2.2 Ubestemt integral

Detektivarbeid baklengs

I forrige kapittel var spørsmålet alltid det samme: her er en funksjon — hva er den deriverte? Nå snur vi saken på hodet og blir detektiver. Sporet vi finner, er en derivert: $f'(x) = 2x$. Spørsmålet er: hvilken funksjon etterlot dette sporet?

Du ser kanskje svaret med en gang: $(x^2)' = 2x$, så $f(x) = x^2$ passer. Men vent — $(x^2 + 5)' = 2x$ også. Og $(x^2 - 3)' = 2x$. Konstantleddet forsvinner sporløst i derivasjonen, så uendelig mange funksjoner deler det samme sporet. Slik er det alltid i baklengs-derivasjon, og det er derfor svaret vårt alltid får et lite vedheng: konstanten $C$.

Denne baklengs-operasjonen kalles integrasjon, og den er en av matematikkens to store søyler ved siden av derivasjonen. I dette kapittelet lærer du å finne antideriverte, å bruke potensregelen for integrasjon — og hvorfor det lille $+\,C$-et aldri kan droppes.

Antiderivert og det ubestemte integralet

La oss gi detektivarbeidet presise navn. En funksjon $F(x)$ kalles en antiderivert til $f(x)$ dersom

$$F'(x) = f(x)$$

For eksempel er $F(x) = x^3$ en antiderivert til $f(x) = 3x^2$, siden $(x^3)' = 3x^2$. Kontrollen er alltid den samme — og alltid tilgjengelig: deriver svaret ditt, og se om du får tilbake utgangspunktet.

Men som vi så: er $F(x)$ en antiderivert, er $F(x) + C$ det også, for enhver konstant $C$. Hele familien av antideriverte samler vi i det ubestemte integralet:

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

Symbolene fortjener en presentasjon. Tegnet $\int$ er integraltegnet (en strukket S — hvorfor S, avsløres i kapittel 2.4), $f(x)$ kalles integranden, $dx$ angir at vi integrerer med hensyn på $x$, og $C$ er integrasjonskonstanten — det matematiske «pluss en ukjent startverdi».

Et eksempel: $\int 6x^5 \, dx$. Vi leter etter noe som derivert gir $6x^5$, og $(x^6)' = 6x^5$ treffer blink:

$$\int 6x^5 \, dx = x^6 + C$$

Glem aldri $C$-en. Den ser pedantisk ut, men den bærer reell informasjon: uten et ekstra holdepunkt — for eksempel en kjent funksjonsverdi — kan vi ikke vite hvilken av de uendelig mange antideriverte som er den rette.

Potensregelen — baklengs denne gangen

Forlengs sa potensregelen: eksponenten ned som faktor, ny eksponent én lavere. Baklengs må vi da gjøre det motsatte: øk eksponenten med én, og del på den nye eksponenten. Hvorfor delingen? Fordi $(x^{n+1})' = (n+1)x^n$ gir en uønsket faktor $(n+1)$ som må nøytraliseres:

$$\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)' = \frac{(n+1)x^n}{n+1} = x^n$$

Dermed har vi potensregelen for integrasjon:

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)$$

Spesialtilfellet $n = 0$ gir $\int 1 \, dx = x + C$. Og unntaket $n = -1$? Da ville vi delt på null — integralet $\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx$ er en helt egen historie som venter i kapittel 2.3.

Regelen dekker mer enn det første blikket avslører, for både negative eksponenter og røtter er potenser i forkledning. Tre eksempler:

$$\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} + C$$

$$\int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$$

$$\int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}\sqrt{x^3} + C$$

Trikset i de to siste: skriv om til potensform før du integrerer. Da er alt sammen samme regel.

Regneregler og polynomer på samlebånd

Akkurat som derivasjonen har integrasjonen sine kombinasjonsregler, og de er behagelig like. Sumregelen sier $\int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx$ (tilsvarende for differanser), og konstantfaktorregelen sier $\int k \cdot f\,dx = k \int f\,dx$. Vi kan altså integrere ledd for ledd og la tallfaktorer vente utenfor.

Dermed blir polynomer samlebåndsarbeid:

$$\begin{aligned} &\int (4x^3 - 2x + 7) \, dx \\ = {}&4 \cdot \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C \\ = {}&x^4 - x^2 + 7x + C \end{aligned}$$

Merk at det holder med én konstant $C$ til slutt — summen av flere vilkårlige konstanter er bare en ny vilkårlig konstant.

To førstehjelpstriks gjør mange oppgaver enklere. Det første: gang ut før du integrerer. Integralet $\int (x+2)(x-3)\,dx$ ser ubehagelig ut, men $(x+2)(x-3) = x^2 - x - 6$ integreres rett frem til $\displaystyle \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 6x + C$. Det andre: forenkle brøker først. I $\displaystyle \int \frac{x^3 - 2x}{x}\,dx$ deler vi hvert ledd på $x$ og får $\displaystyle \int (x^2 - 2)\,dx = \frac{x^3}{3} - 2x + C$.

Og det evige sikkerhetsnettet: deriver svaret. Får du tilbake integranden, er alt i orden. De vanligste fellene er å glemme $C$, å bruke potensregelen feil vei (eksponenten skal opp, ikke ned) — og å prøve potensregelen på $\displaystyle \frac{1}{x}$, der den ikke gjelder.

Oppsummering: sporjakten har fått system

Detektivarbeidet fra innledningen er blitt en metode. En antiderivert $F$ til $f$ oppfyller $F'(x) = f(x)$, og hele familien av antideriverte skrives som det ubestemte integralet $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ — med integrasjonskonstanten $C$ som fast følgesvenn, fordi konstantledd ikke setter spor i derivasjonen.

Arbeidshesten er potensregelen baklengs: $\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ for $n \neq -1$ — eksponenten opp, del på den nye — og den dekker også røtter og negative potenser når vi først skriver om til potensform. Sum- og konstantfaktorregelen lar oss ta polynomer ledd for ledd, og forenklingstriksene (gang ut parenteser, del opp brøker) rydder veien. Sikkerhetsnettet er alltid det samme: deriver svaret og se at integranden kommer tilbake.

Ett mysterium står åpent: hullet i potensregelen ved $n = -1$. Hva er egentlig $\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx$? Svaret involverer en gammel kjenning fra logaritmenes verden — og det er neste kapittel.