GeoGebra/9. klasse/9.5
9. klasseKapittel 9.5

Pytagoras' setning

Pytagoras' setning er en av de viktigste setningene i geometri. Den beskriver sammenhengen mellom sidene i en rettvinklet trekant.

15 min
4 oppgaver
Dette skal du lære
  • •Rettvinklede trekanter
  • •a² + b² = c²
  • •Hypotenus
  • •Kateter

Pytagoras' setning

I en rettvinklet trekant gjelder:

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

Kateter (a og b)

De to sidene som danner den rette vinkelen (90°).

Hypotenus (c)

Den lengste siden, som ligger mot den rette vinkelen.

Husk:

Pytagoras gjelder bare for rettvinklede trekanter!

Utforsk Pytagoras

Se hvordan a² + b² = c² i en rettvinklet trekant.

Laster GeoGebra...

Finne hypotenusen

Når du kjenner begge katetene, kan du finne hypotenusen:

c=a2+b2c = \sqrt{a^2 + b^2}

Eksempel:

Katetene er 3 cm og 4 cm. Hvor lang er hypotenusen?

c=32+42c = \sqrt{3^2 + 4^2}
c=9+16c = \sqrt{9 + 16}
c=25=5 cmc = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}

I GeoGebra: c = sqrt(3^2 + 4^2)

Finne en katete

Når du kjenner hypotenusen og én katete, kan du finne den andre kateten:

a=c2−b2a = \sqrt{c^2 - b^2}

Eksempel:

Hypotenusen er 10 cm, én katete er 6 cm. Hvor lang er den andre kateten?

a=102−62a = \sqrt{10^2 - 6^2}
a=100−36a = \sqrt{100 - 36}
a=64=8 cma = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}

Beregn sidelengder

Bruk Pytagoras til å finne ukjente sider.

Laster GeoGebra...

Pytagoreiske tripler

Pytagoreiske tripler er sett med hele tall som oppfyller Pytagoras' setning.

Vanlige tripler:

  • 3, 4, 5 - den mest kjente
  • 5, 12, 13
  • 8, 15, 17
  • 7, 24, 25

Tips:

Hvis du ganger alle tallene i en tripel med samme tall, får du en ny tripel!

3, 4, 5 → 6, 8, 10 (ganget med 2)

Praktiske anvendelser

Pytagoras brukes i mange praktiske situasjoner:

Avstand i koordinatsystem

Avstanden mellom to punkter (x₁, y₁) og (x₂, y₂):

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

Byggning

Finne lengden på en diagonal, høyde på tak, eller sjekke om noe er vinkrett (rettvinklet).

I GeoGebra: Avstand(A, B) bruker Pytagoras!

Avstand mellom punkter

Se hvordan Pytagoras brukes til å finne avstand.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...
Ekstra oppgaver
  1. Finn hypotenusen når katetene er 5 cm og 12 cm
  2. En katete er 8 cm og hypotenusen er 17 cm. Finn den andre kateten
  3. Er 7, 24, 25 en pytagoreisk tripel? Sjekk ved å regne
  4. Finn avstanden mellom punktene A(2, 3) og B(6, 6) med Pytagoras
  5. En stige på 5 m står 3 m fra en vegg. Hvor høyt opp på veggen når stigen?

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

KommandoBeskrivelseEksempel
sqrt(x)Finner kvadratroten av xsqrt(25) = 5
Avstand(A, B)Finner avstanden mellom to punkterAvstand(A, B)
x^2x opphøyd i andre (x²)5^2 = 25
Mangekant(A, B, C)Lager trekant gjennom tre punkterMangekant(A, B, C)
Vinkel(A, B, C)Måler vinkel med toppunkt BVinkel(A, B, C)

Oppsummering

  • Pytagoras: a² + b² = c² (kun for rettvinklede trekanter)
  • Hypotenusen (c) er lengst og ligger mot den rette vinkelen
  • Katetene (a og b) danner den rette vinkelen
  • sqrt() brukes til å finne kvadratrot
  • Distance() bruker Pytagoras til å finne avstand