6.6 Differensiallikninger: separable og lineære første ordens

Standardmetodene for første ordens differensiallikninger — pensumkrav uten arkivforekomster, dekket kompakt med integrasjonsteknikk.

45 min

11 oppgaver

Differensiallikningerseparablelineære første ordens

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

6.PPrøver til del 6: Beredskap: egenverdier og potensrekker

Pensumkrav uten arkivforekomster — dekket kompakt, merket ærlig.

- Første ordens differensiallikninger — separable og lineære — har 0 forekomster i 22 arkiverte sett. Temaet står i emnebeskrivelsen, så vi dekker det med standardmetode, men merker det ærlig: «ikke arkivbelagt — sjekk nyere sett». Jag ikke en sjanger som ikke har vist seg; lær formen og metoden.
- Systemversjonen $x'=Ax$ kobler til egenverdier (kap. 6.1) dersom den skulle dukke opp — der brukes egenvektorene direkte.
- Metoden er kjent fra S2 (Separable differensiallikninger, Lineære differensiallikninger) — dette kapitlet systematiserer og repeterer den kompakt.

Prioritet: kjenne (pensumdekning, ikke arkivbelagt). Målet er at du behersker de to standardmetodene — separasjon og integrerende faktor — og kan kontrollere en løsning ved innsetting.

Forkunnskaper. Dette kapitlet bygger på S2: Separable differensiallikninger og Lineære differensiallikninger — samme to metoder, systematisert på universitetsnivå. Enkeltvariabel integrasjonsteknikk (se MAT1100 Del 4) forutsettes.

Kapitlet kan leses uavhengig av resten av MAT1110, men systemversjonen $x'=Ax$ nederst gjenbruker egenverdier og egenvektorer fra kap. 6.1–6.2.

En differensiallikning knytter en ukjent funksjon $y(x)$ til sine egne deriverte. Slike likninger beskriver alt som endrer seg etter en regel: befolkningsvekst, radioaktiv nedbrytning, avkjøling, strømkretser. Å «løse» likningen er å finne funksjonen $y(x)$ som passer.

To typer første ordens likninger har hver sin standardmetode. En separabel likning kan skrives slik at alt med $y$ havner på én side og alt med $x$ på den andre — så integrerer vi begge sider. En lineær likning $y' + p(x)y = q(x)$ løses med en integrerende faktor som gjør venstresiden til en ferdig derivert. Vi bygger dette i tre løkker: (1) hva en løsning er, og separable likninger; (2) lineære likninger og integrerende faktor; (3) initialverdiproblemer, konstantløsninger og modeller.

Løkke 1 — Differensiallikninger og separasjon (~16 min)

Første ordens differensiallikning

y(x)

Løsning og verifikasjon ved innsetting

y(x)

Generell og partikulær løsning

C

Separabel likning

y' = f(x)\,g(y)

📜Løsningsmetode for separable likninger

For $y' = f(x)g(y)$ :

1. Sjekk konstantløsninger: hver $y_0$ med $g(y_0)=0$ gir en konstant løsning $y\equiv y_0$ .
2. Separer: $\dfrac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$ (gyldig der $g(y)\ne 0$ ).
3. Integrer begge sider (én konstant $C$ holder).
4. Løs for $y$ om mulig, og bestem $C$ fra en eventuell initialbetingelse.

Steg 1 glemmes ofte — konstantløsningene mistes i divisjonen med $g(y)$ .

✏️Eksempel 1: Separabel likning

Løs initialverdiproblemet $y' = xy,\ y(0) = 1$ .

Likningen er separabel med

f(x)=x

g(y)=y

Konstantløsning: $g(y)=y=0$ gir $y\equiv 0$ , men den passer ikke $y(0)=1$ , så vi ser bort fra den her.

Separer og integrer (for $y\ne 0$ ):
$\frac{dy}{y} = x\,dx \quad\Rightarrow\quad \int \frac{dy}{y} = \int x\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C.$

Løs for $y$ : $y = e^{x^2/2 + C} = A\,e^{x^2/2}$ (med $A = e^C > 0$ ). Bestem $A$ fra $y(0)=1$ : $1 = A\,e^0 = A$ , så $A=1$ .

Konklusjon: $y(x) = e^{x^2/2}$ . (Verifikasjon: $y' = x\,e^{x^2/2} = x\,y$ ✓, og $y(0)=1$ ✓.)

📝Oppgave 1

Løs initialverdiproblemet $y' = 3y,\ y(0) = 5$ , og kontroller løsningen.

Løkke 2 — Lineære likninger og integrerende faktor (~16 min)

Lineær første ordens likning

y' + p(x)\,y = q(x),

Integrerende faktor

\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}

📜Løsningsmetode for lineære likninger

For $y' + p(x)y = q(x)$ :

1. Regn integrerende faktor $\mu = e^{\int p\,dx}$ (dropp konstanten i eksponenten).
2. Gang gjennom: venstresiden blir $(\mu y)'$ , så likningen er $(\mu y)' = \mu\,q$ .
3. Integrer: $\mu\,y = \int \mu\,q\,dx + C$ .
4. Del på $\mu$ for å få $y$ , og bestem $C$ fra en initialbetingelse.

Fortegnsfeil i $\int p$ er den vanligste feilen — dobbeltsjekk eksponenten.

✏️Eksempel 2: Lineær likning med integrerende faktor

Løs initialverdiproblemet $y' + 2y = e^{-x},\ y(0) = 3$ .

Likningen er lineær med

p(x) = 2

q(x) = e^{-x}

Integrerende faktor: $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$ .

Gang gjennom med $e^{2x}$ : venstresiden blir $(e^{2x}y)'$ , og høyresiden $e^{2x}\cdot e^{-x} = e^{x}$ :
$\bigl(e^{2x}y\bigr)' = e^{x}.$

Integrer: $e^{2x}y = \int e^{x}\,dx = e^{x} + C$ . Del på $e^{2x}$ :
$y = e^{-x} + C\,e^{-2x}.$

Bestem $C$ fra $y(0)=3$ : $3 = e^0 + C\,e^0 = 1 + C \Rightarrow C = 2$ .

Konklusjon: $y(x) = e^{-x} + 2e^{-2x}$ . (Verifikasjon: $y' = -e^{-x} - 4e^{-2x}$ , og $y' + 2y = -e^{-x} - 4e^{-2x} + 2e^{-x} + 4e^{-2x} = e^{-x}$ ✓; $y(0)=1+2=3$ ✓.)

📝Oppgave 2

Løs initialverdiproblemet $y' + y = x,\ y(0) = 1$ med integrerende faktor.

Løkke 3 — Initialverdier, konstantløsninger og modeller (~13 min)

Initialverdiproblem

y(x_0) = y_0

Konstantløsning (likevektsløsning)

y \equiv y_0

Eksponentiell vekst og avkjøling

y' = ky

Lineært system

x' = Ax

(kobling til egenverdier)

x'(t) = A\,x(t)

✏️Eksempel 3: Separabel likning med konstantløsning

Finn alle løsninger av $y' = -2xy^2$ , og løs deretter initialverdiproblemet med $y(0) = 1$ .

Separabel med

f(x) = -2x

g(y) = y^2

Konstantløsning: $g(y) = y^2 = 0$ gir $y \equiv 0$ — en gyldig løsning ( $y'=0 = -2x\cdot 0$ ).

Ikke-konstante løsninger (for $y\ne 0$ ): separer og integrer
$\frac{dy}{y^2} = -2x\,dx \quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{y} = -x^2 + C \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{y} = x^2 - C.$
Skriv $-C = D$ : $y = \dfrac{1}{x^2 + D}$ .

Initialverdi $y(0)=1$ : $1 = \dfrac{1}{0 + D} \Rightarrow D = 1$ . Altså $y = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ .

Konklusjon: den generelle løsningen er $y = \dfrac{1}{x^2 + D}$ pluss konstantløsningen $y\equiv 0$ ; IVP-løsningen er $y(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ . (Verifikasjon: $y' = -\dfrac{2x}{(x^2+1)^2} = -2x\,y^2$ ✓; $y(0)=1$ ✓.)

📝Oppgave 3

Løs initialverdiproblemet $y' - y = 2e^{x},\ y(0) = 0$ , og kontroller ved innsetting.

Typiske feil

- Miste konstantløsningene. Ved separasjon deler man på $g(y)$ ; hver $y_0$ med $g(y_0)=0$ er en egen løsning som forsvinner i divisjonen. Sjekk dem separat.
- Plassere integrasjonskonstanten feil. Skriv $+C$ når du integrerer, ikke etterpå — og bestem den fra initialbetingelsen etter at du har løst for $y$ .
- Fortegnsfeil i $\int p$ . Den integrerende faktoren $e^{\int p\,dx}$ er følsom for fortegnet på $p$ ; en glemt minus gir feil faktor og feil svar.
- Ikke kontrollere løsningen. Sett den inn i likningen til slutt — det fanger algebrafeil og er ofte selve oppgaven («vis at $y=\ldots$ løser»).
- Behandle en ikke-separabel/ikke-lineær likning med feil metode. Sjekk formen først: faktoriserer høyresiden ( $f(x)g(y)$ )? Er den lineær ( $y'+p y = q$ )? Velg metode deretter.

Eksamensrettet oppgavepulje

Stigende vanskegrad. Velg riktig metode (separasjon eller integrerende faktor), husk konstantløsninger, og kontroller sluttsvaret ved innsetting.

📝Oppgave 4

Avgjør om likningene er separable, lineære eller begge:

a) $y' = x^2 y$

b) $y' + 3y = \sin x$ .

📝Oppgave 5

Løs $y' = -4y,\ y(0) = 2$ (eksponentiell nedbrytning).

📝Oppgave 6

Løs det separable initialverdiproblemet $y' = \dfrac{x}{y},\ y(0) = 2$ .

📝Oppgave 7

Løs den lineære likningen $y' + \dfrac{1}{x}y = x,\ y(1) = 2$ for $x>0$ .

📝Oppgave 8

En bestand modelleres av $y' = 0{,}5\,y\,(1 - y)$ (logistisk vekst, $y$ i millioner).

a) Finn konstantløsningene.

b) Løs initialverdiproblemet med $y(0) = \tfrac12$ ved separasjon og delbrøk.

Begrepsbank

Kjernebegrepene fra kapitlet samlet som oppslag og flashcards.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Orden til en differensiallikning

y'

Homogen og inhomogen lineær likning

y' + p(x)y = q(x)

Retningsfelt

y' = f(x,y)

Integralkurve

y(x)

Autonom likning

x

Repetisjon

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.