3.3 Hva er en funksjon?

Matematiske modeller, funksjonsnotasjon, verditabeller, graftegning, nullpunkter og skjæringspunkter.

60 min

17 oppgaver

Matematiske modellerf(x)-notasjonVerditabellerGraftegningNullpunkterSkjæringspunkter

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Koordinatsystemet 3.2Lineære funksjoner

Brukes videre i

3.4Andregradsfunksjoner 3.8Eksponentialfunksjoner

Å erstatte x med eit tal (Matematiske modellar)

Nokre gonger har vi matematiske uttrykk som inneheld ein ukjend (til dømes ein $x$ ). Eit enkelt døme kan vere dersom vi ønskjer å skildre ei inntekt. Kari tener 200 kroner per time ho jobbar. I løpet av ein dag jobbar ho $x$ (altså eit ukjent tal) timar.

Kor mykje tener ho? Ho vil altså tene $200 \cdot x$ kroner der $x$ er talet på timar ho jobbar.

Dersom vi finn ut at ho måndag jobbar 6 timar så kan vi no enkelt erstatte $x$ i formelen vår med 6. Vi får no $200\text{ kr} \cdot 6 = 1200\text{ kr}$ .

Vi har no brukt den matematiske modellen $200x$ (som skildrar inntekta til Kari) til å finne ut kor mykje Kari vil tene etter 6 timar. Legg her spesielt merke til at matematiske modellar ofte er meir kompliserte og at det enkle dømet berre er for illustrasjonsføremål.

✏️Døme 1

Vi har uttrykket $x^2 + 4x$

Kva verdi vil uttrykket få dersom:
a) $x = 3$
b) $x = -2$

Løysing:

a) Vi erstattar x-ane i uttrykket $x^2 + 4x$ med 3 og får dermed:
$3^2 + 4 \cdot 3 = 9 + 12 = 21$

b) Vi erstattar x-ane i uttrykket $x^2 + 4x$ med −2 og får dermed:
$(-2)^2 + 4 \cdot (-2) = 4 - 8 = -4$

📝Oppgave 1

Vi har uttrykket $x^2 - 2x + 3$ . Kva verdi vil uttrykket ha dersom:

x = 2

x = -1

x = 0

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Vi har uttrykket $2x^2 - 5x - 2$ . Kva verdi vil uttrykket ha dersom:

x = 4

x = -3

x = 0

Løs oppgaven Tren

Eigne matematiske modellar

Nokre gonger ønskjer vi å kunne setje opp eigne matematiske modellar for å skildre ting som skjer i verkelegheita. Vi vil då la $x$ representere ein tilfeldig variabel som til dømes eit tal på einingar eller eit tal på minutt eller timar.

✏️Døme 2

Axel skal ut på ein lang joggetur, han joggar i 8 km/time jamt gjennom heile turen.

a) Kor langt har han kome etter:
1) 2 timar
2) 5 timar

b) Set opp eit uttrykk med $x$ som ukjend som skildrar kor langt han har kome etter $x$ timar. (Ein matematisk modell)

Løysing:

a) 1) Han har kome $8 \text{ km/time} \cdot 2 \text{ time(r)} = 16 \text{ km}$
2) Han har kome $8 \text{ km/time} \cdot 5 \text{ time(r)} = 40 \text{ km}$

b) Han har kome $8 \text{ km/time} \cdot x \text{ time} = 8x \text{ km}$ eller berre $8x$ .

✏️Døme 3

Per har 20 000 kroner ståande på konto og tener og sparar 1 000 kroner kvar arbeidsdag.

a) Kor mykje har han på konto etter 15 arbeidsdagar? Etter 20?
b) Set opp eit uttrykk som skildrar kor mykje Per har på konto.

Løysing:

a) Etter 15 arbeidsdagar har han:
$1000 \text{ kr} \cdot 15 + 20000 \text{ kr} = 15000 \text{ kr} + 20000 \text{ kr} = 35000 \text{ kr}$

Etter 20 arbeidsdagar har han:
$1000 \text{ kr} \cdot 20 + 20000 \text{ kr} = 20000 \text{ kr} + 20000 \text{ kr} = 40000 \text{ kr}$

b) $1000 \text{ kr} \cdot x + 20000 \text{ kr}$ eller berre $1000x + 20000$

📝Oppgave 3

Line sel pølser på ein fotballkamp til 30 kroner per stykk.

Kor mykje har Line i inntekt dersom ho sel:
1) 10 pølser
2) 20 pølser

Set opp ein matematisk modell som skildrar inntekta til Line.

Løs oppgaven Tren

$f(x)$ - Matematiske funksjonar

Vi har no lært korleis vi kan lage og bruke matematiske modellar (/uttrykk) som skildrar enkle hendingar. Vi høyrde om Kari som tente 200 kroner per time ho jobba. Vi fann ut at då vil ho tene $200 \cdot x$ kroner avhengig av $x$ altså talet på timar ho jobbar.

Vi ønskjer no å lage ein funksjon ved hjelp av dette uttrykket. Det er eigentleg ikkje så vanskeleg (men det kan sjå veldig komplisert ut om du ikkje er van med skrivemåten). Det vi prøver å skildre er ei inntekt som er avhengig av talet på timar ho jobbar, bokstavane vi brukar i funksjonen blir derfor $I$ (for inntekt) og $t$ (for tid).

Vi skriv funksjonsuttrykket $I(t)$ altså inntekta avhengig av talet på timar $t$ ho har jobba. Vi får då:
$I(t) = 200t$

Inntekta Kari får når ho jobbar i 5 timar blir:
$I(5) = 200 \cdot 5 = 1000$

Om ho jobbar i 7 timar vil ho få:
$I(7) = 200 \cdot 7 = 1400$

Funksjon

x

✏️Døme 4

Finn $f(3)$ og $f(-2)$ når:
a) $f(x) = 3x + 1$
b) $f(x) = x^2 - 3x$

Løysing:

a) $f(x) = 3x + 1$

Vi byrjar med å finne $f(3)$ — vi erstattar altså $x$ i $f(x)$ med 3.
$f(3) = 3 \cdot 3 + 1 = 9 + 1 = 10$

Når vi skal finne $f(-2)$ erstattar vi $x$ i funksjonen ovanfor med −2:
$f(-2) = 3 \cdot (-2) + 1 = -6 + 1 = -5$

b) $f(x) = x^2 - 3x$

Vi finn først $f(3)$ :
$f(3) = 3^2 - 3 \cdot 3 = 9 - 9 = 0$

Så finn vi $f(-2)$ :
$f(-2) = (-2)^2 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10$

📝Oppgave 4

Mohammed skal selje is. For kvar is han sel har han tent 10 kroner (etter å ha trekt frå utgifter ved innkjøp av isen). Han leiger òg ein frysar til 200 kroner per dag.

Kor mykje får Mohammed i overskot dersom han ein dag sel:
1) 30 is
2) 100 is

Set opp ein matematisk modell (ein formel) som skildrar inntekta til Mohammed.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Finn $f(-2)$ når:

f(x) = 4x + 1

f(x) = x^2 + x

f(x) = -3x^2

Løs oppgaven Tren

Verditabellar

Ein verditabell er ein tabell som viser samanhengen mellom $x$ -verdiar og tilhøyrande funksjonsverdiar $f(x)$ . Verditabellar er nyttige når vi skal teikne grafen til ein funksjon.

✏️Døme 5

Lat $f(x) = -2x^2 + 3$ .

Finn $f(-2)$ , $f(-1)$ , $f(0)$ , $f(1)$ og $f(2)$ .

Bruk svara til å setje opp ein verditabell.

Løysing:

$f(x) = -2x^2 + 3$

$f(-2) = -2 \cdot (-2)^2 + 3 = -2 \cdot 4 + 3 = -8 + 3 = -5$
$f(-1) = -2 \cdot (-1)^2 + 3 = -2 \cdot 1 + 3 = -2 + 3 = 1$
$f(0) = -2 \cdot 0^2 + 3 = -2 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3$
$f(1) = -2 \cdot 1^2 + 3 = -2 \cdot 1 + 3 = -2 + 3 = 1$
$f(2) = -2 \cdot 2^2 + 3 = -2 \cdot 4 + 3 = -8 + 3 = -5$

Verditabell:

$x$	$f(x)$	Punkt $(x, f(x))$
−2	−5	(−2, −5)
−1	1	(−1, 1)
0	3	(0, 3)
1	1	(1, 1)
2	−5	(2, −5)

📝Oppgave 6

Rekn ut $f(-2)$ , $f(-1)$ , $f(0)$ , $f(1)$ og $f(2)$ og set opp ein verditabell som i dømet over.

NB: Du skal bruke verditabellane du lagar i denne oppgåva i ei seinare oppgåve.

f(x) = 2x - 3

f(x) = x^2 - 4

f(x) = -2x^2 + 3x - 1

Å teikne eigne grafar

I dømet under viser vi korleis du kan teikne din eigen graf ved å finne punkt og plotte dei i eit koordinatsystem.

✏️Døme 6

Teikn grafen til funksjonen $f(x) = -2x^2 + 3$ .

Løysing:

Vi har verditabellen frå førre døme:

$x$	$f(x)$	Punkt $(x, f(x))$
−2	−5	(−2, −5)
−1	1	(−1, 1)
0	3	(0, 3)
1	1	(1, 1)
2	−5	(2, −5)

Vi kan bruke punkta i denne verditabellen og teikne dei inn i eit koordinatsystem. Vi teiknar deretter ei krumma linje gjennom punkta vi får.

📊Graf: $f(x) = -2x^2 + 3$

Grafen til funksjonen $f(x) = -2x^2 + 3$ med dei utrekna punkta.

📝Oppgave 7

Bruk verditabellane frå førre oppgåve for å teikne grafane til funksjonane under (for hand). Grafen skal teiknast for x-verdiar frå −3 til 3. Om du manglar nokre punkt for å få ein fin graf, finn desse punkta ved rekning.

f(x) = 2x - 3

f(x) = x^2 - 4

f(x) = -2x^2 + 3x - 1

✏️Døme 7

Teikn grafen til funksjonen $f(x) = 2x + 3$ og $g(x) = x^2 + x - 3$ i same koordinatsystem. Teikn det for x-verdiar mellom −5 og 5.

Løysing:

For ein lineær funksjon så er det eigentleg berre nødvendig å rekne ut to punkt, det sagt om vi skal teikne han inn sjølv så er det kjekt å ha med eit ekstra punkt for godt mål.

For $f(x) = 2x + 3$ :

$x$	$f(x)$	Punkt
−5	$2 \cdot (-5) + 3 = -7$	(−5, −7)
0	$2 \cdot 0 + 3 = 3$	(0, 3)
5	$2 \cdot 5 + 3 = 13$	(5, 13)

For $g(x) = x^2 + x - 3$ :

$x$	$g(x)$	Punkt
−5	$(-5)^2 + (-5) - 3 = 17$	(−5, 17)
−3	$(-3)^2 + (-3) - 3 = 3$	(−3, 3)
−1	$(-1)^2 + (-1) - 3 = -3$	(−1, −3)
0	$0^2 + 0 - 3 = -3$	(0, −3)
1	$1^2 + 1 - 3 = -1$	(1, −1)
3	$3^2 + 3 - 3 = 9$	(3, 9)
5	$5^2 + 5 - 3 = 27$	(5, 27)

📊To funksjonar i same koordinatsystem

Grafane til $f(x) = 2x + 3$ og $g(x) = x^2 + x - 3$ .

Å velje eigne x-verdiar og y-verdiar når du teiknar koordinatsystem

x-verdiar: Når du skal velje verdiar for $x$ så er det ønskeleg at du vel punkt som er representative for grafen:
1. I og nær $x = 0$
2. I og nær nullpunkta til funksjonen (der funksjonsverdien er lik 0)
3. I og nær maksimums- og minimumsverdiane til funksjonen
4. Der tekstoppgåver gir logiske antakingar (t.d. berre positive verdiar for tal på selde varer)

y-verdiar: Rekn først ut den høgaste og lågaste verdien til funksjonen for x-verdiane du har med i verditabellen din. Koordinatsystemet bør minst inkludere desse verdiane.

📝Oppgave 8

Teikn grafane til funksjonane under for x-verdiar frå −4 til 4.

f(x) = -x + 3

f(x) = x^2 - x - 12

f(x) = x^2 + x - 6

Å finne nullpunkta til ein funksjon

Nullpunkta til ein funksjon har vi der grafen til funksjonen skjer x-aksen. Når grafen skjer x-aksen veit vi at funksjonsverdien er lik 0. Vi finn nullpunkta til ein funksjon $f(x)$ ved å setje $f(x) = 0$ og løyse likninga.

Nullpunkt

f

✏️Døme 9

Lat $f(x) = 3x - 12$ .

Finn nullpunktet til funksjonen.

Løysing:

Vi set $f(x) = 0$ og løyser likninga.

$f(x) = 0$
$3x - 12 = 0 \quad | + 12$
$3x = 12 \quad | \div 3$
$x = 4$

Funksjonen har altså nullpunkt i $(4, 0)$ .

Merk: Når vi finn nullpunkt oppgir vi ofte berre x-verdiane som svar. Altså $x = 4$ .

📊Nullpunkt for lineær funksjon

Grafen til $f(x) = 3x - 12$ med nullpunktet markert.

📝Oppgave 9

Per tener 200 kroner per time han jobbar. Han jobbar x timar i løpet av ein sommar. På førehand har han 4000 kroner i banken.

Set opp ein funksjon $P(x)$ som fortel kor mykje pengar Per har etter å ha jobba i x timar.

Teikn grafen til funksjonen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Finn nullpunkta til funksjonane:

f(x) = 2x - 8

f(x) = x - 4

f(x) = 3x - 4

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 10

Lat $f(x) = 2x^2 - 4x$ .

Finn nullpunkta til funksjonen.

Løysing:

Vi set $f(x) = 0$ og løyser likninga.

$f(x) = 0$
$2x^2 - 4x = 0$
$2x \cdot (x - 2) = 0$

Vi brukar produktregelen og ser at:
$2x = 0 \quad \vee \quad x - 2 = 0$
$x = 0 \quad \vee \quad x = 2$

Funksjonen har altså nullpunkt der $x = 0$ og der $x = 2$ , altså i $(0, 0)$ og i $(2, 0)$ .

📊Nullpunkt for andregradsfunksjon

Grafen til $f(x) = 2x^2 - 4x$ med nullpunkta markerte.

📝Oppgave 11

Finn nullpunkta til funksjonane:

f(x) = x^2 - 9

f(x) = x^2 + 5x + 6

f(x) = 2x^2 - 6x + 4

Løs oppgaven Tren

Å finne der to funksjonar skjer kvarandre

Når to grafar skjer kvarandre, har funksjonane same funksjonsverdi for den x-verdien. For å finne skjeringspunkta set vi funksjonane lik kvarandre og løyser for $x$ .

📊Skjeringspunkt mellom to funksjonar

Grafane til $f(x) = x^2 - 1$ og $g(x) = x + 1$ skjer kvarandre i punkta A og B.

Over ser vi grafane til funksjonane

f(x) = x^2 - 1

g(x) = x + 1

. Vi ser dei skjer kvarandre i punkta

A = (-1, 0)

B = (2, 3)

. Vi skal no gå gjennom korleis vi kunne ha funne desse skjeringspunkta for hand.

Vi ønskjer altså å finne ut kva x-verdiar som gjer at y-verdiane til funksjonane er like. Vi kan løyse denne problemstillinga ved å setje funksjonane lik kvarandre og løyse for $x$ .

$f(x) = g(x)$
$x^2 - 1 = x + 1$
$x^2 - x - 2 = 0$

Vi løyser likninga over (til dømes med abc-formelen eller sum- og produktregelen):
$(x - 2)(x + 1) = 0$
$x_1 = 2 \quad \vee \quad x_2 = -1$

Ettersom funksjonane er like kvarandre når $x = -1$ og når $x = 2$ så vil vi ha at grafane til funksjonane òg skjer kvarandre når $x = -1$ og $x = 2$ .

Vidare kan vi bli bedne om å finne koordinatane til dei faktiske skjeringspunkta. Vi har allereie x-koordinatane. Når vi skal finne y-koordinatane i punkta så brukar vi x-koordinatane saman med anten $f(x)$ eller $g(x)$ for å finne dei. Vi vel sjølvsagt den enklaste funksjonen:

$g(-1) = -1 + 1 = 0$
$g(2) = 2 + 1 = 3$

Vi får då punkta $(-1, 0)$ og $(2, 3)$ .

✏️Døme 11

Lat $f(x) = -x^2 + 4$ og $g(x) = -5x + 10$ .

Finn skjeringspunkta til $f$ og $g$ .
a) Ved å teikne grafane og lese av punkta.
b) Ved rekning.

Løysing:

a) Grafisk løysing:
Sjå GeoGebra-applet under for å sjå grafane og skjeringspunkta.

b) Ved rekning:
Vi set $f(x) = g(x)$ :
$-x^2 + 4 = -5x + 10$
$-x^2 + 5x + 4 - 10 = 0$
$-x^2 + 5x - 6 = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
$(x - 2)(x - 3) = 0$
$x = 2 \quad \vee \quad x = 3$

Vi finn y-koordinatane ved å setje inn i $g(x)$ :
$g(2) = -5 \cdot 2 + 10 = 0$
$g(3) = -5 \cdot 3 + 10 = -5$

Skjeringspunkta er $(2, 0)$ og $(3, -5)$ .

📊Skjeringspunkt: $f(x) = -x^2 + 4$ og $g(x) = -5x + 10$

📝Oppgave 12

Finn x-verdiane der grafane skjer kvarandre, og bruk desse til å finne koordinatane til skjeringspunkta.

f(x) = x - 3

g(x) = -2x + 3

f(x) = x^2 - 4

g(x) = -5x - 8

f(x) = -x^2 + x - 1

g(x) = -2x^2 + 2x + 11

Oppsummering

- Funksjonar: Ein regel som gir nøyaktig éin $y$ -verdi for kvar $x$ -verdi. Skrivast $f(x)$ eller $y = f(x)$
- Funksjonsnotasjon: $f(3)$ tyder "finn verdien av funksjonen når $x = 3$ "
- Verditabell: Tabell som viser $x$ -verdiar og tilhøyrande funksjonsverdiar $f(x)$
- Teikne grafar: Lag verditabell, plott punkta i koordinatsystem, teikn ei jamn linje/kurve gjennom punkta
- Nullpunkt: Løysingane til $f(x) = 0$ . Grafisk: der grafen skjer $x$ -aksen
- Skjeringspunkt: For å finne kvar to funksjonar $f$ og $g$ skjer kvarandre: løys $f(x) = g(x)$
- Matematiske modellar: Uttrykk som skildrar verkelege situasjonar, t.d. $I(t) = 200t$ for inntekt

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Å erstatte x med eit tal (Matematiske modellar)

Eigne matematiske modellar

f(x)f(x)f(x) - Matematiske funksjonar

Verditabellar

Å teikne eigne grafar

Å finne nullpunkta til ein funksjon

Å finne der to funksjonar skjer kvarandre

Oppsummering

$f(x)$ - Matematiske funksjonar