5.4 Trigonometri i rettvinklede trekanter | Matematikk 1T

Sinus, cosinus og tangens i rettvinklede trekanter.

30 min

16 oppgaver

sincostanRettvinklede trekanter

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Vinkler og trekanter

Brukes videre i

5.5Areal av trekanter 5.6Sinussetningen

Trigonometri

Trigonometri tyder «trekantmåling» og handlar om samanhengen mellom vinklar og sider i trekantar.

I ein rettvinkla trekant definerer vi tre viktige forhold mellom sidene:
- Sinus (sin)
- Cosinus (cos)
- Tangens (tan)

Desse blir definerte i forhold til ein spiss vinkel i trekanten.

Sider i forhold til ein vinkel

v

📜Definisjon av sin, cos og tan

For ein spiss vinkel

v

i ein rettvinkla trekant:

$\sin v = \frac{\text{motståande katet}}{\text{hypotenus}}$

$\cos v = \frac{\text{hosliggjande katet}}{\text{hypotenus}}$

$\tan v = \frac{\text{motståande katet}}{\text{hosliggjande katet}}$

Hugseregel: SOH-CAH-TOA
- Sin = Opposite / Hypotenuse
- Cos = Adjacent / Hypotenuse
- Tan = Opposite / Adjacent

Dei trigonometriske forholda i ein rettvinkla trekant

✏️Eksempel 1

I ein rettvinkla trekant er vinkelen $v = 30°$ , og hypotenusen er 10 cm. Finn motståande katet.

Trekant med v=30° og hypotenus 10

Vi bruker sinus fordi vi skal finne motståande katet når vi kjenner hypotenusen:

$\displaystyle \sin 30° = \frac{\text{motståande}}{\text{hypotenus}}$

$\displaystyle \sin 30° = \frac{x}{10}$

$x = 10 \cdot \sin 30° = 10 \cdot 0{,}5 = 5$

Motståande katet er 5 cm.

✏️Eksempel 2

I ein rettvinkla trekant er vinkelen $v = 45°$ , og hosliggjande katet er 8 cm. Finn hypotenusen.

Trekant med v=45° og hosliggjande 8

Vi bruker cosinus:

$\displaystyle \cos 45° = \frac{\text{hosliggjande}}{\text{hypotenus}}$

$\displaystyle \cos 45° = \frac{8}{c}$

$\displaystyle c = \frac{8}{\cos 45°} = \frac{8}{0{,}707...} \approx 11{,}3$

Hypotenusen er cirka 11,3 cm.

Finne vinklar

Når vi kjenner sidene og skal finne ein vinkel, bruker vi inverse trigonometriske funksjonar:

- $\displaystyle v = \arcsin\left(\frac{\text{motståande}}{\text{hypotenus}}\right)$ eller $v = \sin^{-1}(...)$
- $\displaystyle v = \arccos\left(\frac{\text{hosliggjande}}{\text{hypotenus}}\right)$ eller $v = \cos^{-1}(...)$
- $\displaystyle v = \arctan\left(\frac{\text{motståande}}{\text{hosliggjande}}\right)$ eller $v = \tan^{-1}(...)$

På kalkulatoren finn du desse som «sin⁻¹», «cos⁻¹» og «tan⁻¹».

✏️Eksempel 3

I ein rettvinkla trekant er katetane 3 cm og 4 cm. Finn den minste spisse vinkelen.

Trekant med katetar 3 og 4

Den minste vinkelen ligg overfor den kortaste kateten (3 cm).

Lat $v$ vere denne vinkelen. Då er 3 cm motståande og 4 cm hosliggjande.

$\displaystyle \tan v = \frac{3}{4} = 0{,}75$

$v = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 36{,}9°$

Den minste vinkelen er cirka 36,9°.

✏️Eksempel 4

Ei rampe skal ha ei stigning på 8°. Kor lang må rampa vere for å nå ei høgd på 1,2 m?

Rampe med vinkel 8° og høgd 1,2 m

Høgda (1,2 m) er motståande katet, rampa er hypotenusen.

$\displaystyle \sin 8° = \frac{1{,}2}{L}$

$\displaystyle L = \frac{1{,}2}{\sin 8°} = \frac{1{,}2}{0{,}139...} \approx 8{,}6$

Rampa må vere cirka 8,6 m lang.

Spesielle vinklar

Verdiane for 30°, 45° og 60° er nyttige å kjenne:

Vinkel	sin	cos	tan
30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$
45°	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

Oppsummering

Vel rett funksjon:
- Kjend hypotenus + vil finne motståande → sin
- Kjend hypotenus + vil finne hosliggjande → cos
- Kjend éin katet + vil finne den andre → tan
- Skal finne vinkel → bruk invers (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹)

📝Oppgave 1

Finn den ukjende sida $x$ :

Vinkel 30°, hypotenus 12, finn motståande

Vinkel 60°, hypotenus 10, finn hosliggjande

Vinkel 45°, hosliggjande 7, finn motståande

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Finn vinkelen $v$ :

Motståande 5, hypotenus 10

Hosliggjande 6, hypotenus 12

Motståande 8, hosliggjande 8

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Eit tre kastar ein skugge på 15 m når sola sin vinkel over horisonten er 35°. Kor høgt er treet?

📝Oppgave 4

Ein helikopterpilot ser ned på eit skip med ein vinkel på 25° under horisontalt. Helikopteret er 800 m over havet. Kva er den horisontale avstanden til skipet?

📝Oppgave 5

Ein sti går rett opp ein bakke. Etter 200 m har du stige 50 m i høgda. Kva er stigningsvinkelen?

📝Oppgave 6

Eit fly tek av med ein vinkel på 12° over horisonten. Etter å ha fløge 3 km (langs flybana), kor høgt og langt horisontalt er det frå startpunktet?

Finn høgda

Finn horisontal avstand

📝Oppgave 7

Studer figuren over som viser dei trigonometriske forholda. I ein rettvinkla trekant er vinkelen $v = 40°$ og hypotenusen $c = 15$ cm. Bruk definisjonane frå figuren til å finne motståande katet $a$ og hosliggjande katet $b$ .

Finn motståande katet $a$

Finn hosliggjande katet $b$

📝Oppgave 8

Sjå på figuren for trigonometri. I trekanten er hosliggjande katet $b = 8$ cm og motståande katet $a = 6$ cm. Bruk tangens frå figuren til å finne vinkelen $v$ .

📝Oppgave 9

Bruk hugseregelen SOH-CAH-TOA frå figuren. Ei fyrlykt er 35 m høg. Frå eit punkt på bakken ser ein toppen av fyrlykta med ein elevasjonsvinkel på 28°. Kor langt unna fyrlykta står ein?

Oppgåver med figurar

I oppgåvene nedanfor skal du bruke trigonometri til å finne ukjende sider eller vinklar. Studer figuren nøye og identifiser kva sider som er hosliggjande, motståande og hypotenus i forhold til den gitte vinkelen.

📝Oppgave 10

Bruk figuren til å finne den ukjende sida. Trekanten har ein vinkel på 35° og hypotenus 10.

📝Oppgave 11

I figuren nedanfor er hypotenusen 12 og vinkelen er 40°. Finn den hosliggjande kateten.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Sinus: $\displaystyle \sin v = \frac{\text{motståande katet}}{\text{hypotenus}}$
- Cosinus: $\displaystyle \cos v = \frac{\text{hosliggjande katet}}{\text{hypotenus}}$
- Tangens: $\displaystyle \tan v = \frac{\text{motståande katet}}{\text{hosliggjande katet}}$
- Finne sider: Gang eller del med den trigonometriske verdien
- Finne vinklar: Bruk dei inverse funksjonane $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ og $\tan^{-1}$
- Eksakte verdiar: $\displaystyle \sin 30° = \frac{1}{2}$ , $\displaystyle \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle \sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\tan 45° = 1$ , $\displaystyle \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle \cos 60° = \frac{1}{2}$

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Motståande katet	Kateten rett overfor vinkelen
Hosliggjande katet	Kateten som ligg inntil vinkelen
Invers trigonometrisk funksjon	Finn vinkelen frå forholdet

Viktige formlar

\displaystyle \sin v = \frac{\text{mot}}{\text{hyp}}

\displaystyle \cos v = \frac{\text{hos}}{\text{hyp}}

\displaystyle \tan v = \frac{\text{mot}}{\text{hos}}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.