9.1 Eksponentiell vekst og nedgang

Når veksten sjølv veks

Tenk deg at du legg 1 000 kroner i banken med 5 prosent rente kvart år. Etter eitt år har du 1 050 kroner. Så langt er det lett. Men etter to år har du ikkje 1 100 kroner, slik du kanskje ville tru. Du har 1 102 kroner og 50 øre. Kvifor? Fordi renta det andre året ikkje berre gjeld dei opphavlege 1 000 kronene, men dei 1 050 kronene du no har. Du får rente av renta.

Denne tilsynelatande vesle forskjellen -- to kroner og femti øre ekstra -- kan verke ubetydeleg. Men gje det tid, og effekten blir dramatisk. Over 50 år gjer rentes rente at dei 1 000 kronene dine veks til over 11 400 kroner, medan dei berre hadde blitt til 3 500 kroner med vanleg tillegg på 50 kroner kvart år.

Velkommen til eksponentiell vekst. I dette kapittelet skal du lære kva som skjer når noko endrar seg med same prosentdel kvar periode -- anten det er snakk om pengar i banken, bakteriar i ein petriskål, eller radioaktivt stoff som sakte forsvinn.

Vekstfaktoren -- det magiske talet

Kjernen i eksponentiell endring er noko vi kallar vekstfaktoren. Det er det talet du gongar med for å finne den nye verdien etter éi endring.

Viss noko aukar med $p$ prosent, finn du vekstfaktoren slik:

$$b = 1 + \frac{p}{100}$$

Viss noko minkar med $p$ prosent, blir formelen i staden:

$$b = 1 - \frac{p}{100}$$

La oss sjå på nokre døme. Ein sparekonto med 8 prosent rente gir vekstfaktor $b = 1 + 0{,}08 = 1{,}08$. Ein bil som tapar 15 prosent av verdien kvart år, har vekstfaktor $b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$. Ein by som veks med 2,5 prosent årleg, har vekstfaktor $b = 1{,}025$.

Legg merke til mønsteret: Når vekstfaktoren er over 1, har vi vekst. Når han er mellom 0 og 1, har vi nedgang. Akkurat 1 ville bety ingen endring i det heile.

Tenk deg ein norsk by med 12 000 innbyggjarar der folketalet aukar med 3 prosent kvart år. Vekstfaktoren er $b = 1{,}03$. Etter eitt år har byen $12\,000 \cdot 1{,}03 = 12\,360$ innbyggjarar. Etter to år: $12\,360 \cdot 1{,}03 = 12\,731$. Etter tre år: $12\,731 \cdot 1{,}03 \approx 13\,113$. Men vi kan også skrive dette meir elegant: etter tre år har byen $12\,000 \cdot 1{,}03^3 \approx 13\,113$ innbyggjarar. Eksponenten fortel oss kor mange periodar som har gått.

Eksponentialfunksjonen -- formelen bak det heile

No kan vi setje alt saman i éin formel. Når ein storleik startar på ein verdi $a$ og endrar seg med same prosentdel kvar periode, kan vi beskrive utviklinga med ein eksponentialfunksjon:

$$f(x) = a \cdot b^x$$

Her er $a$ startverdien -- det vi har når $x = 0$. Og $b$ er vekstfaktoren vi nettopp lærte om. Variabelen $x$ er ofte tid, til dømes talet på år, timar eller dagar.

Denne formelen er overraskande kraftig. La oss sjå på nokre heilt ulike situasjonar der ho dukkar opp.

Bakteriar som doblar seg: Ein bakteriekultur startar med 500 bakteriar, og talet doblar seg kvar time. Dobling er 100 prosent auke, altså $b = 2$. Funksjonen blir $f(x) = 500 \cdot 2^x$. Etter 6 timar er det $500 \cdot 2^6 = 500 \cdot 64 = 32\,000$ bakteriar.

Pengar i banken: Du set 10 000 kroner i banken med 4 prosent årleg rente. Funksjonen blir $f(x) = 10\,000 \cdot 1{,}04^x$. Etter 10 år: $f(10) = 10\,000 \cdot 1{,}04^{10} \approx 14\,802$ kroner. Du har tent 4 802 kroner i renter -- heile 802 kroner meir enn du ville fått med enkel rente (som berre gir $10\,000 \cdot 0{,}04 \cdot 10 = 4\,000$ kroner).

Radioaktivt forfall: Jod-131, eit radioaktivt stoff som blir brukt i medisinsk behandling, har ei halveringstid på 8 dagar. Det tyder at halvparten av stoffet bryt ned kvar 8. dag. Startar du med 200 mg, har du $200 \cdot 0{,}5 = 100$ mg etter 8 dagar, $50$ mg etter 16 dagar, og berre $12{,}5$ mg etter 32 dagar. Funksjonen er $f(x) = 200 \cdot 0{,}5^x$, der $x$ er talet på halveringsperiodar.

Detektivarbeid -- finne $a$ og $b$ frå opplysningar

Ofte kjenner du ikkje formelen på førehand, men du har nokre opplysningar om situasjonen. Då må du sjølv finne $a$ og $b$ -- litt som ein matematisk detektiv.

Finne $a$: Viss du veit startverdien (verdien ved $x = 0$), har du $a$ direkte.

Finne $b$: Viss du har to datapunkt, til dømes $f(x_1) = y_1$ og $f(x_2) = y_2$, kan du finne $b$ ved å dele:

$$\frac{y_2}{y_1} = b^{x_2 - x_1}$$

La oss seie at ein forskar måler 1 800 bakteriar etter 2 timar og 14 400 etter 5 timar. Då er $b^3 = 14\,400 / 1\,800 = 8$, altså $b = \sqrt[3]{8} = 2$. Bakteriane doblar seg kvar time! For å finne $a$ brukar vi $f(2) = a \cdot 2^2 = 4a = 1\,800$, som gir $a = 450$. Funksjonen er $f(x) = 450 \cdot 2^x$.

Eit anna døme: Ein investering var verd 50 000 kr ved start og 72 800 kr etter 4 år. Då er $b^4 = 72\,800 / 50\,000 = 1{,}456$, og $b = \sqrt[4]{1{,}456} \approx 1{,}098$. Det svarar til ein årleg auke på $(1{,}098 - 1) \cdot 100 \approx 9{,}8$ prosent. Etter 10 år ville investeringa vore verd $50\,000 \cdot 1{,}098^{10} \approx 127\,550$ kroner.

Det fine med eksponentialfunksjonen er at det same mønsteret dukkar opp overalt -- same om du studerer folketal i Tromsø (77 000 innbyggjarar med 1,2 % vekst per år gir $f(x) = 77\,000 \cdot 1{,}012^x$), verdifallet på ein mobiltelefon, eller veksten av ein sparekonto. Verktøyet er det same.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært at eksponentiell endring oppstår når ein storleik endrar seg med same prosentdel kvar periode. Vekstfaktoren $b$ er nøkkelen: $b = 1 + p/100$ for vekst, $b = 1 - p/100$ for nedgang. Når $b > 1$ har vi eksponentiell vekst, og når $0 < b < 1$ har vi eksponentiell nedgang.

Eksponentialfunksjonen $f(x) = a \cdot b^x$ beskriv denne utviklinga, der $a$ er startverdien og $x$ vanlegvis er tid. Vi kan finne $a$ og $b$ frå opplysningar -- anten direkte frå prosentvis endring, eller ved å bruke to datapunkt og ta røter.

Det viktigaste å hugse er forskjellen mellom lineær og eksponentiell vekst: lineær vekst legg til same beløp kvar gong, medan eksponentiell vekst aukar sjølve auken. Over tid vinn eksponentiell vekst alltid.