7.P Prøver til del 7: Spesialtemaer: kjedebrøk, Pell og pytagoreiske tripler

Forkunnskaper

Alt du trenger, står i Del 7: kap. 7.1 (kjedebrøk, konvergenter, Pell), kap. 7.2 (pytagoreiske tripler) og kap. 7.3 (irrasjonalitet og approksimasjoner).

Fra resten av boka trenger du: Euklids algoritme fra kap. 1.2 (kjedebrøken er den samme algoritmen), delelighet og Euklids lemma fra kap. 1.1, og bevisteknikkene fra kap. 6.1 — særlig motsigelse og uttømmende case-analyse. Til prøve 7.C brukes arketype 1 fra kap. 6.3.

Ingen av de fire store teoremene (Del 2), RSA (Del 3), Legendre (Del 4) eller orden (Del 5) brukes i disse prøvene. Del 7 står for seg selv.

Har du ikke lest Del 7 ennå, er prøvene ikke stedet å begynne. Har du knapt med tid, er Del 7 dessuten det du skal hoppe over først — se prioriteringen i tipen over.

Har du lest Del 7 men er usikker, ta prøve 7.C først. Den dekker det høyest frekvente spesialtemaet, og den krever bare parametriseringen pluss en case-analyse.

Slik er prøvene bygget

Hver prøve har tre oppgaver, ordnet etter stigende vanskelighet: den første er ren prosedyre, den siste krever at du kjeder sammen flere resultater eller fører et bevis.

Fasitene er skrevet som A-besvarelser. Det betyr at hvert mellomsteg står der, at teoremet er navngitt der argumentet hviler på det (Euklids lemma, aritmetikkens fundamentalteorem, determinantformelen, arketype 1), og at kontrollene er utført.

Fire kontroller går igjen som eksplisitte krav i denne delen:

- Kjedebrøktabellen: alle $d_n$ hele tall, og siste periodeledd $=2a_0$.
- Konvergenttabellen: determinantformelen $p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n=\pm 1$ i hver rad.
- Pell-løsningen: innsetting gir nøyaktig $1$.
- Triplene: alle tre betingelsene på $(s,t)$, og $\gcd(x,y)=1$.

Alle fire er billige, og alle fire fanger regnefeil som ellers forplanter seg nedover.

Etter hver fasit står en avkryssbar selvdiagnose. Bruk den.

— naturlig pausepunkt —