10. klasseKapittel 10.7

Eksponentiell vekst

Eksponentiell vekst beskriver situasjoner der noe vokser med en fast prosent. Dette gjelder for eksempel befolkningsvekst, bakterier og rentesrente.

15 min

4 oppgaver

Dette skal du lære

Hva er eksponentiell vekst?

Ved eksponentiell vekst øker mengden med en fast prosent i hver periode. Jo større mengden er, jo mer øker den.

y = a \cdot b^x

Se hvordan vekstfaktoren påvirker grafen.

Laster GeoGebra...

Doblingstiden er tiden det tar før mengden er doblet. Halveringstiden er tiden det tar før mengden er halvert.

Med 10% vekst tar det ca. 7 år å doble.

1.10^7 \approx 2

Med 10% nedgang tar det ca. 7 år å halvere.

0.90^7 \approx 0.5

Doblingstid ≈ 70 ÷ prosentvekst

Med 7% vekst: 70 ÷ 7 = 10 år til dobling

Når vekstfaktoren er mindre enn 1, får vi eksponentiell nedgang. Mengden avtar med en fast prosent.

Et stoff har halveringstid på 10 år. Start: 100 gram.

y = 100 \cdot 0.5^{x/10}

Etter 20 år: $100 \cdot 0.5^2 = 25$ gram

Se hvordan mengden avtar over tid.

Laster GeoGebra...

Lineær vekst øker med et fast tall, eksponentiell vekst øker med en fast prosent.

y = ax + b

Rett linje

y = a \cdot b^x

Kurve som stiger raskere og raskere

Ekstra oppgaver

En bakteriekultur dobler seg hver time. Start med 100. Hvor mange etter 5 timer?
Tegn grafen til f(x) = 50 · 1.08^x
Et stoff har halveringstid 5 år. Hvor mye er igjen etter 15 år?
Finn doblingstiden for 6% årlig vekst
Sammenlign lineær vekst y = 10x + 100 med eksponentiell y = 100 · 1.1^x

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Kommando	Beskrivelse	Eksempel
`a * b^x`	Eksponentiell funksjon	`100 * 1.05^10`
`log(y/a) / log(b)`	Finn x når y er kjent	`log(200/100) / log(1.1)`