egentlig multiplikasjon i forkledning. Når vi deler på en brøk, ganger vi i stedet med den omvendte: $\displaystyle \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$. Vi snur altså den vi deler på opp ned. Slik blir $\displaystyle \frac{2}{7}\div\frac{3}{2}=\frac{2}{7}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{21}$.

Å dele på et heltall er bare et spesialtilfelle, for $\displaystyle c=\frac{c}{1}$, og den omvendte av $\displaystyle \frac{c}{1}$ er $\displaystyle \frac{1}{c}$. Derfor er $\displaystyle \frac{3}{4}\div 9=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{9}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$ etter forkorting. Og $\displaystyle 7\div\frac{15}{2}=\frac{7}{1}\cdot\frac{2}{15}=\frac{14}{15}$.

Noen ganger møter vi en brøk oppå en annen brøk -- en brudden brøk, som $\displaystyle \frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}$. Det er nøyaktig det samme som en deling: $\displaystyle \frac{2}{3}\div\frac{5}{6}=\frac{2}{3}\cdot\frac{6}{5}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$. Brøkstreken i en brudden brøk er rett og slett et delesymbol som har lagt seg ned.

Pluss og minus -- og jakten på fellesnevneren

Å legge sammen brøker er enkelt hvis nevneren er den samme: da legger vi bare sammen tellerne. $\displaystyle \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$, så $\displaystyle \frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$, og $\displaystyle \frac{9}{4}-\frac{1}{4}=\frac{8}{4}=2$. Men oftest er nevnerne ulike, og da må vi gjøre dem like først -- ved å utvide.

Å utvide en brøk betyr å gange teller og nevner med det samme tallet. Verdien endrer seg ikke, men nevneren blir den vi ønsker. Et viktig poeng: du må gange både over og under samtidig, ellers endrer du verdien. Slik blir $\displaystyle \frac{5}{3}$ utvidet til nevner $6$ ved å gange med $2$: $\displaystyle \frac{10}{6}$.

Når to brøker har ulik nevner, ser vi først om vi bare trenger å utvide den ene. I $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{2}{10}$ holder det å utvide den første til nevner $10$: $\displaystyle \frac{5}{10}+\frac{2}{10}=\frac{7}{10}$. Et heltall håndteres på samme måte: $\displaystyle 2+\frac{3}{7}=\frac{14}{7}+\frac{3}{7}=\frac{17}{7}$.

Går det ikke å nøye seg med én, kan vi alltid gange begge nevnerne med hverandre. $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{3}{7}$ blir $\displaystyle \frac{7}{14}+\frac{6}{14}=\frac{13}{14}$. Men noen ganger gir det unødvendig store tall. Da lønner det seg å finne minste felles nevner ved å faktorisere. I $\displaystyle \frac{1}{10}+\frac{1}{15}$ ser vi at $10=5\cdot 2$ og $15=5\cdot 3$ deler faktoren $5$. Vi trenger bare å fylle på det som mangler: $\displaystyle \frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$ -- mye penere enn å bruke $150$ som nevner.

Oppsummering

Med brøker ganger vi teller med teller og nevner med nevner, $\displaystyle \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$, og vi deler ved å gange med den omvendte, $\displaystyle \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$. En brudden brøk er bare en slik deling skrevet vertikalt.

Vi kan alltid gjøre svaret penere ved å forkorte -- dele teller og nevner med samme tall -- og motsatt utvide ved å gange begge med samme tall, husk: alltid både over og under samtidig. Når vi legger sammen eller trekker fra, må brøkene ha samme nevner; da legger vi sammen tellerne. For å finne en fellesnevner kan vi gange nevnerne med hverandre, men ved felles faktorer lønner det seg å finne minste felles nevner ved å faktorisere. Da slipper vi unødvendig store tall, og svaret kommer ut ferdig forkortet.