10. klasseKapittel 10.2

Andregradsfunksjoner

Andregradsfunksjoner har grafer som er parabler. Du vil lære om toppunkt, nullpunkter, symmetri og hvordan man analyserer parabler i GeoGebra.

20 min

5 oppgaver

Dette skal du lære

•Parabel
•Toppunkt
•Nullpunkter
•Symmetrilinje

Hva er en andregradsfunksjon?

En andregradsfunksjon er en funksjon der høyeste potens av x er 2. Grafen er alltid en parabel.

f(x) = ax^2 + bx + c

a, b og c er konstanter, der a ≠ 0

a > 0

Parabelen åpner oppover (smilende munn)

a < 0

Parabelen åpner nedover (sur munn)

Utforsk andregradsfunksjoner

Se hvordan parameterne påvirker parabelens form.

Laster GeoGebra...

Toppunkt

Toppunktet er det høyeste eller laveste punktet på parabelen. Det ligger på symmetrilinjen.

Minimum

Når a > 0: Toppunktet er det laveste punktet

Maksimum

Når a < 0: Toppunktet er det høyeste punktet

Finn toppunktet:

Toppunkt(f)

eller Ekstremalpunkt(f)

Finn toppunkt

GeoGebra kan finne toppunktet automatisk.

Laster GeoGebra...

Nullpunkter

Nullpunktene er punktene der grafen skjærer x-aksen (der y = 0). En andregradsfunksjon kan ha 0, 1 eller 2 nullpunkter.

2 nullpunkter

Grafen krysser x-aksen to steder

1 nullpunkt

Grafen berører x-aksen (toppunkt på x-aksen)

0 nullpunkter

Grafen berører ikke x-aksen

Finn nullpunkter:

Nullpunkt(f)

Finn nullpunkter

Utforsk funksjoner med ulike antall nullpunkter.

Laster GeoGebra...

Symmetrilinje

Alle parabler er symmetriske om en vertikal linje som går gjennom toppunktet. Denne linjen kalles symmetrilinjen.

Symmetrilinjens likning:

x = x_T

der $x_T$ er x-koordinaten til toppunktet

Eksempel: Hvis toppunktet er (2, -1), er symmetrilinjen x = 2

Utforsk symmetri

Se symmetrilinjen i en parabel.

Laster GeoGebra...

Forskjellige former

Andregradsfunksjoner kan skrives på flere måter:

Standardform

f(x) = ax^2 + bx + c

c er skjæringen med y-aksen

Toppunktsform

f(x) = a(x - h)^2 + k

Toppunkt: (h, k)

Faktorisert form

f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)

Nullpunkter: $x_1$ og $x_2$

Øv selv

Laster øvelser...

Ekstra oppgaver

Tegn f(x) = x² - 2x - 3 og finn toppunktet
Finn nullpunktene til g(x) = x² - 5x + 6
Lag en andregradsfunksjon som åpner nedover og har toppunkt i (1, 4)
Tegn h(x) = -x² + 4 og finn symmetrilinjen
Eksperimenter med a, b og c i f(x) = ax² + bx + c ved hjelp av glidere

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

Kommando	Beskrivelse	Eksempel
`f(x) = ax^2 + bx + c`	Andregradsfunksjon	`f(x) = x^2 - 4*x + 3`
`Toppunkt(f)`	Finner toppunktet	`T = Toppunkt(f)`
`Nullpunkt(f)`	Finner nullpunktene	`N = Nullpunkt(f)`
`Ekstremalpunkt(f)`	Finner ekstremalpunkt (toppunkt)	`E = Ekstremalpunkt(f)`

Oppsummering

Andregradsfunksjon: f(x) = ax² + bx + c
Grafen er en parabel
Toppunkt() finner toppunktet
Nullpunkt() finner nullpunktene
Symmetrilinje går gjennom toppunktet
a > 0: åpner opp, a < 0: åpner ned