5.4
Trigonometri i rettvinkla trekantar og einingssirkelen

5.4 Trigonometri i rettvinkla trekantar og einingssirkelen

Alle fag for VG1

Sinus, cosinus og tangens i rettvinkla trekantar.

30 min
16 oppgaver
sincostanRettvinkla trekantar
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 16 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Trigonometri

Trigonometri tyder «trekantmåling» og handlar om samanhengen mellom vinklar og sider i trekantar.

I ein rettvinkla trekant definerer vi tre viktige forhold mellom sidene:
- Sinus (sin)
- Cosinus (cos)
- Tangens (tan)

Desse blir definerte i forhold til ein spiss vinkel i trekanten.

Sider i forhold til ein vinkel

Når vi ser på ein spiss vinkel vv i ein rettvinkla trekant:

- Hosliggjande katet: Kateten som ligg inntil vinkelen vv
- Motståande katet: Kateten som ligg overfor vinkelen vv
- Hypotenus: Den lengste sida (overfor den rette vinkelen)

📜Definisjon av sin, cos og tan
For ein spiss vinkel vv i ein rettvinkla trekant:

sin⁡v=motsta˚ande katethypotenus\sin v = \frac{\text{motståande katet}}{\text{hypotenus}}

cos⁡v=hosliggjande katethypotenus\cos v = \frac{\text{hosliggjande katet}}{\text{hypotenus}}

tan⁡v=motsta˚ande katethosliggjande katet\tan v = \frac{\text{motståande katet}}{\text{hosliggjande katet}}

Trigonometri i rettvinkla trekant
Dei trigonometriske forholda i ein rettvinkla trekant
Dei trigonometriske forholda i ein rettvinkla trekant
✏️Døme 1

I ein rettvinkla trekant er vinkelen v=30°v = 30°, og hypotenusen er 10 cm. Finn motståande katet.

Trekant med v=30° og hypotenus 10

Vi bruker sinus fordi vi skal finne motståande katet når vi kjenner hypotenusen:

sin⁡30°=motsta˚andehypotenus\displaystyle \sin 30° = \frac{\text{motståande}}{\text{hypotenus}}

sin⁡30°=x10\displaystyle \sin 30° = \frac{x}{10}

x=10⋅sin⁡30°=10⋅0,5=5x = 10 \cdot \sin 30° = 10 \cdot 0{,}5 = 5

Svar: Motståande katet er 5 cm.

✏️Døme 2

I ein rettvinkla trekant er vinkelen v=45°v = 45°, og hosliggjande katet er 8 cm. Finn hypotenusen.

Trekant med v=45° og hosliggjande 8

Vi bruker cosinus:

cos⁡45°=hosliggjandehypotenus\displaystyle \cos 45° = \frac{\text{hosliggjande}}{\text{hypotenus}}

cos⁡45°=8c\displaystyle \cos 45° = \frac{8}{c}

c=8cos⁡45°=80,707...≈11,3\displaystyle c = \frac{8}{\cos 45°} = \frac{8}{0{,}707...} \approx 11{,}3

Svar: Hypotenusen er cirka 11,3 cm.

Finne vinklar

Når vi kjenner sidene og skal finne ein vinkel, bruker vi inverse trigonometriske funksjonar:

- v=sin⁡−1(motsta˚andehypotenus)\displaystyle v = \sin^{-1}\left(\frac{\text{motståande}}{\text{hypotenus}}\right)
- v=cos⁡−1(hosliggjandehypotenus)\displaystyle v = \cos^{-1}\left(\frac{\text{hosliggjande}}{\text{hypotenus}}\right)
- v=tan⁡−1(motsta˚andehosliggjande)\displaystyle v = \tan^{-1}\left(\frac{\text{motståande}}{\text{hosliggjande}}\right)

På kalkulatoren finn du desse som «sin⁻¹», «cos⁻¹» og «tan⁻¹».

✏️Døme 3

I ein rettvinkla trekant er katetane 3 cm og 4 cm. Finn den minste spisse vinkelen.

Trekant med katetar 3 og 4

Den minste vinkelen ligg overfor den kortaste kateten (3 cm).

Lat vv vere denne vinkelen. Då er 3 cm motståande og 4 cm hosliggjande.

tan⁡v=34=0,75\displaystyle \tan v = \frac{3}{4} = 0{,}75

v=tan⁡−1(0,75)≈36,9°v = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 36{,}9°

Svar: Den minste vinkelen er cirka 36,9°.

✏️Døme 4

Ei rampe skal ha ei stigning på 8°. Kor lang må rampa vere for å nå ei høgd på 1,2 m?

Rampe med vinkel 8° og høgd 1,2 m

Høgda (1,2 m) er motståande katet, rampa er hypotenusen.

sin⁡8°=1,2L\displaystyle \sin 8° = \frac{1{,}2}{L}

L=1,2sin⁡8°=1,20,139...≈8,6\displaystyle L = \frac{1{,}2}{\sin 8°} = \frac{1{,}2}{0{,}139...} \approx 8{,}6

Svar: Rampa må vere cirka 8,6 m lang.

📝Oppgave 1

Finn den ukjende sida xx:

a

Vinkel 30°, hypotenus 12, finn motståande

b

Vinkel 60°, hypotenus 10, finn hosliggjande

c

Vinkel 45°, hosliggjande 7, finn motståande

Løs oppgaven
📝Oppgave 2

Finn vinkelen vv:

a

Motståande 5, hypotenus 10

b

Hosliggjande 6, hypotenus 12

c

Motståande 8, hosliggjande 8

Løs oppgaven
📝Oppgave 3

Eit tre kastar ein skugge på 15 m når sola sin vinkel over horisonten er 35°. Kor høgt er treet?

📝Oppgave 4

Ein helikopterpilot ser ned på eit skip med ein vinkel på 25° under horisontalt. Helikopteret er 800 m over havet. Kva er den horisontale avstanden til skipet?

📝Oppgave 5

Ein sti går rett opp ein bakke. Etter 200 m har du stige 50 m i høgda. Kva er stigningsvinkelen?

📝Oppgave 6

Eit fly tek av med ein vinkel på 12° over horisonten. Etter å ha fløge 3 km (langs flybana), kor høgt og langt horisontalt er det frå startpunktet?

a

Finn høgda

b

Finn horisontal avstand

📝Oppgave 7

I ein rettvinkla trekant er vinkelen v=40°v = 40° og hypotenusen c=15c = 15 cm. Bruk definisjonane av sinus og cosinus til å finne motståande katet aa og hosliggjande katet bb.

a

Finn motståande katet aa

b

Finn hosliggjande katet bb

📝Oppgave 8

I ein rettvinkla trekant er hosliggjande katet til vinkelen vv lik b=8b = 8 cm og motståande katet a=6a = 6 cm. Bruk tangens til å finne vinkelen vv.

📝Oppgave 9

Ei fyrlykt er 35 m høg. Frå eit punkt på bakken ser ein toppen av fyrlykta med ein elevasjonsvinkel på 28°. Kor langt unna fyrlykta står ein?

Oppgåver med teikning

I oppgåvene nedanfor står måla på teikninga i oppgåva. Finn ut kva sider som er hosliggjande katet, motståande katet og hypotenus i forhold til den gitte vinkelen.

📝Oppgave 10

Bruk figuren til å finne dei ukjende katetane xx og yy. Trekanten har ein vinkel på 35° og hypotenus 10.

Illustrasjon til oppgave 10
📝Oppgave 11

I figuren nedanfor er hypotenusen 12 og vinkelen er 40°. Finn den hosliggjande kateten.

Illustrasjon til oppgave 11

Einingssirkelen

Definisjonane av sinus, cosinus og tangens over byggjer på ein rettvinkla trekant og gjeld difor berre spisse vinklar. I ein trekant kan éin vinkel vere stump. For å kunne bruke sinus og cosinus òg då, utvidar vi definisjonane med einingssirkelen: sirkelen med sentrum i origo og radius 11.

Vi legg det eine vinkelbeinet til vv langs den positive xx-aksen. Det andre vinkelbeinet skjer einingssirkelen i punktet P=(x,y)P = (x, y). Når vv er spiss, dannar origo OO, punktet PP og fotpunktet Q=(x,0)Q = (x, 0) ein rettvinkla trekant med hypotenus OP=1OP = 1:

cos⁡v=OQOP=x1=x\cos v = \frac{OQ}{OP} = \frac{x}{1} = x

sin⁡v=QPOP=y1=y\sin v = \frac{QP}{OP} = \frac{y}{1} = y

tan⁡v=QPOQ=yx=sin⁡vcos⁡v\tan v = \frac{QP}{OQ} = \frac{y}{x} = \frac{\sin v}{\cos v}

For spisse vinklar er altså P=(cos⁡v,sin⁡v)P = (\cos v, \sin v). Denne samanhengen bruker vi som definisjon for alle vinklar frå 0°0° til 180°180°.

Sinus, cosinus og tangens i einingssirkelen
La 0°≤v≤180°0° \le v \le 180°, og la PP vere punktet der det andre vinkelbeinet skjer einingssirkelen. Då er

P=(cos⁡v,sin⁡v)P = (\cos v, \sin v)

Altså er cos⁡v\cos v xx-koordinaten og sin⁡v\sin v yy-koordinaten til PP. Vidare er

tan⁡v=sin⁡vcos⁡v,v≠90°\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}, \quad v \ne 90°

Sidan PP ligg på sirkelen med radius 11, gir Pytagoras' setning

(cos⁡v)2+(sin⁡v)2=1(\cos v)^2 + (\sin v)^2 = 1

Stumpe vinklar

Når 90°<v<180°90° < v < 180°, ligg PP i andre kvadrant: til venstre for yy-aksen og over xx-aksen. Då er

- cos⁡v<0\cos v < 0 (negativ xx-koordinat)
- sin⁡v>0\sin v > 0 (positiv yy-koordinat)
- tan⁡v=sin⁡vcos⁡v<0\displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v} < 0

Vinklane 0°0°, 90°90° og 180°180° gir punkta (1,0)(1, 0), (0,1)(0, 1) og (−1,0)(-1, 0):

cos⁡0°=1,sin⁡0°=0\cos 0° = 1, \quad \sin 0° = 0

cos⁡90°=0,sin⁡90°=1\cos 90° = 0, \quad \sin 90° = 1

cos⁡180°=−1,sin⁡180°=0\cos 180° = -1, \quad \sin 180° = 0

tan⁡90°\tan 90° er ikkje definert, fordi cos⁡90°=0\cos 90° = 0.

For vinklar i ein trekant er sin⁡v\sin v alltid positiv, og forteiknet til cos⁡v\cos v avgjer vinkeltypen:

- cos⁡v>0\cos v > 0: vv er spiss
- cos⁡v=0\cos v = 0: v=90°v = 90°
- cos⁡v<0\cos v < 0: vv er stump

Vinklane vv og 180°−v180° - v

La PP høyre til vinkelen vv og P′P' til vinkelen 180°−v180° - v. Vinkelbeinet til 180°−v180° - v dannar vinkelen vv med den negative xx-aksen. Punkta PP og P′P' ligg difor symmetrisk om yy-aksen: dei har same yy-koordinat og motsett xx-koordinat.

P=(cos⁡v,sin⁡v)P = (\cos v, \sin v)

P′=(−cos⁡v,sin⁡v)P' = (-\cos v, \sin v)

P′=(cos⁡(180°−v),sin⁡(180°−v))P' = \big(\cos(180° - v), \sin(180° - v)\big)

Dei to siste linjene skildrar same punkt. Vi samanliknar koordinatane.

📜Vinklane vv og 180°−v180° - v
For 0°≤v≤180°0° \le v \le 180° er

sin⁡(180°−v)=sin⁡v\sin(180° - v) = \sin v

cos⁡(180°−v)=−cos⁡v\cos(180° - v) = -\cos v

For v≠90°v \ne 90° er dessutan

tan⁡(180°−v)=sin⁡v−cos⁡v=−tan⁡v\tan(180° - v) = \frac{\sin v}{-\cos v} = -\tan v

To vinklar med same sinusverdi

Ei vassrett linje y=ky = k med 0<k<10 < k < 1 skjer den øvre halvdelen av einingssirkelen i to punkt. Likninga sin⁡v=k\sin v = k har difor to løysingar mellom 0°0° og 180°180°:

v1=sin⁡−1(k)(spiss)v_1 = \sin^{-1}(k) \quad \text{(spiss)}

v2=180°−v1(stump)v_2 = 180° - v_1 \quad \text{(stump)}

Kalkulatoren gir berre den spisse løysinga v1v_1. Den stumpe finn vi sjølve.

Ei loddrett linje x=kx = k med −1<k<1-1 < k < 1 skjer den øvre halvsirkelen i eitt punkt. Likninga cos⁡v=k\cos v = k har difor nøyaktig éi løysing mellom 0°0° og 180°180°, og cos⁡−1(k)\cos^{-1}(k) på kalkulatoren gir henne, òg når kk er negativ.

✏️Døme 5

Finn alle vinklar vv mellom 0°0° og 180°180° som oppfyller likninga.

a) sin⁡v=0,8\sin v = 0{,}8

b) cos⁡v=−0,8\cos v = -0{,}8

a)

v1=sin⁡−1(0,8)≈53,1°v_1 = \sin^{-1}(0{,}8) \approx 53{,}1°

v2=180°−53,1°=126,9°v_2 = 180° - 53{,}1° = 126{,}9°

Svar: v≈53,1°v \approx 53{,}1° eller v≈126,9°v \approx 126{,}9°

b)

v=cos⁡−1(−0,8)≈143,1°v = \cos^{-1}(-0{,}8) \approx 143{,}1°

Svar: v≈143,1°v \approx 143{,}1°. Cosinus er negativ, så vinkelen er stump, og det finst berre denne eine løysinga.

Eksakte verdiar

For 30°30°, 45°45° og 60°60° kan vi finne sinus, cosinus og tangens eksakt. Vi bruker to trekantar: eit halvt kvadrat og ein halv likesida trekant.

✏️Døme 6

Vis at sin⁡45°=cos⁡45°=22\displaystyle \sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} og at tan⁡45°=1\tan 45° = 1.

Eit kvadrat med side 1 delt langs diagonalen. Halvdelen er ein rettvinkla trekant med katetar 1 og 1, hypotenus kvadratrota av 2 og to vinklar på 45 grader.

Vi deler eit kvadrat med side 11 langs diagonalen dd. Kvar halvdel er ein rettvinkla trekant med katetane 11 og 11 og vinklane 45°45°, 45°45° og 90°90°.

d2=12+12=2d^2 = 1^2 + 1^2 = 2

d=2d = \sqrt{2}

sin⁡45°=12=22\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

cos⁡45°=12=22\cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

tan⁡45°=11=1\tan 45° = \frac{1}{1} = 1

✏️Døme 7

Vis at sin⁡30°=12\displaystyle \sin 30° = \frac{1}{2} og cos⁡30°=32\displaystyle \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, og finn sinus, cosinus og tangens til 60°60° eksakt.

Ein likesida trekant med side 2 delt av høgda. Halvdelen er ein rettvinkla trekant med hypotenus 2, katetar 1 og kvadratrota av 3, og vinklane 30, 60 og 90 grader.

Vi tek ein likesida trekant med side 22. Alle vinklane er 60°60°. Høgda hh frå toppen deler grunnlinja i to delar med lengd 11 og toppvinkelen i to vinklar på 30°30°. Den eine halvdelen er ein rettvinkla trekant med hypotenus 22, katetane 11 og hh og vinklane 30°30°, 60°60° og 90°90°. Kateten 11 står overfor 30°30°, og kateten hh står overfor 60°60°.

h2+12=22h^2 + 1^2 = 2^2

h2=3h^2 = 3

h=3h = \sqrt{3}

sin⁡30°=12\sin 30° = \frac{1}{2}

cos⁡30°=32\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}

tan⁡30°=13=33\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

sin⁡60°=32\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}

cos⁡60°=12\cos 60° = \frac{1}{2}

tan⁡60°=31=3\tan 60° = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}

✏️Døme 8

Finn dei eksakte verdiane.

a) sin⁡120°\sin 120° og cos⁡120°\cos 120°

b) cos⁡135°\cos 135° og tan⁡135°\tan 135°

c) sin⁡150°\sin 150° og tan⁡150°\tan 150°

a)

sin⁡120°=sin⁡(180°−60°)=sin⁡60°=32\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}

cos⁡120°=cos⁡(180°−60°)=−cos⁡60°=−12\cos 120° = \cos(180° - 60°) = -\cos 60° = -\frac{1}{2}

b)

cos⁡135°=cos⁡(180°−45°)=−cos⁡45°=−22\cos 135° = \cos(180° - 45°) = -\cos 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}

tan⁡135°=tan⁡(180°−45°)=−tan⁡45°=−1\tan 135° = \tan(180° - 45°) = -\tan 45° = -1

c)

sin⁡150°=sin⁡(180°−30°)=sin⁡30°=12\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}

tan⁡150°=tan⁡(180°−30°)=−tan⁡30°=−33\tan 150° = \tan(180° - 30°) = -\tan 30° = -\frac{\sqrt{3}}{3}

Svar: a) 32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} og −12\displaystyle -\frac{1}{2}, b) −22\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2} og −1-1, c) 12\displaystyle \frac{1}{2} og −33\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{3}

✏️Døme 9

Finn alle vinklar vv mellom 0°0° og 180°180° utan kalkulator.

a) sin⁡v=12\displaystyle \sin v = \frac{1}{2}

b) cos⁡v=−22\displaystyle \cos v = -\frac{\sqrt{2}}{2}

a)

sin⁡30°=12\sin 30° = \frac{1}{2}

v1=30°v_1 = 30°

v2=180°−30°=150°v_2 = 180° - 30° = 150°

Svar: v=30°v = 30° eller v=150°v = 150°

b)

cos⁡45°=22\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}

cos⁡(180°−45°)=−cos⁡45°=−22\cos(180° - 45°) = -\cos 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}

v=135°v = 135°

Svar: v=135°v = 135°

📝Oppgave 12

Bruk einingssirkelen. Avgjer om talet er positivt eller negativt.

a
sin⁡110°\sin 110°
b
cos⁡110°\cos 110°
c
tan⁡110°\tan 110°
d
cos⁡70°\cos 70°
📝Oppgave 13

Finn den eksakte verdien utan kalkulator.

a
sin⁡120°\sin 120°
b
cos⁡135°\cos 135°
c
tan⁡150°\tan 150°
d
cos⁡180°\cos 180°
Løs oppgaven
📝Oppgave 14

Finn alle vinklar vv mellom 0°0° og 180°180° utan kalkulator.

a
sin⁡v=32\displaystyle \sin v = \frac{\sqrt{3}}{2}
b
cos⁡v=−12\displaystyle \cos v = -\frac{1}{2}
c
tan⁡v=−1\tan v = -1
d
sin⁡v=1\sin v = 1
Løs oppgaven
📝Oppgave 15

I trekant ABCABC er ∠B=90°\angle B = 90° og tan⁡A=1\tan A = 1. Forklar kva slags trekant dette er, og finn vinklane.

📝Oppgave 16

Vinkelen vv ligg mellom 0°0° og 180°180°, og sin⁡v=0,6\sin v = 0{,}6.

a

Finn begge moglege verdiar for vv.

b

Vinkelen vv er stump. Finn cos⁡v\cos v eksakt.

Løs oppgaven
📝Oppgave 17

Svar utan kalkulator.

a

Er tan⁡50°\tan 50° større eller mindre enn 11? Grunngi svaret.

b

Kva er samanhengen mellom tan⁡50°\tan 50° og tan⁡130°\tan 130°?

c

Vis at 2sin⁡ucos⁡u=sin⁡2u2 \sin u \cos u = \sin 2u når u=30°u = 30°.

📝Oppgave 18

Vinklar i trekantar.

a

I ein trekant er cos⁡C=−0,3\cos C = -0{,}3. Er CC spiss eller stump? Finn CC.

b

I ein annan trekant er sin⁡B=0,3\sin B = 0{,}3. Kva verdiar kan BB ha?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Sinus: sin⁡v=motsta˚ande katethypotenus\displaystyle \sin v = \frac{\text{motståande katet}}{\text{hypotenus}}
- Cosinus: cos⁡v=hosliggjande katethypotenus\displaystyle \cos v = \frac{\text{hosliggjande katet}}{\text{hypotenus}}
- Tangens: tan⁡v=motsta˚ande katethosliggjande katet\displaystyle \tan v = \frac{\text{motståande katet}}{\text{hosliggjande katet}}
- Finne sider: Gang eller del med den trigonometriske verdien
- Finne vinklar: Bruk dei inverse funksjonane sin⁡−1\sin^{-1}, cos⁡−1\cos^{-1} og tan⁡−1\tan^{-1}
- Eksakte verdiar: sin⁡30°=12\displaystyle \sin 30° = \frac{1}{2}, cos⁡30°=32\displaystyle \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡45°=cos⁡45°=22\displaystyle \sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, tan⁡45°=1\tan 45° = 1, sin⁡60°=32\displaystyle \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡60°=12\displaystyle \cos 60° = \frac{1}{2}
- Einingssirkelen: P=(cos⁡v,sin⁡v)P = (\cos v, \sin v) for 0°≤v≤180°0° \le v \le 180°, og tan⁡v=sin⁡vcos⁡v\displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v}
- Stumpe vinklar: sin⁡v>0\sin v > 0 og cos⁡v<0\cos v < 0
- Vinklane vv og 180°−v180° - v: sin⁡(180°−v)=sin⁡v\sin(180° - v) = \sin v og cos⁡(180°−v)=−cos⁡v\cos(180° - v) = -\cos v
- To løysingar: sin⁡v=k\sin v = k med 0<k<10 < k < 1 gir v=sin⁡−1(k)v = \sin^{-1}(k) eller v=180°−sin⁡−1(k)v = 180° - \sin^{-1}(k)

Nøkkelomgrep


OmgrepForklaring
Motståande katetKateten rett overfor vinkelen
Hosliggjande katetKateten som ligg inntil vinkelen
Invers trigonometrisk funksjonFinn vinkelen frå forholdet
EiningssirkelenSirkelen med sentrum i origo og radius 1

Viktige formlar


- sin⁡v=mothyp\displaystyle \sin v = \frac{\text{mot}}{\text{hyp}}, cos⁡v=hoshyp\displaystyle \cos v = \frac{\text{hos}}{\text{hyp}}, tan⁡v=mothos\displaystyle \tan v = \frac{\text{mot}}{\text{hos}}
Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.