1.6 Rasjonale uttrykk | Matematikk for økonomer

Forkorte, multiplisere, dividere og trekke sammen brøker med algebraiske uttrykk.

60 min

9 oppgaver

Forkorting av algebraiske brøkerMultiplikasjon og divisjonFellesnevner

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.3Brøkregning 1.5Faktorisering og kvadratsetningene

Brukes videre i

2.5Rasjonale likninger 3.6Rasjonale funksjoner

Brøkar med algebraiske uttrykk

Nødvendige forkunnskapar: Algebra og faktorisering

I dette kapitlet skal vi lære å rekne med brøkar som inneheld algebraiske uttrykk (bokstavar). Vi skal sjå på korleis vi forkortar, multipliserer, dividerer og trekkjer saman slike brøkar.

✏️Eksempel 1

Forkort brøkane:

a) $\displaystyle \frac{2x}{3x}$

b) $\displaystyle \frac{3x - 6}{6}$

c) $\displaystyle \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{2x}{3x} = \frac{2 \cdot x}{3 \cdot x} = \frac{2}{3}$

b) $\displaystyle \frac{3x - 6}{6} = \frac{3 \cdot (x - 2)}{3 \cdot 2} = \frac{x - 2}{2}$

c) $\displaystyle \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 3}{x + 2}$

📝Oppgave 1

Forkort brøkane

\displaystyle \frac{4x}{9x}

\displaystyle \frac{2x}{x^2 - 2x}

\displaystyle \frac{x^2 - 5x}{x - 5}

\displaystyle \frac{2x - 8}{4}

\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3}

\displaystyle \frac{x^2 - 7x + 12}{2x - 6}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2

Multipliser og forkort brøkane:

a) $\displaystyle \frac{2}{3x} \cdot \frac{x + 3}{4}$

b) $\displaystyle \frac{x}{2x + 8} \cdot \frac{x + 4}{3x}$

c) $\displaystyle 3x^2 \cdot \frac{x + 3}{3x^2 - 27}$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{2}{3x} \cdot \frac{x + 3}{4} = \frac{2 \cdot (x + 3)}{3x \cdot 4} = \frac{2 \cdot (x + 3)}{3x \cdot 2 \cdot 2} = \frac{x + 3}{6x}$

b) $\displaystyle \frac{x}{2x + 8} \cdot \frac{x + 4}{3x} = \frac{x \cdot (x + 4)}{(2x + 8) \cdot 3x} = \frac{x \cdot (x + 4) \cdot 1}{2(x + 4) \cdot 3 \cdot x} = \frac{1}{6}$

c) $\displaystyle 3x^2 \cdot \frac{x + 3}{3x^2 - 27} = \frac{3x^2}{1} \cdot \frac{x + 3}{3(x^2 - 9)} = \frac{3 \cdot x^2 \cdot (x + 3)}{3 \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)} = \frac{x^2}{x - 3}$

📝Oppgave 2

Multipliser og forkort (om mogleg) brøkane

\displaystyle \frac{x + 5}{5x} \cdot \frac{5}{2x + 10}

\displaystyle \frac{2x}{3x - 12} \cdot \frac{x^2 - 16}{4}

\displaystyle 5x \cdot \frac{x + 4}{4x^2 - 16x}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Multipliser og forkort (om mogleg) brøkane

\displaystyle \frac{x}{2} \div \frac{2x}{3}

\displaystyle \frac{x + 9}{2x} \div \frac{x^2 - 81}{2x + 8}

\displaystyle 4x \div \frac{x}{x^2 - 16}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 3

Trekk saman brøkane:

$\displaystyle \frac{9x + 3y}{4x} - \frac{x - 3y}{4x}$

Løysing:

$\displaystyle \frac{9x + 3y}{4x} - \frac{x - 3y}{4x} = \frac{9x + 3y - (x - 3y)}{4x} = \frac{9x + 3y - x + 3y}{4x}$

$\displaystyle = \frac{8x + 6y}{4x} = \frac{2(4x + 3y)}{2 \cdot 2x} = \frac{4x + 3y}{2x}$

📝Oppgave 4

Trekk saman brøkane og forkort viss mogleg

\displaystyle \frac{2x}{4} + \frac{3x}{4}

\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{8x}{3}

\displaystyle \frac{y}{5} - \frac{3y}{5}

\displaystyle \frac{2x - y}{4x} - \frac{3x}{4x}

\displaystyle \frac{x}{3} + \frac{2x}{3} - \frac{3 - 6x}{3}

\displaystyle \frac{x + 6}{2x + 1} - \frac{3x - 4}{2x + 1}

Løs oppgaven Tren

📜Utviding av brøkar

For å trekkje saman brøkar med ulik nemnar må vi først utvide brøkane slik at dei får lik nemnar (fellesnemnar).

Vi utvidar ein brøk ved å gange teljar og nemnar med same faktor.

✏️Eksempel 4

Utvid brøken slik at du får $x^2 - 4$ i nemnar:

$\displaystyle \frac{3}{x - 2}$

Løysing:

$\displaystyle \frac{3}{x - 2} = \frac{3(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{3x + 6}{x^2 - 4}$

📝Oppgave 5

Utvid brøken

\displaystyle \frac{9}{x - 2}

slik at nemnaren blir

2x - 4

\displaystyle \frac{5}{x + 3}

slik at nemnaren blir

x^2 - 9

\displaystyle \frac{3x}{x - 2}

slik at nemnaren blir

2x^2 - 8

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 5

Trekk saman brøkane:

$\displaystyle \frac{5x}{2y} + \frac{3}{2}$

Løysing:

$\displaystyle \frac{5x}{2y} + \frac{3}{2} = \frac{5x}{2y} + \frac{3 \cdot y}{2 \cdot y} = \frac{5x}{2y} + \frac{3y}{2y} = \frac{5x + 3y}{2y}$

📝Oppgave 6

Trekk saman brøkane og forkort viss mogleg

\displaystyle \frac{3}{2} + \frac{1}{2x}

\displaystyle \frac{4x}{2} + \frac{2x}{5}

\displaystyle \frac{2y}{5} - \frac{x}{3}

\displaystyle \frac{3x}{2y} + \frac{2y}{x}

\displaystyle \frac{x}{5} - 3x

\displaystyle \frac{2x}{11y} - \frac{4x}{11} - 2

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 6

Trekk saman brøkane:

$\displaystyle \frac{4}{3xy} + \frac{3x}{2y} - 2$

Løysing:

$\displaystyle \frac{4}{3xy} + \frac{3x}{2y} - \frac{2}{1} = \frac{4 \cdot 2}{3xy \cdot 2} + \frac{3x \cdot 3x}{2y \cdot 3x} - \frac{2 \cdot 6xy}{1 \cdot 6xy} = \frac{8}{6xy} + \frac{9x^2}{6xy} - \frac{12xy}{6xy}$

$\displaystyle = \frac{8 + 9x^2 - 12xy}{6xy} = \frac{9x^2 - 12xy + 8}{6xy}$

📝Oppgave 7

Trekk saman brøkane og forkort viss mogleg

\displaystyle \frac{3}{2xy} + \frac{1}{3x} - 1

\displaystyle \frac{3}{2ab} + \frac{1}{5}

\displaystyle \frac{2}{5x} - \frac{1}{3y} - 1

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 7

Trekk saman:

$\displaystyle \frac{4}{x + 2} - 2$

Løysing:

$\displaystyle \frac{4}{x + 2} - \frac{2}{1} = \frac{4}{x + 2} - \frac{2(x + 2)}{1(x + 2)} = \frac{4}{x + 2} - \frac{2x + 4}{x + 2} = \frac{4 - (2x + 4)}{x + 2}$

$\displaystyle = \frac{4 - 2x - 4}{x + 2} = \frac{-2x}{x + 2}$

📝Oppgave 8

Trekk saman brøkane og forkort viss mogleg

\displaystyle \frac{5}{x + 2} + \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{2}{x + 3} - \frac{1}{2}

\displaystyle 2 - \frac{x + 2}{3}

\displaystyle \frac{3}{y + 1} + \frac{4}{2(y + 1)}

\displaystyle \frac{x}{5x} - 2

\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{x - 3}{3x} - 2

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 8

Trekk saman:

$\displaystyle \frac{5}{x - 3} - \frac{3}{2}$

Løysing:

$\displaystyle \frac{5}{x - 3} - \frac{3}{2} = \frac{2 \cdot 5}{2(x - 3)} - \frac{3(x - 3)}{2(x - 3)} = \frac{10}{2x - 6} - \frac{3x - 9}{2x - 6}$

$\displaystyle = \frac{10 - (3x - 9)}{2x - 6} = \frac{10 - 3x + 9}{2x - 6} = \frac{-3x + 19}{2x - 6}$

✏️Eksempel 9

Trekk saman:

$\displaystyle \frac{2}{x - 4} - \frac{1}{x + 4}$

Løysing:

Vi ser at fellesnemnaren er $(x - 4)(x + 4)$

$\displaystyle \frac{2}{x - 4} - \frac{1}{x + 4} = \frac{2(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} - \frac{1(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)}$

$\displaystyle = \frac{2x + 8 - 1(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{2x + 8 - x + 4}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x + 12}{x^2 - 16}$

📝Oppgave 9

Trekk saman brøkane og forkort viss mogleg

\displaystyle \frac{2}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}

\displaystyle \frac{2}{x + 3} - \frac{1}{2x + 6}

\displaystyle 3 - \frac{x + 2}{x^2 + 2x}

\displaystyle \frac{3}{y + 4} + \frac{4}{2y + 8} - \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{1}{3x} - \frac{2}{x + 1}

\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{x - 3}{x - 2} - \frac{2}{x - 1}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 10

Trekk saman:

$\displaystyle \frac{2}{x + 2} - \frac{4}{3x - 3}$

Løysing:

$\displaystyle \frac{2}{x + 2} + \frac{4}{3x - 3} = \frac{2}{(x + 2)} - \frac{4}{3(x - 1)}$

$\displaystyle = \frac{3 \cdot 2(x - 1)}{3(x - 1)(x + 2)} - \frac{4(x + 2)}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{6(x - 1) - 4(x + 2)}{3(x - 1)(x + 2)}$

$\displaystyle = \frac{6x - 6 - 4x - 8}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{2x - 14}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{2x - 14}{3x^2 + 3x - 6}$

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Desse oppgåvene testar forståinga di av kapittelet.

Finn feilen. Ein student stryk

x

i brøken

\displaystyle \frac{x+3}{x}

og får svaret

3

. Kvifor er dette gale? Kva er den rette forenklinga?

Forklar definisjonsmengda. For kva for verdiar av

x

\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}

udefinert? Forenkle uttrykket, og forklar kvifor det forenkla uttrykket gjev rett verdi for ALLE

x

unntatt den/dei ekskluderte.

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Rasjonale uttrykk

Regel	Formel
Forkorting	$\displaystyle \frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}$ — stryk felles faktor over og under, ALDRI ledd
Multiplikasjon	$\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
Divisjon	$\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
Addisjon	$\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$ (felles nemnar)
Subtraksjon	$\displaystyle \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$
Definisjonsmengd	Nemnaren må vere ulik 0: nemnar $\neq 0$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Rasjonale uttrykk: Brøkar der teljar og nemnar inneheld algebra.
- Forkorting: Stryk felles faktorar, aldri ledd.
- Fellesnemnar: Utvid brøkane til lik nemnar før addisjon og subtraksjon.
- Multiplikasjon og divisjon: Same reglar som for talbrøkar.

Viktige formlar

\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}, \qquad \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Rasjonalt uttrykk	Brøk med algebra i teljar/nemnar
Forkorting	Stryke felles faktor (ikkje ledd)
Fellesnemnar	Lik nemnar for fleire brøkar
Faktor	Det som blir ganga, kan strykast

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.