9. klasseKapittel 9.1

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som gir en rett linje når de tegnes i et koordinatsystem. De har formen y = ax + b, der a er stigningstallet og b er konstantleddet.

20 min

7 oppgaver

Dette skal du lære

•y = ax + b
•Stigningstall
•Konstantledd
•Nullpunkt
•Skjæringspunkt

Hva er en lineær funksjon?

En lineær funksjon beskriver en rett linje og kan skrives på formen:

y = ax + b

Stigningstall (a)

Hvor mye y endres når x øker med 1. Positiv a gir stigende linje, negativ a gir synkende linje.

Konstantledd (b)

Hvor linjen krysser y-aksen (når x = 0). Dette kalles også startverdi eller skjæringspunkt med y-aksen.

Utforsk lineære funksjoner

Se hvordan a og b påvirker linjen.

Laster GeoGebra...

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor bratt linjen er. Vi kan finne det ved å se på to punkter på linjen, $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ :

a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}

Eksempel:

Punktene A(1, 3) og B(4, 9) ligger på en linje. Finn stigningstallet:

a = \frac{9-3}{4-1} = \frac{6}{3} = 2

I GeoGebra kan du bruke Stigning(f) for å finne stigningstallet.

Beregn stigningstall

Lag en linje og finn stigningstallet.

Laster GeoGebra...

Konstantledd (skjæring med y-aksen)

Konstantleddet b er y-verdien når x = 0. Dette er punktet der linjen krysser y-aksen, også kalt skjæringspunkt med y-aksen.

Finne konstantleddet:

Sett x = 0 i funksjonen
Beregn y-verdien
Dette er konstantleddet b

Eksempel: $f(x) = 3x + 5$

Når x = 0: $f(0) = 3 \cdot 0 + 5 = 5$

Konstantleddet er b = 5, så linjen krysser y-aksen i punktet (0, 5).

Se konstantleddet

Legg merke til hvor linjen krysser y-aksen.

Laster GeoGebra...

Nullpunkt (skjæring med x-aksen)

Nullpunktet er x-verdien der funksjonen er lik 0, altså der linjen krysser x-aksen. I dette punktet er y = 0.

Finne nullpunktet:

Sett y = 0 (eller f(x) = 0)
Løs likningen for x
Dette gir x-verdien til nullpunktet

Eksempel: $f(x) = 2x - 4$

Sett $f(x) = 0$ :

2x - 4 = 0

2x = 4

x = 2

Nullpunktet er x = 2, så linjen krysser x-aksen i punktet (2, 0).

I GeoGebra: Nullpunkt(f)

Finn nullpunktet

Se hvor linjen krysser x-aksen.

Laster GeoGebra...

Skjæringspunkt med aksene i GeoGebra

For å finne skjæringspunkt med aksene ved hjelp av Skjæring()-kommandoen, må vi først definere aksene som linjer:

Slik definerer du aksene:

yakse: x = 0 - y-aksen som en vertikal linje
xakse: y = 0 - x-aksen som en horisontal linje

Finn skjæringspunktene:

P = Skjæring(f, yakse) - skjæring med y-aksen
Q = Skjæring(f, xakse) - skjæring med x-aksen

Skjæringspunkt med aksene

Se hvordan du finner skjæringspunkt med både x- og y-aksen.

Laster GeoGebra...

Skjæringspunkt mellom to linjer

Skjæringspunktet mellom to linjer finner du der de krysser hverandre. Her har begge linjer ulike stigningstall, så de vil alltid krysse i nøyaktig ett punkt.

Eksempel:

Finn skjæringspunktet mellom:

f(x) = 2x + 1

g(x) = -x + 4

Bruk Skjæring(f, g) i GeoGebra.

Merk:

Hvis to linjer har samme stigningstall (parallelle), vil de aldri krysse hverandre og har ingen skjæringspunkt.

Finn skjæringspunkt mellom linjer

Se hvor to linjer krysser hverandre.

Laster GeoGebra...

Linje gjennom to punkter

Hvis du har to punkter, kan GeoGebra automatisk finne linjen som går gjennom dem. Du kan også finne en lineær funksjon som passer til punktene.

Kommandoer:

Linje(A, B) - tegner linje gjennom A og B
RegLin(liste) - finner funksjon gjennom punkter

Lag linje gjennom punkter

Prøv å lage linjer gjennom forskjellige punkter.

Laster GeoGebra...

Ekstra oppgaver

Laster øvelser...

Ekstra oppgaver

Tegn f(x) = 2x - 4 og finn stigningstallet med Stigning(f)
Marker punktet P = (0, f(0)) der f krysser y-aksen (konstantleddet)
Finn nullpunktet til f med Nullpunkt(f)
Definer aksene (yakse: x = 0, xakse: y = 0) og verifiser P og nullpunktet med Skjæring(f, yakse) og Skjæring(f, xakse)
Tegn g(x) = -x + 5 og finn skjæringspunktet S = Skjæring(f, g)
Lag punktene A = (1, 3) og B = (4, 9), og tegn linjen m = Linje(A, B)
Tegn h(x) = 2x + 1 (samme stigningstall som f) og observer at f og h er parallelle

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

Kommando	Beskrivelse	Eksempel
`f(x) = ax + b`	Definerer en lineær funksjon	`f(x) = 2x + 3`
`Stigning(f)`	Finner stigningstallet til en linje	`Stigning(f)`
`Nullpunkt(f)`	Finner nullpunktet (skjæring med x-aksen)	`Nullpunkt(f)`
`Skjæring(f, g)`	Finner skjæringspunkt mellom to funksjoner	`Skjæring(f, g)`
`yakse: x = 0`	Definerer y-aksen som en linje	`yakse: x = 0`
`xakse: y = 0`	Definerer x-aksen som en linje	`xakse: y = 0`
`Linje(A, B)`	Tegner linje gjennom to punkter	`Linje(A, B)`
`RegLin(liste)`	Finner lineær funksjon gjennom punkter	`RegLin({A, B})`

Oppsummering

Lineær funksjon: y = ax + b
a er stigningstallet (hvor bratt linjen er)
b er konstantleddet (skjæring med y-aksen)
Nullpunktet er der linjen krysser x-aksen (y = 0)
Stigning() finner stigningstall
Nullpunkt() finner skjæring med x-aksen
Skjæring() finner skjæringspunkt mellom grafer
Linje() og RegLin() lager linjer