8.1 Multiplikasjon av polynomer

Multiplisere parenteser, FOIL-metoden og arealmodellen.

55 min

8 oppgaver

PolynommultiplikasjonFOILArealmodellParentesmultiplikasjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

8.2Kvadratsetningene 8.3Algebraisk divisjon og rasjonale uttrykk

Multiplikasjon av polynomer

Når vi regner med algebra, trenger vi ofte å multiplisere uttrykk med hverandre. Kanskje du skal finne arealet av et rektangel med sider $(x + 3)$ og $(x + 5)$ , eller forenkle et uttrykk i en likning. Da må vi vite hvordan vi multipliserer polynomer.

I dette kapittelet skal du lære:
- Hvordan du multipliserer et monom med et polynom
- Hvordan du multipliserer to binomier med FOIL-metoden
- Hvordan du multipliserer vilkårlige polynomer
- Hvordan arealmodellen gir en geometrisk forståelse av multiplikasjonen

Monom ganget med polynom (distributiv lov)

a(b + c) = ab + ac

✏️Eksempel: Monom ganget med binom

Utvid og forenkle $3x(2x + 5)$ .

Vi bruker distributiv lov og multipliserer

3x

med hvert ledd i parentesen:

$3x(2x + 5) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 5 = 6x^2 + 15x$

Svar: $3x(2x + 5) = 6x^2 + 15x$

✏️Eksempel: Monom ganget med trinom

Utvid og forenkle $-2x^2(3x^2 - 4x + 1)$ .

Vi multipliserer

-2x^2

med hvert ledd:

$-2x^2(3x^2 - 4x + 1) = -2x^2 \cdot 3x^2 + (-2x^2) \cdot (-4x) + (-2x^2) \cdot 1$

$= -6x^4 + 8x^3 - 2x^2$

Svar: $-2x^2(3x^2 - 4x + 1) = -6x^4 + 8x^3 - 2x^2$

📝Oppgave 1

Utvid og forenkle uttrykkene:

4(x + 3)

2x(3x - 1)

-3x(x + 7)

5x^2(2x - 3)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Jonas har skrevet:

$2x(3x - 4) = 6x - 8x = -2x$

Finn feilen og skriv riktig utregning.

Multiplikasjon av to binomier (FOIL-metoden)

(a + b)(c + d)

✏️Eksempel: FOIL-metoden

Utvid og forenkle $(x + 3)(x + 5)$ .

Vi bruker FOIL-metoden:

- F: $x \cdot x = x^2$
- O: $x \cdot 5 = 5x$
- I: $3 \cdot x = 3x$
- L: $3 \cdot 5 = 15$

$= x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15$

Svar: $(x + 3)(x + 5) = x^2 + 8x + 15$

📝Oppgave 2

Bruk FOIL-metoden til å utvide og forenkle:

(x + 2)(x + 4)

(x + 1)(x + 6)

(x - 3)(x + 2)

(x - 4)(x - 5)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Utvid og forenkle:

(2x + 3)(x + 4)

(3x - 1)(2x + 5)

(4x + 1)(4x - 1)

Løs oppgaven Tren

Arealmodellen for polynom-multiplikasjon

(a + b)

$c$	$d$
$a$	$ac$	$ad$
$b$	$bc$	$bd$

✏️Eksempel: Arealmodellen

Bruk arealmodellen til å multiplisere $(x + 3)(x + 5)$ .

Vi tegner et rektangel med sider

x + 3

x + 5

, og deler det i fire deler:

$x$	$5$
$x$	$x \cdot x = x^2$	$x \cdot 5 = 5x$
$3$	$3 \cdot x = 3x$	$3 \cdot 5 = 15$

Totalt areal:

x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15

Vi får det samme svaret som med FOIL. Arealmodellen gir oss en visuell forståelse av hvorfor formelen fungerer.

📝Oppgave 4

Bruk arealmodellen (tegn et rektangel delt i fire deler) til å multiplisere $(x + 2)(x + 7)$ . Skriv opp alle fire delarealer og finn det totale arealet.

Multiplikasjon av vilkårlige polynomer

(a + b + c)(d + e) = ad + ae + bd + be + cd + ce

✏️Eksempel: Trinom ganget med binom

Utvid og forenkle $(x^2 + 3x + 2)(x + 4)$ .

Vi tar hvert ledd i den første parentesen og multipliserer med

(x + 4)

$x^2(x + 4) + 3x(x + 4) + 2(x + 4)$

$= x^3 + 4x^2 + 3x^2 + 12x + 2x + 8$

Vi samler like ledd:

$= x^3 + 7x^2 + 14x + 8$

Svar: $(x^2 + 3x + 2)(x + 4) = x^3 + 7x^2 + 14x + 8$

📝Oppgave 5

Utvid og forenkle:

(x^2 + 2x + 1)(x + 3)

(x + 1)(x^2 - x + 1)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: En medelev sier: «Hvis jeg multipliserer to polynomer med henholdsvis

m

n

ledd, får jeg alltid

m \cdot n

ledd i svaret.» Er dette riktig? Begrunn med eksempler.

Vi har lært tre viktige teknikker for polynom-multiplikasjon:

1. Monom ganger polynom: Bruk distributiv lov — $a(b + c) = ab + ac$
2. Binom ganger binom (FOIL): $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$
3. Arealmodellen: En geometrisk tolkning som viser at multiplikasjonen tilsvarer summen av delarealer i et rektangel
4. Polynom ganger polynom: Hvert ledd i den ene faktoren multipliseres med hvert ledd i den andre

Husk alltid å samle like ledd etter at du har utvidet uttrykket!

📝Oppgave 6

Et rektangulært rom har lengde $(2x + 3)$ meter og bredde $(x + 4)$ meter. Finn et uttrykk for arealet av rommet, og beregn arealet når $x = 5$ .

📝Oppgave 7

Utvid og forenkle $(x + 2)(x - 3)(x + 1)$ .

📝Oppgave 8

Vis at $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ for alle verdier av $x$ , $a$ og $b$ . Bruk dette til å multiplisere $(x + 7)(x - 3)$ uten å bruke FOIL direkte.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.