8.3 Algebraisk divisjon og rasjonale uttrykk

Dividere polynomer, forenkle og regne med algebraiske brøker.

55 min

8 oppgaver

Algebraisk divisjonRasjonale uttrykkAlgebraiske brøker

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Multiplikasjon av polynomer 1.3Faktorisering og forenkling

Algebraisk divisjon og rasjonale uttrykk

I dei føregåande kapitla lærde du å multiplisere polynomar. No skal vi gjere det motsette: dele polynomar og arbeide med algebraiske brøkar.

Algebraiske brøkar (rasjonale uttrykk) dukkar opp i mange samanhengar — til dømes i formlar for fart, konsentrasjon og økonomi.

I dette kapitlet skal du lære:
- Å dividere eit polynom med eit monom
- Å forkorte algebraiske brøkar
- Å addere og subtrahere algebraiske brøkar
- Å multiplisere og dividere algebraiske brøkar

Divisjon av polynom med monom

\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}

✏️Eksempel: Dividere polynom med monom

Forenkle $\displaystyle \frac{6x^3 + 9x^2 - 3x}{3x}$ .

Vi deler kvart ledd i teljaren med

3x

$\frac{6x^3 + 9x^2 - 3x}{3x} = \frac{6x^3}{3x} + \frac{9x^2}{3x} - \frac{3x}{3x}$

$= 2x^2 + 3x - 1$

Svar: $\displaystyle \frac{6x^3 + 9x^2 - 3x}{3x} = 2x^2 + 3x - 1 \quad (x \neq 0)$

Merk at vi må krevje $x \neq 0$ sidan vi ikkje kan dele på null.

📝Oppgave 1

Forenkle uttrykka:

\displaystyle \frac{8x^2 + 4x}{2x}

\displaystyle \frac{12x^3 - 6x^2}{3x}

\displaystyle \frac{10x^4 + 15x^2 - 5x}{5x}

\displaystyle \frac{-9x^3 + 6x^2}{-3x^2}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Oliver har forenkla slik:

$\displaystyle \frac{x + 3}{x} = 3$

Finn feilen og forklar kvifor dette er galt.

Forkorting av algebraiske brøkar

\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b} \quad \text{(når } c \neq 0\text{)}

✏️Eksempel: Forkorte algebraisk brøk

Forkort $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ .

Vi faktorisar teljaren. Gjenkenner vi

x^2 - 9

? Det er

x^2 - 3^2

, altso ein differanse av kvadrat (konjugatsetningen!):

$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$

Dermed:

$\frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(x + 3)(x - 3)}{x + 3} = x - 3 \quad (x \neq -3)$

Svar: $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3} = x - 3$ , for $x \neq -3$ .

✏️Eksempel: Forkorte med faktorisering

Forkort $\displaystyle \frac{2x^2 + 6x}{4x}$ .

Vi faktoriserer tellaren:

$2x^2 + 6x = 2x(x + 3)$

Dermed:

$\frac{2x^2 + 6x}{4x} = \frac{2x(x + 3)}{4x} = \frac{x + 3}{2} \quad (x \neq 0)$

Vi forkørta med $2x$ (felles faktor i teljar og nemnar).

Svar: $\displaystyle \frac{2x^2 + 6x}{4x} = \frac{x + 3}{2}$

📝Oppgave 2

Forkort brøkane:

\displaystyle \frac{3x^2}{6x}

\displaystyle \frac{x^2 + 5x}{x}

\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x - 2}

\displaystyle \frac{x^2 - 25}{x + 5}

Løs oppgaven Tren

Addisjon og subtraksjon av algebraiske brøkar

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}

✏️Døme: Addere algebraiske brøkar

Forenkle $\displaystyle \frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}$ .

Nemnaran er

x

x + 1

. Fellesnemnar er

x(x + 1)

Vi utvider kvar brøk:

$\frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} = \frac{2(x + 1)}{x(x + 1)} + \frac{3x}{x(x + 1)}$

$= \frac{2(x + 1) + 3x}{x(x + 1)} = \frac{2x + 2 + 3x}{x(x + 1)} = \frac{5x + 2}{x(x + 1)}$

Svar: $\displaystyle \frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1} = \frac{5x + 2}{x(x + 1)}$ der $x \neq 0$ og $x \neq -1$ .

📝Oppgave 3

Forenkle uttrykka:

\displaystyle \frac{3}{x} + \frac{5}{x}

\displaystyle \frac{x + 1}{2x} + \frac{x - 1}{2x}

\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2}

\displaystyle \frac{3}{x - 1} - \frac{2}{x + 1}

Løs oppgaven Tren

Multiplikasjon og divisjon av algebraiske brøkar

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

✏️Døme: Multiplisere algebraiske brøkar

Forenkle $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x - 2}$ .

Først faktoriserer vi

x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)

$\frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x - 2}$

Vi forkortar $(x + 1)$ og $(x - 2)$ :

$= \frac{(x + 2) \cancel{(x - 2)}}{\cancel{x + 1}} \cdot \frac{\cancel{x + 1}}{\cancel{x - 2}} = x + 2$

Svar: $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x - 2} = x + 2$ der $x \neq -1$ og $x \neq 2$ .

✏️Døme: Dividere algebraiske brøkar

Forenkle $\displaystyle \frac{x}{x + 3} \div \frac{2x}{x^2 - 9}$ .

Vi snur den andre brøken og multipliserer. Vi faktoriserer

x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)

$\frac{x}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3)(x - 3)}{2x}$

Vi forkortar $x$ og $(x + 3)$ :

$= \frac{\cancel{x}}{\cancel{x + 3}} \cdot \frac{\cancel{(x + 3)}(x - 3)}{2\cancel{x}} = \frac{x - 3}{2}$

Svar: $\displaystyle \frac{x}{x + 3} \div \frac{2x}{x^2 - 9} = \frac{x - 3}{2}$ der $x \neq 0$ , $x \neq -3$ og $x \neq 3$ .

📝Oppgave 4

Forenkle:

\displaystyle \frac{3x}{4} \cdot \frac{8}{x^2}

\displaystyle \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{x^2}{x^2 - 4}

\displaystyle \frac{x^2}{x + 5} \div \frac{x}{x^2 - 25}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Betrakt den algebraiske brøken

\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x - 1}

. For kva verdiar av

x

er dette uttrykket definert? Kan vi alltid seie at

\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1

? Drøft skilnaden mellom dei to uttrykka.

I dette kapittelet har vi lært å rekne med algebraiske brøker (rasjonale uttrykk):

1. Dividere polynom med monom: Del kvar ledd for seg: $\displaystyle \frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$
2. Forkorte: Faktoriser tellar og nemnar, og stryk felles faktorar
3. Addere/subtrahere: Finn fellesnemnar, utvid brøkane, og legg saman telljarane
4. Multiplisere: Multipliser tellar med tellar og nemnar med nemnar — forkort gjerne undervegs
5. Dividere: Snu den andre brøken og multipliser

Viktige påminningar:
- Vi kan berre forkorte faktorar, ikkje ledd
- Vi kan aldri dele på null — sjekk alltid definisjonsmengda
- Bruk kvadratsetningane (spesielt konjugatsetningen $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ) aktivt for å faktorisere

📝Oppgave 5

Per og Lisa reknar på brøken $\displaystyle \frac{x^2 + 3x}{x}$ . Per seier svaret er $x + 3$ , Lisa seier svaret er $x^2 + 3$ . Kven har rett? Grunngev svaret ditt.

📝Oppgave 6

Forenkle uttrykket $\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}$ .

📝Oppgave 7

Forenkle $\displaystyle \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{4}{x^2 - 4}$ .

📝Oppgave 8

Ein bil køyrer strekkinga $d$ km. Ho køyrer første halvparten med fart $v_1$ km/t og andre halvparten med fart $v_2$ km/t. Vis at gjennomsnittsfarten for heile turen er $\displaystyle \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ km/t.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.