8.3 Algebraisk divisjon og rasjonale uttrykk

Dividere polynomer, forenkle og regne med algebraiske brøker.

55 min

8 oppgaver

Algebraisk divisjonRasjonale uttrykkAlgebraiske brøker

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Multiplikasjon av polynomer 1.3Faktorisering og forenkling

Algebraisk divisjon og rasjonale uttrykk

I de forrige kapitlene lærte du å multiplisere polynomer. Nå skal vi gjøre det motsatte: dele polynomer og arbeide med algebraiske brøker.

Algebraiske brøker (rasjonale uttrykk) dukker opp i mange sammenhenger — for eksempel i formler for fart, konsentrasjon og økonomi.

I dette kapittelet skal du lære:
- Å dividere et polynom med et monom
- Å forkorte algebraiske brøker
- Å addere og subtrahere algebraiske brøker
- Å multiplisere og dividere algebraiske brøker

Divisjon av polynom med monom

\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}

✏️Eksempel: Dividere polynom med monom

Forenkle $\displaystyle \frac{6x^3 + 9x^2 - 3x}{3x}$ .

Vi deler hvert ledd i telleren med

3x

$\frac{6x^3 + 9x^2 - 3x}{3x} = \frac{6x^3}{3x} + \frac{9x^2}{3x} - \frac{3x}{3x}$

$= 2x^2 + 3x - 1$

Svar: $\displaystyle \frac{6x^3 + 9x^2 - 3x}{3x} = 2x^2 + 3x - 1 \quad (x \neq 0)$

Merk at vi må kreve $x \neq 0$ siden vi ikke kan dele på null.

📝Oppgave 1

Forenkle uttrykkene:

\displaystyle \frac{8x^2 + 4x}{2x}

\displaystyle \frac{12x^3 - 6x^2}{3x}

\displaystyle \frac{10x^4 + 15x^2 - 5x}{5x}

\displaystyle \frac{-9x^3 + 6x^2}{-3x^2}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Oliver har forenklet slik:

$\displaystyle \frac{x + 3}{x} = 3$

Finn feilen og forklar hvorfor dette er galt.

Forkorting av algebraiske brøker

\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b} \quad \text{(når } c \neq 0\text{)}

✏️Eksempel: Forkorte algebraisk brøk

Forkort $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ .

Vi faktoriserer telleren. Gjenkjenner vi

x^2 - 9

? Det er

x^2 - 3^2

, altså en differanse av kvadrater (konjugatsetningen!):

$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$

Dermed:

$\frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(x + 3)(x - 3)}{x + 3} = x - 3 \quad (x \neq -3)$

Svar: $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3} = x - 3$ , for $x \neq -3$ .

✏️Eksempel: Forkorte med faktorisering

Forkort $\displaystyle \frac{2x^2 + 6x}{4x}$ .

Vi faktoriserer telleren:

$2x^2 + 6x = 2x(x + 3)$

Dermed:

$\frac{2x^2 + 6x}{4x} = \frac{2x(x + 3)}{4x} = \frac{x + 3}{2} \quad (x \neq 0)$

Vi forkortet med $2x$ (felles faktor i teller og nevner).

Svar: $\displaystyle \frac{2x^2 + 6x}{4x} = \frac{x + 3}{2}$

📝Oppgave 2

Forkort brøkene:

\displaystyle \frac{3x^2}{6x}

\displaystyle \frac{x^2 + 5x}{x}

\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x - 2}

\displaystyle \frac{x^2 - 25}{x + 5}

Løs oppgaven Tren

Addisjon og subtraksjon av algebraiske brøker

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}

✏️Eksempel: Addere algebraiske brøker

Forenkle $\displaystyle \frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}$ .

Nevnerne er

x

x + 1

. Fellesnevneren er

x(x + 1)

Vi utvider hver brøk:

$\frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} = \frac{2(x + 1)}{x(x + 1)} + \frac{3x}{x(x + 1)}$

$= \frac{2(x + 1) + 3x}{x(x + 1)} = \frac{2x + 2 + 3x}{x(x + 1)} = \frac{5x + 2}{x(x + 1)}$

Svar: $\displaystyle \frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1} = \frac{5x + 2}{x(x + 1)}$ der $x \neq 0$ og $x \neq -1$ .

📝Oppgave 3

Forenkle uttrykkene:

\displaystyle \frac{3}{x} + \frac{5}{x}

\displaystyle \frac{x + 1}{2x} + \frac{x - 1}{2x}

\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2}

\displaystyle \frac{3}{x - 1} - \frac{2}{x + 1}

Løs oppgaven Tren

Multiplikasjon og divisjon av algebraiske brøker

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

✏️Eksempel: Multiplisere algebraiske brøker

Forenkle $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x - 2}$ .

Først faktoriserer vi

x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)

$\frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x - 2}$

Vi forkorter $(x + 1)$ og $(x - 2)$ :

$= \frac{(x + 2) \cancel{(x - 2)}}{\cancel{x + 1}} \cdot \frac{\cancel{x + 1}}{\cancel{x - 2}} = x + 2$

Svar: $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x - 2} = x + 2$ der $x \neq -1$ og $x \neq 2$ .

✏️Eksempel: Dividere algebraiske brøker

Forenkle $\displaystyle \frac{x}{x + 3} \div \frac{2x}{x^2 - 9}$ .

Vi snur den andre brøken og multipliserer. Vi faktoriserer

x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)

$\frac{x}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3)(x - 3)}{2x}$

Vi forkorter $x$ og $(x + 3)$ :

$= \frac{\cancel{x}}{\cancel{x + 3}} \cdot \frac{\cancel{(x + 3)}(x - 3)}{2\cancel{x}} = \frac{x - 3}{2}$

Svar: $\displaystyle \frac{x}{x + 3} \div \frac{2x}{x^2 - 9} = \frac{x - 3}{2}$ der $x \neq 0$ , $x \neq -3$ og $x \neq 3$ .

📝Oppgave 4

Forenkle:

\displaystyle \frac{3x}{4} \cdot \frac{8}{x^2}

\displaystyle \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{x^2}{x^2 - 4}

\displaystyle \frac{x^2}{x + 5} \div \frac{x}{x^2 - 25}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: Betrakt den algebraiske brøken

\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x - 1}

. For hvilke verdier av

x

er dette uttrykket definert? Kan vi alltid si at

\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1

? Drøft forskjellen mellom de to uttrykkene.

I dette kapittelet har vi lært å regne med algebraiske brøker (rasjonale uttrykk):

1. Dividere polynom med monom: Del hvert ledd for seg: $\displaystyle \frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$
2. Forkorte: Faktoriser teller og nevner, og stryk felles faktorer
3. Addere/subtrahere: Finn fellesnevner, utvid brøkene, og legg sammen tellerne
4. Multiplisere: Multipliser teller med teller og nevner med nevner — forkort gjerne underveis
5. Dividere: Snu den andre brøken og multipliser

Viktige påminnelser:
- Vi kan bare forkorte faktorer, ikke ledd
- Vi kan aldri dele på null — sjekk alltid definisjonsmengden
- Bruk kvadratsetningene (spesielt konjugatsetningen $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ) aktivt for å faktorisere

📝Oppgave 5

Per og Lisa regner på brøken $\displaystyle \frac{x^2 + 3x}{x}$ . Per sier svaret er $x + 3$ , Lisa sier svaret er $x^2 + 3$ . Hvem har rett? Begrunn svaret ditt.

📝Oppgave 6

Forenkle uttrykket $\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}$ .

📝Oppgave 7

Forenkle $\displaystyle \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} - \frac{4}{x^2 - 4}$ .

📝Oppgave 8

En bil kjører strekningen $d$ km. Den kjører første halvpart med fart $v_1$ km/t og andre halvpart med fart $v_2$ km/t. Vis at gjennomsnittsfarten for hele turen er $\displaystyle \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ km/t.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.