8.3 Algebraisk divisjon og rasjonale uttrykk

Broker med bokstaver

I de forrige kapitlene lærte du å multiplisere polynomer. Nå skal vi gjøre det motsatte: dele polynomer og arbeide med algebraiske broker (også kalt rasjonale uttrykk). En algebraisk brok er en brok der teller og/eller nevner inneholder polynomer, for eksempel $\displaystyle \frac{x + 3}{x - 1}$.

Slike uttrykk dukker opp i mange sammenhenger -- formler for fart, konsentrasjon, okonomi og mye mer. La oss bygge opp ferdighetene steg for steg.

Dele polynom med monom

Når vi deler et polynom med et monom, deler vi hvert ledd i polynomet for seg:

$$\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$$

For eksempel: $\displaystyle \frac{6x^3 + 9x^2 - 3x}{3x}$. Vi deler hvert ledd: $\displaystyle \frac{6x^3}{3x} = 2x^2$, $\displaystyle \frac{9x^2}{3x} = 3x$, $\displaystyle \frac{-3x}{3x} = -1$. Svaret er $2x^2 + 3x - 1$ (og vi må kreve $x \neq 0$ siden vi ikke kan dele på null).

Vi bruker potensreglene til å forenkle: $\displaystyle \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$. Del koeffisientene for seg og trekk fra eksponentene.

Flere eksempler: $\displaystyle \frac{8x^2 + 4x}{2x} = 4x + 2$. $\displaystyle \frac{12x^3 - 6x^2}{3x} = 4x^2 - 2x$. $\displaystyle \frac{-9x^3 + 6x^2}{-3x^2} = 3x - 2$.

Forkorte algebraiske broker

For å forkorte en algebraisk brok gjør du to ting: (1) faktoriser teller og nevner så mye som mulig, og (2) stryk felles faktorer.

$$\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b} \quad \text{(når } c \neq 0\text{)}$$

Viktig regel: Vi kan bare forkorte faktorer, ikke enkeltstående ledd! $\displaystyle \frac{x + 3}{x} \neq 3$ -- dette er en veldig vanlig feil.

La oss se på noen eksempler. $\displaystyle \frac{2x^2 + 6x}{4x}$: vi faktoriserer telleren $= 2x(x + 3)$, så $\displaystyle \frac{2x(x + 3)}{4x} = \frac{x + 3}{2}$ (forkortet med $2x$).

Her kommer kvadratsetningene til nytte! $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3}$: gjenkjenner du $x^2 - 9$? Det er $x^2 - 3^2$, som vi kan faktorisere med konjugatsetningen: $(x + 3)(x - 3)$. Så $\displaystyle \frac{(x + 3)(x - 3)}{x + 3} = x - 3$ (for $x \neq -3$).

Tilsvarende: $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = x + 2$. Og det mer avanserte: $\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)^2} = \frac{x - 1}{x + 1}$.

Husk: definisjonsmengden -- verdiene av $x$ som gjør uttrykket gyldig. Vi kan aldri dele på null, så vi må utelukke verdier som gjør nevneren lik null.

De fire regneartene med algebraiske broker

Når du skal addere eller subtrahere algebraiske broker, trenger du fellesnevner -- akkurat som med vanlige broker. Med lik nevner legger du bare sammen tellerne: $\displaystyle \frac{3}{x} + \frac{5}{x} = \frac{8}{x}$. Med ulik nevner må du først finne fellesnevneren.

For eksempel: $\displaystyle \frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}$. Fellesnevneren er $x(x + 1)$. Vi utvider: $\displaystyle \frac{2(x + 1)}{x(x + 1)} + \frac{3x}{x(x + 1)} = \frac{2x + 2 + 3x}{x(x + 1)} = \frac{5x + 2}{x(x + 1)}$.

Et elegant eksempel: $\displaystyle \frac{x + 1}{2x} + \frac{x - 1}{2x} = \frac{(x + 1) + (x - 1)}{2x} = \frac{2x}{2x} = 1$.

For multiplikasjon ganger du teller med teller og nevner med nevner: $\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$. Tips: faktoriser og forkort for du ganger! $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x - 2} = x + 2$.

For divisjon snur du den andre broken og multipliserer: $\displaystyle \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$. $\displaystyle \frac{x}{x + 3} \div \frac{2x}{x^2 - 9}$: snu og faktoriser. $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$. $\displaystyle \frac{x}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3)(x - 3)}{2x} = \frac{x - 3}{2}$.

Oppsummering

Vi har lært å regne med algebraiske broker (rasjonale uttrykk):

1. Dele polynom med monom: Del hvert ledd for seg -- $\displaystyle \frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$
2. Forkorte: Faktoriser teller og nevner, stryk felles faktorer
3. Addere/subtrahere: Finn fellesnevner, utvid brokene, legg sammen tellerne
4. Multiplisere: Teller ganger teller, nevner ganger nevner -- forkort gjerne først
5. Dividere: Snu den andre broken og multipliser

Viktige paminnnelser: vi kan bare forkorte faktorer, ikke ledd. Vi kan aldri dele på null -- sjekk definisjonsmengden. Og bruk kvadratsetningene (spesielt $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$) aktivt for å faktorisere.