4.4 Øvingseksamen 3 — rotasjonsmalen (eksakt pivot, parvis/andeler, prediksjon)

- kap. 1.2 — ML-kjeden $L \to \ell \to$ score $\to$ løs $\to$ bekreft maksimum, som bærer oppgave 1a–c.
- kap. 2.5 — transformasjons-pivoten $2\sum X_i/\theta\sim\chi^2_{2n}$, eksakt KI og eksakt ensidig test, som bærer oppgave 1d–f.
- kap. 2.3 — parvise data redusert til differanser og to-utvalgs andelstest med pooled $\hat p$, som bærer oppgave 2.
- kap. 2.6 — de ikke-parametriske alternativene når normalitetsantakelsen svikter (oppgave 2e).
- kap. 3.2 — å lese lm-sammendraget, og kap. 3.4 — de tre diagnoseplottene, for oppgave 3.
- kap. 3.5 — konfidensintervall for forventet respons kontra prediksjonsintervall, som bærer oppgave 3d–f.

Eksponensialfordelingens $E(X)=\theta$, $V(X)=\theta^2$ og gamma/kjikvadrat-koblingen er STK1100-stoff; kap. 0.2 frisker dem opp.

Oppgavesettet

Oppgave 1 — Estimering og eksakt pivot for en eksponensial-forventning (a–f)

Tiden mellom stopp på en pakkerobot antas eksponensialfordelt: $X_1,\dots,X_n$ uavhengige med tetthet
$$f(x;\theta)=\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta},\qquad x>0,$$
der $\theta=E(X_i)$ er forventet tid mellom stopp (timer). For $n=12$ registrerte mellomtider er $\sum_{i=1}^{12} x_i=96{,}0$ timer. Fra STK1100: $E(X_i)=\theta$ og $V(X_i)=\theta^2$ (repetert i kap. 0.2).

a) Sett opp likelihoodfunksjonen $L(\theta)$ og log-likelihooden $\ell(\theta)$.

b) Utled scorefunksjonen, løs scoreligningen og vis at ML-estimatoren er $\hat\theta=\bar X$. Bekreft at løsningen er et maksimumspunkt.

c) Vis at $\hat\theta$ er forventningsrett, og finn $V(\hat\theta)$.

d) Forklar hvorfor størrelsen
$$W(\theta)=\frac{2\sum_{i=1}^n X_i}{\theta}$$
er kjikvadratfordelt med $2n$ frihetsgrader, og hvorfor den dermed er en pivot. (Hint: summen av $n$ uavhengige eksponensialer er gamma-fordelt.)

e) Bruk pivoten til å utlede et eksakt 95 %-konfidensintervall for $\theta$, og regn det ut. Kommenter intervallets form rundt punktestimatet. Oppgitt: $\chi^2_{24,\,0{,}025}=39{,}36$ og $\chi^2_{24,\,0{,}975}=12{,}40$.

f) Produsenten av roboten oppgir at gammel programvare ga $\theta=5$ timer mellom stopp, og driftsavdelingen mener den nye programvaren har økt tiden. Gjennomfør en eksakt test av $H_0:\theta=5$ mot $H_a:\theta>5$ på 5 %-nivå, med komplett rituale og P-verdi. Oppgitt: $\chi^2_{24,\,0{,}05}=36{,}42$ og $P(\chi^2_{24}>38{,}4)=0{,}032$.

Et byggelaboratorium sammenligner et nytt håndholdt instrument med den etablerte laboratoriemetoden for trykkfasthet i betong. De samme ni prøvestykkene måles med begge metoder, og differansene $d_i=$ håndholdt $-$ laboratorium (MPa) er

$$0{,}8\quad -0{,}3\quad 1{,}2\quad 0{,}5\quad 0{,}9\quad 0{,}2\quad 1{,}1\quad -0{,}1\quad 0{,}6$$

Oppgitt: $\bar d=0{,}5444$, $s_D=0{,}5223$, $t_{8,\,0{,}025}=2{,}306$ og $P(T_8>3{,}13)\approx 0{,}007$.

a) Forklar hvorfor dette skal analyseres som parvise data og ikke med en to-utvalgs t-test, og sett opp modellen for differansene.

b) Test på 5 %-nivå om metodene har samme forventning, med komplett rituale: hypoteser, observator med fordeling, begrunnelse for nivået, tallfesting med P-verdi (definér den i ord) og konklusjon i kontekst.

c) Angi et 95 %-konfidensintervall for forventet differanse $\mu_D$, og bruk dualiteten som kryssjekk mot (b).

d) Samme laboratorium innførte i fjor et nytt kontrollsystem for leveranser. Før omleggingen ble 30 av 120 leveranser reklamert; etter ble 24 av 150 reklamert. Test på 5 %-nivå om reklamasjonsandelen var høyere før enn etter ($H_a:p_1>p_2$), med pooled andel og komplett rituale. Oppgitt: $z_{0{,}05}=1{,}645$ og $P(Z>1{,}84)\approx 0{,}033$.

e) Et QQ-plott av de ni differansene i (a)–(c) viser at de to negative differansene ligger klart under referanselinja i nedre hale (beskrevet i ord — tegn ikke). Hvilken test er det naturlige alternativet hvis normalitetsantakelsen ikke kan forsvares, og hva tester den?

Et lakkeringsverksted undersøker hvordan relativ luftfuktighet påvirker tørketiden for billakk. For $n=15$ lakkeringer er tørketid $y$ (minutter) og luftfuktighet $x$ (%) registrert; fuktigheten i datasettet spenner fra 30 til 70 %. Tilpasningen gir:

Coefficients:
            Estimate  Std. Error  t value  Pr(>|t|)
(Intercept)  18.5925      2.4983    7.442  4.89e-06
fuktighet     0.8270      0.0475   17.414  2.16e-10
---
Residual standard error: 2.2246 on 13 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9589,   Adjusted R-squared:  0.9557
F-statistic: 303.2 on 1 and 13 DF,  p-value: 2.16e-10

Oppgitt: $\bar x=51{,}2$, $S_{xx}=\sum(x_i-\bar x)^2=2194{,}4$ og $t_{13,\,0{,}025}=2{,}160$.

a) Skriv opp regresjonsmodellen med antakelser, tolk begge koeffisientestimatene i kontekst, og forklar hvordan frihetsgradstallet 13 fremkommer.

b) Test på 5 %-nivå om fuktigheten påvirker forventet tørketid, og angi et 95 %-konfidensintervall for stigningstallet.

c) Diagnostikken beskrives slik (i ord): residualene mot tilpassede verdier danner en strukturløs sky rundt null; QQ-plottet følger referanselinja tett i hele området; scale–location-kurven er tilnærmet flat. Vurder modellantakelsene ut fra dette — plott for plott.

d) Verkstedet skal planlegge en dag med luftfuktighet $x_0=50$ %. Angi et 95 %-konfidensintervall for forventet tørketid ved $x_0=50$.

e) Angi deretter et 95 %-prediksjonsintervall for tørketiden til én enkelt lakkering ved $x_0=50$. Forklar hvorfor dette intervallet er bredere enn intervallet i (d), og pek på leddet i formelen som gjør forskjellen.

f) En kunde spør hva tørketiden blir i et fuktkammer med $x_0=90$ %. Hvilket forbehold må du ta, og hvorfor?