9.1 Eksponentiell vekst og nedgang

Sammenhengen mellom prosentvis endring, vekstfaktor og eksponentialfunksjoner.

55 min

8 oppgaver

Eksponentiell vekstEksponentiell nedgangVekstfaktorHalveringstid

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.2Vekstfaktor

Brukes videre i

9.2Eksponentialfunksjoner og grafer 9.3Modellering med reelle datasett

Eksponentiell vekst og nedgang

Har du noen gang hørt uttrykket «det vokser eksponentielt»? Kanskje i sammenheng med hvordan et virus sprer seg, eller hvordan renter kan få en sparekonto til å vokse. Eksponentiell vekst er noe helt annet enn den lineære veksten du er vant med fra tidligere.

Tenk deg at du legger 1 000 kr i banken med 5 % rente hvert år. Etter ett år har du 1 050 kr. Men etter to år har du ikke 1 100 kr — du har 1 102,50 kr, fordi renta det andre året blir regnet ut fra det nye beløpet på 1 050 kr. Denne effekten, der veksten i seg selv vokser, er kjernen i eksponentiell vekst.

I dette kapittelet skal du lære:
- Hva som kjennetegner eksponentiell vekst og nedgang
- Hvordan vekstfaktor henger sammen med prosentvis endring
- Hvordan vi skriver eksponentialfunksjoner på formen $f(x) = a \cdot b^x$
- Å bruke eksponentialfunksjoner i praktiske situasjoner

Forutsetning: Du bør kjenne til vekstfaktor fra kapittel 6.2. Hvis du trenger repetisjon, kan du gå tilbake dit først.

Vekstfaktor

p

✏️Eksempel: Fra prosent til vekstfaktor

En by i Norge har 12 000 innbyggere. Folketallet øker med 3 % hvert år. Hvor mange innbyggere har byen etter 1, 2 og 3 år?

Løsning:

Vekstfaktor: $b = 1 + 0{,}03 = 1{,}03$

Startverdi: $a = 12\,000$

Etter 1 år: $12\,000 \cdot 1{,}03 = 12\,360$

Etter 2 år: $12\,360 \cdot 1{,}03 = 12\,730{,}8 \approx 12\,731$

Etter 3 år: $12\,730{,}8 \cdot 1{,}03 = 13\,112{,}7 \approx 13\,113$

Vi kan også skrive det slik:
- Etter 1 år: $12\,000 \cdot 1{,}03^1 = 12\,360$
- Etter 2 år: $12\,000 \cdot 1{,}03^2 = 12\,730{,}8$
- Etter 3 år: $12\,000 \cdot 1{,}03^3 \approx 13\,113$

Svar: Etter 3 år har byen ca. 13 113 innbyggere.

📝Oppgave 1

Finn vekstfaktoren for hver av disse endringene.

6 % økning

20 % nedgang

2{,}5 % økning

12 % nedgang

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

En bil koster 350 000 kr ny. Hvert år faller verdien med 15 %. Hvor mye er bilen verdt etter 1, 2 og 3 år?

Eksponentialfunksjon

f(x) = a \cdot b^x

✏️Eksempel: Bakterievekst

En bakteriekultur starter med 500 bakterier. Antallet bakterier dobler seg hver time. Skriv opp en eksponentialfunksjon $f(x)$ der $x$ er antall timer, og finn hvor mange bakterier det er etter 6 timer.

Løsning:

Startverdien er $a = 500$ bakterier.

Dobling betyr 100 % økning, altså vekstfaktor $b = 2$ .

Funksjonen blir:
$f(x) = 500 \cdot 2^x$

Etter 6 timer:
$f(6) = 500 \cdot 2^6 = 500 \cdot 64 = 32\,000$

Svar: Etter 6 timer er det 32 000 bakterier i kulturen.

📝Oppgave 3

Du setter 10 000 kr i banken med 4 % årlig rente (rentes rente).

Skriv opp en eksponentialfunksjon $f(x)$ der $x$ er antall år.

Hvor mye penger har du etter 10 år?

Hvor mye renter har du tjent totalt etter 10 år?

📝Oppgave 4

Radioaktivt jod-131 har en halveringstid på 8 dager. Det betyr at halvparten av stoffet brytes ned hver 8. dag. Du starter med 200 mg jod-131.

Hvor mye jod-131 er igjen etter 8, 16, 24 og 32 dager?

Skriv opp en eksponentialfunksjon $f(x)$ der $x$ er antall halveringsperioder.

Etter hvor mange halveringsperioder er det mindre enn 1 mg igjen?

Løs oppgaven Tren

Bestemme $a$ og $b$ i $f(x) = a \cdot b^x$

Ofte får du opplysninger om en situasjon og må selv finne eksponentialfunksjonen. Her er strategien:

Finne $a$ (startverdien):
Startverdien er verdien når $x = 0$ . Dersom du vet hva størrelsen er ved start, har du $a$ direkte.

Finne $b$ (vekstfaktoren):
- Hvis du kjenner den prosentvise endringen per periode, bruker du formelen for vekstfaktor.
- Hvis du har to datapunkt, for eksempel $f(x_1) = y_1$ og $f(x_2) = y_2$ , kan du sette opp likningen:

$\frac{y_2}{y_1} = b^{x_2 - x_1}$

og dermed finne $b$ .

✏️Eksempel: Finne eksponentialfunksjonen

En forsker måler bakterier i en kultur. Etter 2 timer er det 1 800 bakterier, og etter 5 timer er det 14 400 bakterier. Finn eksponentialfunksjonen $f(x) = a \cdot b^x$ der $x$ er tid i timer.

Løsning:

Vi har $f(2) = 1\,800$ og $f(5) = 14\,400$ .

Steg 1: Finn $b$

$\frac{f(5)}{f(2)} = \frac{a \cdot b^5}{a \cdot b^2} = b^3 = \frac{14\,400}{1\,800} = 8$

$b^3 = 8 \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt[3]{8} = 2$

Steg 2: Finn $a$

Vi bruker $f(2) = a \cdot 2^2 = 4a = 1\,800$ :

$a = \frac{1\,800}{4} = 450$

Svar: Eksponentialfunksjonen er $f(x) = 450 \cdot 2^x$ .

Vi kan sjekke: $f(5) = 450 \cdot 2^5 = 450 \cdot 32 = 14\,400$ ✓

📝Oppgave 5

En investering var verdt 50 000 kr ved starten og 72 800 kr etter 4 år. Gå ut fra at verdien følger en eksponentialfunksjon.

Finn vekstfaktoren $b$ .

Hva er den årlige prosentvise økningen?

Hvor mye er investeringen verdt etter 10 år?

📝Oppgave 6

Prisen på en mobiltelefon faller i verdi. Da den var ny, kostet den 12 990 kr. Etter 2 år er den verdt 7 150 kr.

Finn vekstfaktoren $b$ og den årlige prosentvise nedgangen.

Skriv opp eksponentialfunksjonen $f(x)$ der $x$ er antall år.

Etter hvor mange år er telefonen verdt under 1 000 kr?

📝Oppgave F1

Finn feilen! Nora skal finne verdien av en investering på 50 000 kr etter 4 år med 5 % årlig rente. Hun skriver:

$f(4) = 50\,000 \cdot 0{,}05^4 = 50\,000 \cdot 0{,}00000625 = 0{,}3125 \text{ kr}$

Finn feilen og skriv riktig utregning.

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

En vekstfaktor på $0{,}8$ betyr at noe vokser med $80\,\%$ .

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: I naturen og i samfunnet finnes det mange eksempler på eksponentiell vekst: bakterier som deler seg, renter på en sparekonto, befolkningsvekst og spredning av virus. Men kan noe vokse eksponentielt for alltid? Diskuter hva som skjer på lang sikt, og gi eksempler på faktorer som begrenser eksponentiell vekst i praksis.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Eksponentiell vekst oppstår når en størrelse øker med samme prosentandel hver periode
- Eksponentiell nedgang oppstår når en størrelse minker med samme prosentandel hver periode
- Vekstfaktor: $b = 1 + p/100$ for vekst, $b = 1 - p/100$ for nedgang
- Eksponentialfunksjonen $f(x) = a \cdot b^x$ der $a$ er startverdi og $b$ er vekstfaktor
- $b > 1$ betyr vekst, $0 < b < 1$ betyr nedgang
- Vi kan finne $a$ og $b$ fra opplysninger om to datapunkt

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Vekstfaktor	Tallet vi ganger med for hver periode
Eksponentiell vekst	Vekst der økningen er prosentvis lik per periode ( $b > 1$ )
Eksponentiell nedgang	Nedgang der nedgangen er prosentvis lik per periode ( $0 < b < 1$ )
Startverdi ( $a$ )	Verdien når $x = 0$
Halveringstid	Tiden det tar før størrelsen er halvert
Rentes rente	Rente som blir regnet ut fra kapitalen pluss tidligere opptjent rente

📝Oppgave 7

Folketallet i Tromsø var ca. 77 000 i 2020. De siste årene har folketallet økt med ca. 1,2 % per år. a) Skriv opp en eksponentialfunksjon der $x$ er antall år etter 2020. b) Hva slags folketall gir modellen i 2030? c) I hvilket år passerer folketallet 90 000 ifølge modellen?

📝Oppgave 8

Du har to sparealternativer: Alternativ A gir 3,5 % rente med rentes rente. Alternativ B gir 4 200 kr i rente hvert år (enkel rente). Du setter inn 100 000 kr.

Skriv opp en funksjon for hvert av de to alternativene.

Regn ut verdien av begge alternativene etter 5, 10, 15 og 20 år. Sett opp en tabell.

Etter omtrent hvor mange år blir alternativ A bedre enn alternativ B?

Forklar hvorfor eksponentiell vekst alltid vil slå lineær vekst over lang nok tid.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

9.1 Eksponentiell vekst og nedgang

Eksponentiell vekst og nedgang

Bestemme aaa og bbb i f(x)=a⋅bxf(x) = a \cdot b^xf(x)=a⋅bx

Oppsummering

Nøkkelbegreper

Bestemme $a$ og $b$ i $f(x) = a \cdot b^x$