7.1 Funksjoner av to variabler | Matematikk for økonomer

Definisjonsmengde, verdimengde og nivåkurver for $f(x,y)$, med Cobb-Douglas og nyttefunksjoner som eksempler.

50 min

14 oppgaver

Funksjon av to variablerDefinisjonsmengdeNivåkurverCobb-DouglasNyttefunksjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Lineære funksjoner 3.3Eksponentialfunksjoner

Brukes videre i

7.2Partielle deriverte

Så langt har vi arbeidd med funksjonar som avheng av éin variabel, til dømes kostnaden $K(x)$ som funksjon av produsert mengd. I røynda avheng økonomiske storleikar ofte av fleire variablar samstundes. Ein produsent bruker både kapital og arbeidskraft. Ein konsument kjøper fleire gode. Ei etterspurd mengd avheng av både pris og inntekt. Vi treng derfor funksjonar av fleire variablar.

Cobb-Douglas — snitt ved fast L

Hald $L$ fast og varier $K$. Dra på $\alpha$ for å sjå korleis avtakande grenseproduktivitet endrar seg.

Q(K) = K^{\alpha} L^{1-\alpha}

\alpha

0,5

L

(fast arbeidskraft)

Funksjon av to variablar

(x, y)

I økonomi har funksjonar av fleire variablar ei rekkje namngitte former:

- Produktfunksjon: $Q = f(K, L)$ , der $K$ er kapital og $L$ er arbeidskraft
- Nyttefunksjon: $U = U(x, y)$ , der $x$ og $y$ er mengder av to gode
- Kostnadsfunksjon: $C = C(x, y)$ , der $x$ og $y$ er produserte mengder av to varer
- Etterspurnadsfunksjon: $D = D(p, m)$ , der $p$ er pris og $m$ er inntekt

Når vi ønskjer å finne ein funksjonsverdi, set vi tala rett inn akkurat som for éin variabel.

✏️Eksempel 1 — Rekne ut funksjonsverdiar

Lat $f(x, y) = 3x^2 + 2xy - y^2$ .

a) Finn $f(2, 1)$ .
b) Finn $f(0, 3)$ .
c) Finn $f(-1, 2)$ .

f(2, 1) = 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 1 - 1^2 = 12 + 4 - 1 = 15

b) $f(0, 3) = 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \cdot 3 - 3^2 = 0 + 0 - 9 = -9$

c) $f(-1, 2) = 3 \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1) \cdot 2 - 2^2 = 3 - 4 - 4 = -5$

✏️Eksempel 2 — Cobb-Douglas produktfunksjon

Ei bedrift har produktfunksjon

Q(K, L) = 10 K^{0{,}4} L^{0{,}6}

der

K

er kapital og

L

er arbeidskraft.

a) Kor mykje blir produsert med $K = 16$ og $L = 81$ ?
b) Kva skjer med produksjonen viss både $K$ og $L$ blir dobla?

a) Vi set inn:

Q(16, 81) = 10 \cdot 16^{0{,}4} \cdot 81^{0{,}6}

Bruker

16^{0{,}4} \approx 3{,}031

81^{0{,}6} \approx 13{,}967

Q(16, 81) \approx 10 \cdot 3{,}031 \cdot 13{,}967 \approx 423{,}4

b) $Q(2K, 2L) = 10 \cdot (2K)^{0{,}4} (2L)^{0{,}6} = 10 \cdot 2^{0{,}4} \cdot 2^{0{,}6} \cdot K^{0{,}4} L^{0{,}6} = 2 \cdot Q(K, L)$

Når begge innsatsfaktorar blir dobla, blir også produksjonen dobla. Dette blir kalla konstant skalaavkastning, og det heng saman med at $0{,}4 + 0{,}6 = 1$ .

Når du reknar med Cobb-Douglas: Bruk potensregelen

(ab)^n = a^n b^n

. Det er ofte enklare å skilje konstantane

A

og potensane av

K

L

enn å rekne ut alt på éin gong.

📝Oppgave 1

Lat $f(x, y) = 2x + 3y - 5$ . Rekn ut

f(1, 1)

f(4, 2)

f(0, 5)

f(-2, 3)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Ei bedrift har produktfunksjon $Q(K, L) = 5 K^{0{,}5} L^{0{,}5}$ .

Finn $Q(4, 9)$ .

Finn $Q(100, 25)$ .

Kva skjer med produksjonen viss vi tredoblar både $K$ og $L$ ?

Løs oppgaven Tren

Definisjonsmengd

f(x, y)

✏️Eksempel 3 — Finne definisjonsmengd

Finn definisjonsmengda til funksjonane:

a) $f(x, y) = \dfrac{xy}{x - y}$

b) $g(x, y) = \sqrt{16 - x^2 - y^2}$

c) $h(x, y) = \ln(x + y - 1)$

a) Nemnaren må ikkje vere null:

x - y \neq 0 \Rightarrow y \neq x

D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \neq x\}

b) Argumentet under rotteiknet må vere $\geq 0$ : $16 - x^2 - y^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 + y^2 \leq 16$ . Dette er ei sirkelskive med radius 4 og sentrum i origo:
$D_g = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \leq 16\}$

c) Argumentet til logaritmen må vere $> 0$ : $x + y - 1 > 0 \Rightarrow y > 1 - x$ . Dette er området over linja $y = 1 - x$ :
$D_h = \{(x, y) \mid x + y > 1\}$

✏️Eksempel 4 — Definisjonsmengd for nyttefunksjon

Ein konsument har nyttefunksjonen

U(x, y) = \ln(x) + 2\ln(y)

der

x

y

er kvanta av to gode. Finn definisjonsmengda, både matematisk og økonomisk.

Matematisk: Logaritmar krev positivt argument:

x > 0

y > 0

Økonomisk: Mengdene må vere ikkje-negative. Begge tolkingane fell saman her, og vi får
$D_U = \{(x, y) \mid x > 0, \, y > 0\}$
også kalla den opne første kvadranten.

📝Oppgave 3

Finn definisjonsmengda til kvar funksjon

f(x, y) = \dfrac{1}{x + y}

f(x, y) = \sqrt{x - y}

f(x, y) = \ln(xy)

f(x, y) = \dfrac{\sqrt{x}}{y - 2}

Grafen til ein funksjon av to variablar er ei flate i rommet (tredimensjonalt), og slike flater er vanskelege å teikne på papir. Eit viktig hjelpemiddel er nivåkurver. Ei nivåkurve viser kva kombinasjonar av $x$ og $y$ som gir same funksjonsverdi. Du har sett dei før på turkart (høgdekurver) og vêrkart (isobarar).

Nivåkurve

f(x, y)

✏️Eksempel 5 — Nivåkurver for lineær funksjon

Finn og skisser nivåkurvene til $f(x, y) = 2x + 3y$ for $c = 0, 6, 12$ .

Vi set

f(x, y) = c

og løyser for

y

2x + 3y = c \Rightarrow y = \frac{c - 2x}{3} = -\frac{2}{3} x + \frac{c}{3}.

Dette gir tre rette linjer, alle med stigning $-\tfrac{2}{3}$ :

- $c = 0$ : $y = -\tfrac{2}{3} x$ (gjennom origo)
- $c = 6$ : $y = -\tfrac{2}{3} x + 2$
- $c = 12$ : $y = -\tfrac{2}{3} x + 4$

Nivåkurvene er parallelle rette linjer. For lineære funksjonar gir nivåkurvene alltid parallelle linjer.

✏️Eksempel 6 — Isokvantar for Cobb-Douglas

Finn isokvantane til $Q(K, L) = K L$ for $Q = 4, 9, 16$ . Skisser kurvene.

Vi set

KL = Q

og løyser for

L

L = \frac{Q}{K}, \quad K > 0.

- $Q = 4$ : $L = 4/K$
- $Q = 9$ : $L = 9/K$
- $Q = 16$ : $L = 16/K$

Dette er hyperblar i første kvadrant. Høgare $Q$ gir kurver som ligg lenger frå origo. Økonomisk tolking: alle kombinasjonar av kapital og arbeidskraft på same kurve gir same produksjonsnivå. Bedrifta kan velje å produsere $Q = 9$ med ( $K = 1, L = 9$ ) eller ( $K = 3, L = 3$ ) eller ( $K = 9, L = 1$ ).

Ein konsument er indifferent mellom alle godekurver $(x, y)$ på same indifferenskurve — alle gir same nytte $U$ . Indifferenskurvene illustrerer preferansane til konsumenten: jo lenger ut frå origo, jo høgare nytte. Kurvene er typisk avtakande og konvekse mot origo, noko som svarar til at konsumenten føretrekkjer ei blanding av begge gode framfor mykje av berre eitt.

✏️Eksempel 7 — Indifferenskurver

Ein konsument har nyttefunksjon $U(x, y) = xy$ . Finn indifferenskurvene for $U = 1, 4, 9$ og skisser.

xy = U \Rightarrow y = \dfrac{U}{x}, \quad x > 0

- $U = 1$ : $y = 1/x$
- $U = 4$ : $y = 4/x$
- $U = 9$ : $y = 9/x$

Indifferenskurvene er hyperblar i første kvadrant. Høgare $U$ gir kurver lenger frå origo, slik teorien om økonomiske preferansar tilseier.

📝Oppgave 4

Lat $f(x, y) = x + 2y$ .

Finn nivåkurva på nivå $c = 4$ .

Finn nivåkurva på nivå $c = 10$ .

Kva type kurver er nivåkurvene til ein lineær funksjon?

📝Oppgave 5

Ein produktfunksjon er $Q(K, L) = 2 K^{0{,}5} L^{0{,}5}$ . Finn isokvanten for

Q = 6

Q = 10

Kva type kurver får vi?

✏️Eksempel 8 — Kostnadsfunksjon for to varer

Ei bedrift produserer

x

einingar av vare A og

y

einingar av vare B. Totalkostnaden er

C(x, y) = 100 + 5x + 8y + 0{,}1 x y.

a) Kva er fastkostnaden?
b) Kva kostar det å produsere $x = 20$ og $y = 10$ ?
c) Tolk leddet $0{,}1 xy$ .

a) Fastkostnaden er

C(0, 0) = 100

kr.

b) $C(20, 10) = 100 + 100 + 80 + 0{,}1 \cdot 200 = 300$ kr.

c) Leddet $0{,}1 xy$ representerer ein interaksjonskostnad — å produsere begge varer samstundes gir ein ekstra kostnad utover summen av kostnadene for kvar vare åleine. Det kan modellere knappe felles ressursar, lokale eller produksjonslinjer som blir meir pressa når begge produkt blir laga.

📝Oppgave 6

Ei bedrift har totalkostnad $C(x, y) = 50 + 3x + 4y + 0{,}2 xy$ for produksjon av to varer.

Rekn ut $C(10, 5)$ .

Rekn ut $C(20, 10)$ .

Kva er skilnaden i kostnad mellom å produsere ( $x=10, y=5$ ) to gonger og å produsere ( $x=20, y=10$ ) direkte?

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 9 — Etterspurnadsfunksjon med to variablar

Etterspurd mengd av ei vare avheng både av pris

p

og inntekt

m

D(p, m) = 200 - 4p + 0{,}05 m.

a) Kor mykje etterspurd når $p = 30$ og $m = 4000$ ?
b) Korleis endrar etterspurd mengd seg når prisen aukar med 1 krone?
c) Korleis endrar etterspurd mengd seg når inntekta aukar med 100 kr?

D(30, 4000) = 200 - 120 + 200 = 280

einingar.

b) Ein auke i $p$ med 1 reduserer $D$ med 4 einingar (koeffisienten føre $p$ ).

c) Ein auke i $m$ med 100 aukar $D$ med $0{,}05 \cdot 100 = 5$ einingar.

Lineariteten her gjer at vi enkelt kan lese av verknadene av små endringar i kvar variabel — dette leier rett til partiell derivasjon i neste kapittel.

📝Oppgave 7

Ein produktfunksjon er $Q(K, L) = K^{0{,}3} L^{0{,}7}$ .

Rekn ut $Q(1, 1)$ .

Rekn ut $Q(10, 10)$ .

Kva skjer med $Q$ viss vi multipliserer både $K$ og $L$ med ein faktor $t > 0$ ?

Finn isokvanten for $Q = 1$ , uttrykt som $L$ som funksjon av $K$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Ein nyttefunksjon er $U(x, y) = \ln(x) + \ln(y)$ .

Finn definisjonsmengda.

Vis at indifferenskurva $U = c$ kan skrivast $y = e^c / x$ .

Kva slags kurver er dette?

📜Oppsummering: Funksjonar av to variablar

Omgrep	Definisjon / formel
Funksjon av to variablar	$f : D \to \mathbb{R}$ , $(x, y) \mapsto f(x, y)$
Definisjonsmengd	$D \subseteq \mathbb{R}^2$ , alle $(x, y)$ der $f$ er definert
Nivåkurve	$\{(x, y) \mid f(x, y) = c\}$
Cobb-Douglas	$Q(K, L) = A K^{\alpha} L^{\beta}$
Isokvant	Nivåkurve til produktfunksjon
Indifferenskurve	Nivåkurve til nyttefunksjon
Isokostkurve	Nivåkurve til kostnadsfunksjon
Skalaavkastning (blir introdusert i kap. 7.5)	$Q(tK, tL) = t^{\alpha+\beta} Q(K, L)$ for Cobb-Douglas

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Funksjon av to variablar: Tilordnar eit tal $z = f(x, y)$ til kvart talpar.
- Økonomiske former: Produktfunksjon $Q = f(K, L)$ og nyttefunksjon.
- Definisjonsmengd: Talpar der uttrykket gir eit reelt tal.
- Nivåkurver: Kurver der funksjonen er konstant, t.d. isokvantar og indifferenskurver.

Viktige formlar

z = f(x, y), \qquad \text{nivåkurve: } f(x, y) = c

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Funksjon av to variablar	$f(x, y) = z$
Produktfunksjon	$Q = f(K, L)$
Nivåkurve	$f(x, y) = c$
Isokvant	Nivåkurve for lik produksjon

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.