2.3 Likningssett | Matematikk for økonomer

Løsning av likningssett med to ukjente grafisk og algebraisk.

55 min

14 oppgaver

LikningssettInnsettingsmetodenAddisjonsmetodenGrafisk løsning

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Lineære likninger

Brukes videre i

9.3Lineære likningssystem og Gauss-eliminasjon

Vi skal no løyse likningssett – eit sett med fleire likningar som skal vere oppfylte samtidig.

I kvar likning har vi to eller fleire ukjende, og vi skal finne verdiane som gjer at alle likningane stemmer samtidig.

Forkunnskapar: Grunnleggjande likningar og lineære funksjonar.

For å skilje på likningane er det nyttig å nummerere dei med romartal. $I$ refererer til likning éin og $II$ til likning to.

Grafisk løysing av likningssett

Den enklaste måten å forstå likningssett på er å teikne begge likningane som linjer i eit koordinatsystem. Løysinga er punktet der linjene kryssar kvarandre.

✏️Eksempel 1: Grafisk løysing

Finn grafisk $x$ og $y$ slik at begge likningane er oppfylte samtidig:

$I$ : $y + 4 = 2x$

$II$ : $2y - 1 = x$

Vi omformar likningane til forma

y = ax + b

og teiknar dei inn i eit koordinatsystem.

Likning I:
$y + 4 = 2x \quad | -4$
$y = 2x - 4$

Likning II:
$2y - 1 = x \quad | +1$
$2y = x + 1 \quad | \div 2$
$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

Vi ser at linjene skjer i punktet $(3, 2)$ , altså der $x = 3$ og $y = 2$ .

Prøve: Set vi inn $x = 3$ og $y = 2$ i det originale likningssettet:
- $I$ : $2 + 4 = 2 \cdot 3$ → $6 = 6$ ✓
- $II$ : $2 \cdot 2 - 1 = 3$ → $3 = 3$ ✓

Løysing: $x = 3$ og $y = 2$

📊Utforsk grafisk løysing

Prøv å teikne inn andre likningssett og finn skjeringspunktet.

📝Oppgave 1

Finn grafisk $x$ og $y$ slik at begge likningane er oppfylte samtidig. Teikn begge grafane for hand og finn skjeringspunktet.

I

y = x - 3

II

y = -2x + 3

y + 3 = -x + 4

2y = 4x + 2

2x - y = x + 3

5 - x + y = 2y

Løs oppgaven Tren

Ingen løysingar og uendeleg mange løysingar

Ikkje alle likningssett har éi løysing:

- Ingen løysingar: Dersom to linjer er parallelle (og ikkje samanfallande), vil dei aldri møte kvarandre. Til dømes vil $y = 2x - 2$ og $y = 2x + 3$ alltid ha ein avstand på 5 når dei har same $x$ -verdi.

- Uendeleg mange løysingar: Dersom linjene er samanfallande (skildrar same linje), har dei uendeleg mange felles punkt.

Innsetjingsmetoden

Innsetjing betyr å erstatte ein variabel med ein verdi eller eit uttrykk. Vi kan bruke dette til å løyse likningssett.

✏️Eksempel 2: Innsetjing av tal

La $x = -3$ . Bruk innsetjing og løys likningane for $y$ .

a) $y + x = 2$

b) $2x - y = 8$

c) $x(y - 2) = 6$

y + x = 2

y + (-3) = 2

y - 3 = 2 \quad | +3

y = 5

b) $2x - y = 8$
$2 \cdot (-3) - y = 8$
$-6 - y = 8 \quad | +6$
$-y = 14 \quad | \cdot (-1)$
$y = -14$

c) $x(y - 2) = 6$
$-3(y - 2) = 6$
$-3y + 6 = 6 \quad | -6$
$-3y = 0 \quad | \div (-3)$
$y = 0$

📝Oppgave 2

La $x = -2$ . Bruk dette til å finne verdien av $y$ .

y = x - 3

y = -x + 3

y = 3x - 2

y - 4 = x

2y + 4x = 10

x(y + 3) = 6

Løs oppgaven Tren

Innsetjing av variablar og uttrykk

Vi kan også erstatte variablar med heile uttrykk i staden for berre tal. Dette er nøkkelen til å løyse likningssett.

✏️Eksempel 3: Innsetjing av uttrykk

Løys likningssettet ved hjelp av innsetjingsmetoden:

$I$ : $x = 5y$

$II$ : $2x - 8y = 8$

Likning $I$ seier at $x = 5y$ . Vi kan derfor erstatte $x$ i likning $II$ med $5y$ .

$I \to II$ :
$2 \cdot 5y - 8y = 8$
$10y - 8y = 8$
$2y = 8 \quad | \div 2$
$y = 4$

Vi har no funne $y = 4$ . Dette set vi inn i likning $I$ :

$x = 5 \cdot y$
$x = 5 \cdot 4$
$x = 20$

Løysing: $x = 20$ og $y = 4$

Notasjon:
-

I \to II

betyr at vi bruker informasjon frå likning

I

i likning

II

.
-

II^*

betyr den omforma likning

II

📝Oppgave 3

Løys likningssetta (finn verdien av $x$ og av $y$ ) ved hjelp av innsetjingsmetoden.

x = 2y

3x + y = 14

x = y + 3

2x + 4y = 12

2x = 6y

x + 7y = 40

Løs oppgaven Tren

Likningssett løyst ved hjelp av innsetjingsmetoden

I vanlege likningssett med 2 ukjende bruker vi anten $I$ eller $II$ og løyser for anten $x$ eller $y$ . Kva av likningane vi vel å bruke og kva variabel vi løyser for kjem an på kva vi tenkjer blir enklast å gjennomføre.

✏️Eksempel 4: Innsetjingsmetoden

Løys likningssettet ved hjelp av innsetjingsmetoden:

$I$ : $x + 3y = 8$

$II$ : $2x - 2y = 8$

Steg 1: Vi løyser likning

I

for

x

(enklast):

x + 3y = 8 \quad | -3y

x = -3y + 8

Steg 2: Set dette inn i likning $II$ :
$2(-3y + 8) - 2y = 8$
$-6y + 16 - 2y = 8 \quad | -16$
$-8y = -8 \quad | \div (-8)$
$y = 1$

Steg 3: Set $y = 1$ inn i uttrykket for $x$ :
$x = -3 \cdot 1 + 8 = -3 + 8 = 5$

Løysing: $x = 5$ og $y = 1$

Tips: Vel alltid å løyse for den variabelen som gjev det enklaste uttrykket. Dersom ein variabel allereie har koeffisient 1 (som

x

i likning

I

over), er det som regel lurt å løyse for denne.

✏️Eksempel 5: Innsetjingsmetoden (framhald)

Løys likningssettet:

$I$ : $2x + 5y = 9$

$II$ : $3x - y = 5$

Her er det enklast å løyse likning

II

for

y

(koeffisient

-1

$3x - y = 5 \quad | +y - 5$
$3x - 5 = y$

Set inn i likning $I$ :
$2x + 5(3x - 5) = 9$
$2x + 15x - 25 = 9 \quad | +25$
$17x = 34 \quad | \div 17$
$x = 2$

Finn $y$ :
$y = 3 \cdot 2 - 5 = 6 - 5 = 1$

Løysing: $x = 2$ og $y = 1$

📝Oppgave 4

Løys likningssetta ved hjelp av innsetjingsmetoden.

2x - y = 8

x - 3y = -1

3x - y = 0

6x + y = 9

x + 2y = 7

3x - y = 7

5x - 3y = 1

x - y = -1

x - 2y = 5

3x - 3y = 9

2a - 4b + 2 = 0

7a - b = 6

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løys likningssetta ved hjelp av innsetjingsmetoden.

3x + 4y = 2

4x + 2y - 6 = 0

2x + 4y - 8 = 0

3x + 2y = 8

Løs oppgaven Tren

Addisjonsmetoden

I eit likningssett vil alltid begge likningane gjelde samtidig. Det vil også seie at dersom vi legg saman venstresidene i $I$ og $II$ , så vil summen av desse vere lik summen av høgresidene.

Dette kan vi bruke til å fjerne $x$ eller $y$ i éi av likningane slik at vi berre står att med éi ukjend.

✏️Eksempel 6: Addisjonsmetoden (enkel)

Løys likningssettet ved hjelp av addisjonsmetoden:

$I$ : $2x + 4y = 14$

$II$ : $-2x - 2y = -8$

Vi legg saman likning

I

II

$I + II: \quad (2x + 4y) + (-2x - 2y) = 14 + (-8)$
$2x + 4y - 2x - 2y = 14 - 8$
$2y = 6$
$y = 3$

Set $y = 3$ inn i likning $I$ :
$2x + 4 \cdot 3 = 14$
$2x + 12 = 14 \quad | -12$
$2x = 2 \quad | \div 2$
$x = 1$

Løysing: $x = 1$ og $y = 3$

📝Oppgave 6

Løys likningssetta ved å bruke addisjonsmetoden.

-x - y = 6

x + 2y = -9

2x - y = 6

-2x + 2y = -4

3x + y = 6

2x - y = -4

Løs oppgaven Tren

Som du kanskje har tenkt, er det ikkje alltid slik at éin av variablane forsvinn berre du legg saman likning $I$ og $II$ .

For å løyse dette multipliserer vi éi eller begge likningane slik at dei får ein lik konstant (med motsett forteikn) framfor anten $x$ eller $y$ .

✏️Eksempel 7: Addisjonsmetoden med multiplikasjon

Løys likningssettet ved hjelp av addisjonsmetoden:

$I$ : $x + 3y = 8$

$II$ : $2x - 2y = 8$

For å fjerne

x

gangar vi likning

I

med

(-2)

$-2 \cdot I: \quad -2x - 6y = -16$

No legg vi saman med $II$ :
$II + (-2 \cdot I): \quad 2x - 2y + (-2x - 6y) = 8 + (-16)$
$-8y = -8 \quad | \div (-8)$
$y = 1$

Set $y = 1$ inn i likning $I$ :
$x + 3 \cdot 1 = 8$
$x = 8 - 3 = 5$

Løysing: $x = 5$ og $y = 1$

📝Oppgave 7

Løys likningssetta ved hjelp av addisjonsmetoden.

2x + 3y = 8

4x + 2y = 8

x + 3y = 8

3x - y = 4

-2x + 3y = 7

x - 5y = -14

x - 3y = -5

-2x + 3y = 7

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 8: Addisjonsmetoden (begge multipliserast)

Løys likningssettet ved hjelp av addisjonsmetoden:

$I$ : $3x + 5y = 2$

$II$ : $2x - 2y = -4$

Vi gangar opp begge likningane slik at vi får like mange av anten

x

eller

y

. Vi vel å få

6x

i begge:

$2 \cdot I: \quad 6x + 10y = 4$
$3 \cdot II: \quad 6x - 6y = -12$

No trekkjer vi den eine frå den andre:
$2I - 3II: \quad 16y = 16 \quad | \div 16$
$y = 1$

Set $y = 1$ inn i likning $II$ :
$2x - 2 \cdot 1 = -4 \quad | +2$
$2x = -2 \quad | \div 2$
$x = -1$

Løysing: $x = -1$ og $y = 1$

📝Oppgave 8

Løys likningssetta ved hjelp av addisjonsmetoden.

x + 3y = 5

4x + 2y = 10

2x + 3y = 5

3x - 2y = -12

-2x + 3y = -8

5x - 5y = 10

-3x - 4y = -14

-2x + 3y = 19

Løs oppgaven Tren

Likningssett med 3 ukjende

Metoden kan utvidast til likningssett med tre ukjende ( $x$ , $y$ og $z$ ). Vi treng då tre likningar.

Strategi:
1. Bruk éi likning til å uttrykkje éin variabel
2. Set dette uttrykket inn i dei to andre likningane
3. No har du to likningar med to ukjende (som du kan løyse som før)
4. Set tilbake for å finne alle tre variablane

✏️Eksempel 9: Tre ukjende

Løys likningssettet ved hjelp av innsetjingsmetoden:

$I$ : $x + 3y + z = 4$

$II$ : $2x - 2y - z = 1$

$III$ : $2x - y + 2z = -6$

Steg 1: Løys likning

I

for

x

x = 4 - 3y - z

Steg 2: Set inn i likning $II$ :
$2(4 - 3y - z) - 2y - z = 1$
$8 - 6y - 2z - 2y - z = 1$
$-8y - 3z = -7 \quad (II^*)$

Steg 3: Set inn i likning $III$ :
$2(4 - 3y - z) - y + 2z = -6$
$8 - 6y - 2z - y + 2z = -6$
$-7y = -14$
$y = 2 \quad (III^*)$

Steg 4: Set $y = 2$ inn i $(II^*)$ :
$-8 \cdot 2 - 3z = -7$
$-16 - 3z = -7 \quad | +16$
$-3z = 9$
$z = -3$

Steg 5: Set $y = 2$ og $z = -3$ inn i uttrykket for $x$ :
$x = 4 - 3 \cdot 2 - (-3) = 4 - 6 + 3 = 1$

Løysing: $x = 1$ , $y = 2$ og $z = -3$

📝Oppgave 9

Løys likningssetta ved hjelp av innsetjingsmetoden.

2x - 3y - 3z = 8

x - 2y - 2z = 5

x - y + z = 7

x + 5y + 2z = -5

x - y - 2z = -3

4x - 3y + z = 21

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Løys likningssetta ved hjelp av innsetjingsmetoden.

x + 2y + z = 1

x - 2y + 3z = 15

3x - 3y + 2z = 18

x - 3y + 3z = -4

5x - y - 2z = -15

x - y + 2z = 1

2x + y + z = 0

x - 2y + 2z = 2

3x - 2y + 2z = -2

2x + 5y + z = 6

x - 3y - 2z = 6

x - 3y + z = 9

Løs oppgaven Tren

Å setje opp og løyse likningssett frå reelle situasjonar

Likningssett er veldig nyttige for å løyse praktiske problem der vi har fleire ukjende storleikar og fleire vilkår som skal oppfyllast.

✏️Eksempel 10: Praktisk oppgåve

Mor sender Mari i butikken ved to ulike høve. Prisane i butikken er dei same ved begge besøka.

Ved første besøk kjøpte Mari 5 kg poteter og 2 kg gulrøter og betalte 58 kroner.
Ved andre besøk kjøpte Mari 3 kg poteter og 5 kg gulrøter og betalte 50 kroner.

a) Set opp eit likningssett som skildrar situasjonen.
b) Løys likningssettet og finn prisen per kg for poteter og gulrøter.

x

vere prisen per kg poteter og

y

vere prisen per kg gulrøter.

a) Likningssettet:
$I: \quad 5x + 2y = 58$
$II: \quad 3x + 5y = 50$

b) Løysing med addisjonsmetoden:

Multipliser $I$ med 5 og $II$ med $(-2)$ :
$5I: \quad 25x + 10y = 290$
$-2 \cdot II: \quad -6x - 10y = -100$

Legg saman:
$19x = 190$
$x = 10$

Set inn i $I$ :
$5 \cdot 10 + 2y = 58$
$50 + 2y = 58$
$2y = 8$
$y = 4$

Svar: Poteter kostar 10 kr/kg og gulrøter kostar 4 kr/kg.

📝Oppgave 11

Eit år har eit taxiselskap eit fast oppstartsgebyr i tillegg til ein fastpris per km køyrt. Kåre har brukt taxiselskapet i januar og i februar.

I januar brukte han taxiselskapet 2 gonger og køyrde til saman 30 km, han betalte samanlagt 700 kroner.
I februar brukte han taxi 3 gonger og køyrde til saman 60 km, i februar betalte han samanlagt 1350 kroner.

Set opp eit likningssett og rekn ut oppstartsgebyret og fastprisen per km til taxiselskapet.

📝Oppgave 12

På eit offentleg arrangement er prisen 100 kroner for vaksne og 50 kroner for barn. Dersom ein familie ønskjer mat inkludert kostar det 30 kroner ekstra per barn og 50 kroner ekstra per vaksen.

Familiane Storhaug og Kronsteen betaler til saman 650 kroner for showet og 350 kroner for mat (til alle).

Kor mange vaksne og kor mange barn var det til saman i dei to familiane?

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Desse oppgåvene testar forståinga di av likningssett.

Finn feilen. Ein student skal løyse likningssettet

\begin{cases} x - 3y = 0 \\ 2x - 6y = 0 \end{cases}

. Ho løyser første likning for

x

og får

x = 3y

. Set inn i andre likning:

2(3y) - 6y = 0

, altså

0 = 0

. Ho konkluderer med at systemet ikkje har løysing. Kva er den korrekte konklusjonen?

Geometrisk argument. Eit likningssett med to lineære likningar i to ukjende kan ha 0, 1 eller uendeleg mange løysingar. Forklar geometrisk når kvart tilfelle inntreffer. Teikn gjerne ei skisse.

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Oppsummering: Metodar for å løyse likningssett

Grafisk løysing: Teikn begge likningane som linjer og finn skjeringspunktet. Innsetjingsmetoden: 1. Løys éi likning for éin variabel 2. Set uttrykket inn i den andre likningen 3. Løys for den attverande variabelen 4. Set tilbake for å finne den første Addisjonsmetoden: 1. Multipliser likningane slik at éin variabel har like koeffisientar med motsett forteikn 2. Legg saman likningane for å eliminere variabelen 3. Løys for den attverande variabelen 4. Set tilbake for å finne den første

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Likningssett: Fleire likningar som skal vere oppfylte samtidig.
- Grafisk løysing: Løysinga er skjeringspunktet mellom linjene.
- Innsetjingsmetoden: Løys éi likning for ein variabel og set inn i den andre.
- Addisjonsmetoden: Legg saman likningane slik at ein variabel forsvinn.

Viktige formlar

- Eit lineært likningssett kan ha éi løysing, ingen (parallelle linjer) eller uendeleg mange (same linje).

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Likningssett	Fleire likningar samtidig
Innsetjingsmetoden	Erstatte ein variabel med eit uttrykk
Addisjonsmetoden	Leggje saman likningar
Skjeringspunkt	Grafisk løysing av settet

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.