2.2 Ubestemt integral

Antiderivasjon og grunnleggende integrasjonsregler.

55 min

10 oppgaver

AntiderivasjonIntegrasjonsreglerKonstantPotensregel

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

2.3Integrasjon av 1/x og eksponentialfunksjoner 2.4Bestemt integral som grenseverdi 3.1Variabelskifte (substitusjon)3.2Delvis integrasjon

Kva er integrasjon?

I førre kapittel lærte vi å derivere funksjonar. No skal vi lære den omvende operasjonen: integrasjon.

Derivasjon svarar på spørsmålet: Kva er vekstfarten til ein funksjon?

Integrasjon svarar på spørsmålet: Kva for ein funksjon har denne vekstfarten?

Dersom vi veit at $f'(x) = 2x$ , kva for ein funksjon $f(x)$ gav denne deriverte? Vi veit at $(x^2)' = 2x$ , så $f(x) = x^2$ er éi løysing. Men det finst fleire!

Antiderivert

F(x)

✏️Eksempel 1: Finne ein antiderivert

Finn ein antiderivert til $f(x) = 3x^2$ .

Løysing:

Vi leitar etter ein funksjon $F(x)$ slik at $F'(x) = 3x^2$ .

Vi veit at $(x^3)' = 3x^2$ .

Difor er $F(x) = x^3$ ein antiderivert til $f(x) = 3x^2$ .

Sjekk: $F'(x) = (x^3)' = 3x^2 = f(x)$ ✓

📝Oppgave 1

Finn ein antiderivert til kvar funksjon. Sjekk svaret ved å derivere.

f(x) = 4x^3

f(x) = 5x^4

f(x) = 2x

f(x) = 6x^5

Integrasjonskonstanten $C$

Lat oss sjå på funksjonane $F_1(x) = x^2$ , $F_2(x) = x^2 + 5$ og $F_3(x) = x^2 - 3$ .

Alle desse har same derivert:
- $F_1'(x) = 2x$
- $F_2'(x) = 2x$
- $F_3'(x) = 2x$

Dette tyder at alle tre er antideriverte til $f(x) = 2x$ !

Generelt: Dersom $F(x)$ er ein antiderivert til $f(x)$ , så er òg $F(x) + C$ ein antiderivert for kvar konstant $C$ .

Ubestemt integral

f(x)

✏️Eksempel 2: Ubestemt integral

Finn det ubestemte integralet $\displaystyle\int 6x^5 \, dx$ .

Løysing:

Vi leitar etter ein funksjon $F(x)$ slik at $F'(x) = 6x^5$ .

Vi veit at $(x^6)' = 6x^5$ .

Difor er:

$\int 6x^5 \, dx = x^6 + C$

Integrasjonskonstanten $C$ må alltid vere med fordi $x^6 + C$ er ein antiderivert for alle verdiar av $C$ .

📝Oppgave 2

Finn det ubestemte integralet. Hugs integrasjonskonstanten $C$ .

\displaystyle\int 2x \, dx

\displaystyle\int 4x^3 \, dx

\displaystyle\int 7x^6 \, dx

\displaystyle\int 10x^9 \, dx

Potensregelen for integrasjon

No skal vi utleie ein generell regel for å integrere potensfunksjonar.

Vi veit at $(x^n)' = nx^{n-1}$ . Kva om vi vil integrere $x^n$ ?

Dersom $(x^{n+1})' = (n+1)x^n$ , så er $x^{n+1}$ nesten ein antiderivert til $x^n$ .

Men vi får faktoren $(n+1)$ som vi må kvitte oss med. Løysinga er å dele på $(n+1)$ :

$\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)' = \frac{(n+1)x^n}{n+1} = x^n$

📜Potensregelen for integrasjon

For alle

n \neq -1

gjeld:

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

Spesialtilfelle: For $n = 0$ får vi $\int 1 \, dx = x + C$ .

Merk: Regelen gjeld ikkje for $n = -1$ fordi vi då ville delt på null. Integralet $\displaystyle \int x^{-1} \, dx = \int \frac{1}{x} \, dx$ blir handsama seinare.

✏️Eksempel 3: Bruke potensregelen

Finn integrala:

a) $\displaystyle\int x^4 \, dx$

b) $\displaystyle\int x^{-3} \, dx$

c) $\displaystyle\int \sqrt{x} \, dx$

Løysing:

a) Vi bruker potensregelen med $n = 4$ :
$\int x^4 \, dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C$

b) Vi bruker potensregelen med $n = -3$ :
$\int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$

c) Først skriv vi om: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ . Potensregelen med $\displaystyle n = \frac{1}{2}$ :
$\int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C = \frac{2}{3}\sqrt{x^3} + C$

📝Oppgave 3

Bruk potensregelen til å finne integrala.

\displaystyle\int x^5 \, dx

\displaystyle\int x^{-2} \, dx

\displaystyle\int x^{-4} \, dx

\displaystyle\int \sqrt[3]{x} \, dx

\displaystyle \displaystyle\int \frac{1}{x^5} \, dx

Reknereglar for integral

Akkurat som for derivasjon har vi nyttige reknereglar som gjer integrasjon enklare.

📜Sumregel og konstantfaktorregel

Sumregelen:

\int \bigl(f(x) + g(x)\bigr) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx

Differanseregelen:
$\int \bigl(f(x) - g(x)\bigr) \, dx = \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx$

Konstantfaktorregelen:
$\int k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int f(x) \, dx$

der $k$ er ein konstant.

✏️Eksempel 4: Bruke reknereglane

Finn integrala:

a) $\displaystyle\int 5x^3 \, dx$

b) $\displaystyle\int (x^2 + 3x) \, dx$

c) $\displaystyle\int (4x^3 - 2x + 7) \, dx$

Løysing:

a) Konstantfaktorregelen:
$\int 5x^3 \, dx = 5 \int x^3 \, dx = 5 \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{5x^4}{4} + C$

b) Sumregelen:
$\int (x^2 + 3x) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 3x \, dx = \frac{x^3}{3} + 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C$

c) Sum- og konstantfaktorregelen:
$\int (4x^3 - 2x + 7) \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C = x^4 - x^2 + 7x + C$

Merk: Vi treng berre éin integrasjonskonstant $C$ til slutt.

📝Oppgave 4

Finn integrala ved å bruke sum- og konstantfaktorregelen.

\displaystyle\int 3x^2 \, dx

\displaystyle\int (x^4 + x^2) \, dx

\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 1) \, dx

\displaystyle\int (2x^5 - 3x^3 + x) \, dx

\displaystyle \displaystyle\int \left(\frac{1}{2}x^4 - \frac{2}{3}x^3\right) \, dx

Integrasjon av polynom

Med potensregelen og reknereglane kan vi no integrere alle polynom.

Generell metode:
1. Skriv polynomet som ein sum av ledd
2. Integrer kvart ledd for seg med potensregelen
3. Legg til integrasjonskonstanten $C$

For eit polynom $p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$ får vi:

$\int p(x) \, dx = \frac{a_n x^{n+1}}{n+1} + \frac{a_{n-1} x^n}{n} + \cdots + \frac{a_1 x^2}{2} + a_0 x + C$

✏️Eksempel 5: Integrasjon av polynom

Finn integrala:

a) $\displaystyle\int (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) \, dx$

b) $\displaystyle\int (x+2)(x-3) \, dx$

c) $\displaystyle \displaystyle\int \frac{x^3 - 2x}{x} \, dx$

Løysing:

a) Integrer ledd for ledd:
$\int (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 2x + C$

b) Først multipliserer vi ut parentesane:
$(x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$

Så integrerer vi:
$\int (x^2 - x - 6) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 6x + C$

c) Først forenklar vi ved å dele kvart ledd på $x$ :
$\frac{x^3 - 2x}{x} = \frac{x^3}{x} - \frac{2x}{x} = x^2 - 2$

Så integrerer vi:
$\int (x^2 - 2) \, dx = \frac{x^3}{3} - 2x + C$

📝Oppgave 5

Finn integrala. Forenkle uttrykket først om nødvendig.

\displaystyle\int (2x^4 - 3x^3 + x^2 - 5) \, dx

\displaystyle\int (x+1)^2 \, dx

\displaystyle\int (2x-1)(x+3) \, dx

\displaystyle \displaystyle\int \frac{x^4 + x^2}{x^2} \, dx

\displaystyle \displaystyle\int \frac{(x+1)(x-1)}{x} \, dx

Vanlege feil

- Gløyme $C$ : Det ubestemte integralet inneheld alltid ein integrasjonskonstant.
- Feil i potensregelen: Hugs at eksponenten blir auka med 1, og vi deler på den nye eksponenten.
- $\displaystyle \int \frac{1}{x} \, dx \neq \frac{x^0}{0}$ : Potensregelen gjeld ikkje for $n = -1$ . Her er svaret $\ln|x| + C$ .

Oppsummering

Antiderivert: $F(x)$ er ein antiderivert til $f(x)$ dersom $F'(x) = f(x)$

Ubestemt integral: $\displaystyle\int f(x) \, dx = F(x) + C$

Potensregelen: $\displaystyle \displaystyle\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ for $n \neq -1$

Sumregelen: $\displaystyle\int (f + g) \, dx = \int f \, dx + \int g \, dx$

Konstantfaktorregelen: $\displaystyle\int k \cdot f \, dx = k \cdot \int f \, dx$

Tips:
- Sjekk alltid svaret ved å derivere!
- Ikkje gløym integrasjonskonstanten $C$
- Forenkle uttrykket før du integrerer

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Kva er integrasjon?

Integrasjonskonstanten CCC

Potensregelen for integrasjon

Reknereglar for integral

Integrasjon av polynom

Oppsummering

Integrasjonskonstanten $C$