8.2 Kvadratsetningene

Første, andre og tredje kvadratsetning med bevis og anvendelser.

55 min

8 oppgaver

KvadratsetningerKonjugatsetningenAlgebraiske identiteter

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Multiplikasjon av polynomer

Kvadratsetningene

Når vi multipliserer polynomer, dukker det opp noen spesielle mønstre som går igjen. De tre kvadratsetningene er slike mønstre — de lar oss utvide og faktorisere uttrykk raskt uten å bruke FOIL hver gang.

Disse setningene er blant de viktigste verktøyene i algebra, og du vil bruke dem i mange sammenhenger: likningsteknikk, funksjonsanalyse, og videre i matematikken.

I dette kapittelet skal du lære:
- Første kvadratsetning: $(a + b)^2$
- Andre kvadratsetning: $(a - b)^2$
- Konjugatsetningen (tredje kvadratsetning): $(a + b)(a - b)$
- Geometriske bevis for alle tre setningene

Første kvadratsetning

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Tenk deg et kvadrat med side $a + b$ . Arealet av hele kvadratet er $(a + b)^2$ .

Vi kan dele dette kvadratet i fire deler:

$a$	$b$
$a$	$a^2$	$ab$
$b$	$ab$	$b^2$

- Øverst til venstre: et kvadrat med side

a

, areal

a^2

- Øverst til høyre: et rektangel med sider

a

b

, areal

ab

- Nederst til venstre: et rektangel med sider

b

a

, areal

ab

- Nederst til høyre: et kvadrat med side $b$ , areal $b^2$
Totalt areal: $a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Denne geometriske modellen viser tydelig hvorfor det dobbelte produktet $2ab$ dukker opp: vi får to like rektangler.

✏️Eksempel: Første kvadratsetning

Utvid $(x + 4)^2$ .

Vi bruker første kvadratsetning med

a = x

b = 4

$(x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$

Svar: $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$

Vanlig feil!

Mange skriver feilaktig:

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 \quad \text{FEIL!}$

Du glemmer det dobbelte produktet $2ab$ . Riktig er:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

En rask sjekk: $(3 + 4)^2 = 7^2 = 49$ , men $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \neq 49$ .

📝Oppgave 1

Bruk første kvadratsetning til å utvide:

(x + 3)^2

(x + 5)^2

(2x + 1)^2

(3x + 2)^2

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Emma har skrevet:

$(x + 5)^2 = x^2 + 25$

Finn feilen og skriv riktig utregning.

Andre kvadratsetning

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Tenk deg et stort kvadrat med side

a

. Vi trekker fra en stripe med bredde

b

langs to sider.

Start med det store kvadratet med areal $a^2$ .

Vi fjerner to rektangler med areal $ab$ hver (langs høyre side og bunnen). Men da har vi fjernet hjørnekvdratet med areal $b^2$ to ganger, så vi legger det til én gang.

$a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Det gjenværende arealet er nettopp $(a - b)^2$ , altså arealet av et kvadrat med side $(a - b)$ .

Dermed er $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ .

✏️Eksempel: Andre kvadratsetning

Utvid $(x - 6)^2$ .

Vi bruker andre kvadratsetning med

a = x

b = 6

$(x - 6)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = x^2 - 12x + 36$

Svar: $(x - 6)^2 = x^2 - 12x + 36$

📝Oppgave 2

Bruk andre kvadratsetning til å utvide:

(x - 2)^2

(x - 7)^2

(3x - 4)^2

(5x - 1)^2

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Hvilket av disse uttrykkene er lik $(x - 3)^2$ ?

Konjugatsetningen (tredje kvadratsetning)

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Tenk deg et stort kvadrat med side

a

og areal

a^2

. Fra hjørnet klipper vi bort et lite kvadrat med side

b

og areal

b^2

Det gjenværende arealet er $a^2 - b^2$ . Denne L-formede figuren kan vi klippe opp og sette sammen til et rektangel:

- Vi klipper langs den vannrette linjen som skiller det store og lille kvadratet.
- Vi får to deler: et rektangel med sider $(a + b)$ og $(a - b)$ .

Arealet av rektangelet er $(a + b)(a - b)$ .

Siden arealet er det samme som det vi startet med, har vi vist at:

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

✏️Eksempel: Konjugatsetningen

Utvid $(x + 8)(x - 8)$ .

Vi bruker konjugatsetningen med

a = x

b = 8

$(x + 8)(x - 8) = x^2 - 8^2 = x^2 - 64$

Svar: $(x + 8)(x - 8) = x^2 - 64$

✏️Eksempel: Hoderegning med konjugatsetningen

Regn ut $47 \cdot 53$ i hodet.

Vi skriver om tallene:

$47 \cdot 53 = (50 - 3)(50 + 3)$

Nå bruker vi konjugatsetningen med $a = 50$ og $b = 3$ :

$= 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491$

Svar: $47 \cdot 53 = 2491$

Konjugatsetningen er nyttig for å gjøre multiplikasjoner enklere!

📝Oppgave 4

Bruk konjugatsetningen til å utvide:

(x + 5)(x - 5)

(2x + 3)(2x - 3)

(x + 10)(x - 10)

(4x + 7)(4x - 7)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Bruk konjugatsetningen til å regne ut i hodet:

28 \cdot 32

99 \cdot 101

43 \cdot 37

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: Vis at for alle positive heltall

n

n^2 - (n-1)^2

alltid et oddetall. Bruk en av kvadratsetningene i beviset ditt.

De tre kvadratsetningene er:

Setning	Formel
Første kvadratsetning	$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Andre kvadratsetning	$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Konjugatsetningen	$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Tips for å huske:
- I de to første setningene er det tre ledd i svaret — ikke glem midtleddet

\pm 2ab

!
- I konjugatsetningen er det bare to ledd — midtleddene slår hverandre ut.
- Det siste leddet i første og andre kvadratsetning er alltid positivt (

b^2

- Alle tre kan vises geometrisk med arealer av kvadrater og rektangler.

📝Oppgave 6

Avgjør hvilken kvadratsetning som passer, og utvid:

(x + 9)^2

(x - 11)(x + 11)

(2x - 5)^2

(3x + 4)(3x - 4)

(x + 0{,}5)^2

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Forenkle uttrykkene ved å bruke kvadratsetningene:

(x + 3)^2 - (x - 3)^2

(x + 4)^2 - (x + 4)(x - 4)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Et kvadratisk hagebed har side $x$ meter. Eieren utvider bedet med $3$ meter i begge retninger (lengde og bredde). Bruk en kvadratsetning til å finne uttrykket for det nye arealet. Hvor mye økte arealet med?

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.