9.2 Eksponentialfunksjoner og grafer

Tegne og tolke grafer til eksponentialfunksjoner, asymptote.

55 min

8 oppgaver

EksponentialfunksjonGrafAsymptoteDigitale verktøy

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

9.1Eksponentiell vekst og nedgang

Brukes videre i

9.3Modellering med reelle datasett

Eksponentialfunksjoner og grafer

I forrige kapittel lærte du formelen $f(x) = a \cdot b^x$ og hvordan du kan sette opp eksponentialfunksjoner. Men hvordan ser disse funksjonene egentlig ut når vi tegner dem?

I dette kapittelet skal du:
- Tegne grafer til eksponentialfunksjoner for hånd og med digitale verktøy
- Sammenligne eksponentiell og lineær vekst grafisk
- Forstå hva en horisontal asymptote er
- Undersøke hvordan endringer i $a$ og $b$ påvirker grafen

Slik tegner du grafen til en eksponentialfunksjon

For å tegne grafen til $f(x) = a \cdot b^x$ lager vi en verditabell og plotter punktene.

Steg for steg:
1. Velg noen $x$ -verdier (for eksempel $-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$ )
2. Regn ut $f(x)$ for hver verdi
3. Plott punktene i et koordinatsystem
4. Tegn en glatt kurve gjennom punktene

Viktige egenskaper:
- Grafen går alltid gjennom punktet $(0, a)$ fordi $f(0) = a \cdot b^0 = a$
- Grafen krysser aldri $x$ -aksen (hvis $a > 0$ )
- For vekst ( $b > 1$ ): grafen stiger brattere og brattere mot høyre
- For nedgang ( $0 < b < 1$ ): grafen faller og nærmer seg $x$ -aksen mot høyre

✏️Eksempel: Tegne grafen til $f(x) = 3 \cdot 2^x$

Lag en verditabell for $f(x) = 3 \cdot 2^x$ med $x$ -verdier fra $-2$ til $4$ , og beskriv hvordan grafen ser ut.

Løsning:

$x$	$2^x$	$f(x) = 3 \cdot 2^x$
$-2$	$0{,}25$	$0{,}75$
$-1$	$0{,}5$	$1{,}5$
$0$	$1$	$3$
$1$	$2$	$6$
$2$	$4$	$12$
$3$	$8$	$24$
$4$	$16$	$48$

Observasjoner:
- Grafen starter nær

x

-aksen for negative

x

-verdier
- Den går gjennom

(0, 3)

(startverdien)
- Den stiger brattere og brattere for positive

x

-verdier
- Hver gang

x

øker med 1, blir

f(x)

doblet (fordi

b = 2

)
Svar: Grafen er en stigende kurve som vokser raskere og raskere. Den kommer aldri under

x

-aksen.

📝Oppgave 1

Lag en verditabell for $f(x) = 100 \cdot 0{,}5^x$ med $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ . Tegn grafen.

Fyll inn verditabellen.

Beskriv med ord hvordan grafen ser ut.

Hva skjer med funksjonsverdien når $x$ øker med 1?

Løs oppgaven Tren

Horisontal asymptote

f(x) = a \cdot b^x

✏️Eksempel: Asymptote og avkjøling

En kopp kaffe har temperaturen 90 °C. Romtemperaturen er 20 °C. Avkjølingen kan modelleres med $T(x) = 70 \cdot 0{,}85^x + 20$ , der $x$ er tid i minutter. Hva er den horisontale asymptoten, og hva betyr den?

Løsning:

Vi ser at funksjonen har formen $a \cdot b^x + c$ med $c = 20$ .

Den horisontale asymptoten er $y = 20$ .

Tolkning: Kaffen kommer aldri under romtemperaturen (20 °C). Temperaturen nærmer seg 20 °C over tid, men når aldri helt ned.

La oss sjekke noen verdier:
- $T(0) = 70 \cdot 1 + 20 = 90$ °C (starttemperatur ✓)
- $T(5) = 70 \cdot 0{,}85^5 + 20 \approx 70 \cdot 0{,}444 + 20 \approx 51{,}1$ °C
- $T(10) = 70 \cdot 0{,}85^{10} + 20 \approx 70 \cdot 0{,}197 + 20 \approx 33{,}8$ °C
- $T(20) = 70 \cdot 0{,}85^{20} + 20 \approx 70 \cdot 0{,}039 + 20 \approx 22{,}7$ °C

Kaffen nærmer seg 20 °C, men kommer aldri helt dit.

📝Oppgave 2

Funksjonen $f(x) = 5 \cdot 1{,}5^x$ og funksjonen $g(x) = 80 \cdot 0{,}7^x$ er gitt.

Hva er den horisontale asymptoten for hver funksjon?

For hvilke $x$ -verdier nærmer grafen seg asymptoten?

Hva er den horisontale asymptoten til $h(x) = 50 \cdot 0{,}9^x + 15$ ?

Eksponentiell vs. lineær vekst

Det er viktig å forstå forskjellen mellom lineær og eksponentiell vekst:

Egenskap	Lineær funksjon	Eksponentialfunksjon
Formel	$f(x) = ax + b$	$f(x) = a \cdot b^x$
Endring per periode	Konstant beløp	Konstant prosent
Graf	Rett linje	Kurve
Eksempel	500 kr mer hvert år	5 % mer hvert år

Viktig innsikt: Over lang nok tid vil eksponentiell vekst alltid overgå lineær vekst, uansett hvor bratt den lineære funksjonen er. Det er fordi den prosentvise økningen til slutt gir en større absolutt økning enn det faste tillegget.

✏️Eksempel: Sammenligning av vekstmodeller

To kommuner i Nordland har hver 5 000 innbyggere i dag. Kommune A vokser med 80 personer per år (lineær vekst). Kommune B vokser med 1,5 % per år (eksponentiell vekst). Sammenlign utviklingen de neste 30 årene.

Løsning:

Kommune A (lineær): $f(x) = 80x + 5\,000$

Kommune B (eksponentiell): $g(x) = 5\,000 \cdot 1{,}015^x$

År ( $x$ )	Kommune A	Kommune B
0	5 000	5 000
5	5 400	5 386
10	5 800	5 804
15	6 200	6 254
20	6 600	6 739
25	7 000	7 263
30	7 400	7 828

Observasjoner:
- I starten (de første 5-6 årene) vokser A raskere enn B
- Rundt år 7-8 krysser grafene hverandre
- Etter det vokser B stadig raskere enn A
- Forskjellen øker mer og mer over tid
Svar: Kommune B (eksponentiell vekst) har 428 flere innbyggere enn A etter 30 år, og forskjellen vil bare øke.

📝Oppgave 3

To venner legger hver 20 000 kr i banken. Anna velger en konto med 800 kr i rente hvert år (enkel rente). Bjørn velger en konto med 3,5 % rente med rentes rente.

Skriv opp en funksjon for hver av de to.

Regn ut hvor mye hver har etter 5, 10 og 20 år.

Etter omtrent hvor mange år har Bjørn mer enn Anna?

Transformasjoner av eksponentialfunksjoner

Vi kan endre utseendet til grafen ved å justere parameterne:

Endre $a$ (startverdien):
- Større $a$ → grafen starter høyere opp
- Negativ $a$ → grafen blir speilet om $x$ -aksen

Endre $b$ (vekstfaktoren):
- $b$ nær 1 → sakte endring (flat kurve)
- $b$ langt fra 1 → rask endring (bratt kurve)
- $b = 2$ → dobling per steg
- $b = 0{,}5$ → halvering per steg

Legge til en konstant $c$ : $f(x) = a \cdot b^x + c$
- Flytter grafen opp eller ned
- Endrer asymptoten fra $y = 0$ til $y = c$

Bruk digitale verktøy!
GeoGebra og andre grafverktøy er utmerket for å utforske hvordan endringer i $a$ , $b$ og $c$ påvirker grafen. Du kan lage glidebrytere for parameterne og se hvordan grafen endrer seg i sanntid.

📊Utforsk eksponentialfunksjoner

Bruk glidebrytere for $a$ , $b$ og $c$ til å se hvordan $f(x) = a \cdot b^x + c$ endrer seg.

📝Oppgave 4

Bruk GeoGebra eller et annet digitalt verktøy til å tegne grafene til disse funksjonene i samme koordinatsystem.

Tegn $f(x) = 2^x$ , $g(x) = 3^x$ og $h(x) = 1{,}1^x$ i samme koordinatsystem. Hva skjer når $b$ øker?

Tegn $f(x) = 0{,}5^x$ , $g(x) = 0{,}8^x$ og $h(x) = 0{,}95^x$ . Hva skjer når $b$ nærmer seg 1?

📝Oppgave 5

Under ser du fire grafer. Hver av dem hører til en av funksjonene under. Koble riktig graf til riktig funksjon.

Funksjoner:
1. $f(x) = 2 \cdot 1{,}5^x$
2. $g(x) = 10 \cdot 0{,}6^x$
3. $h(x) = 4 \cdot 0{,}9^x + 3$
4. $k(x) = 0{,}5 \cdot 3^x$

📝Oppgave 6

En gryte med vann er 95 °C. Romtemperaturen er 22 °C. Avkjølingen kan modelleres med $T(x) = 73 \cdot 0{,}92^x + 22$ , der $x$ er tid i minutter.

Hva er den horisontale asymptoten, og hva betyr den i praksis?

Lag en verditabell og tegn grafen for $x = 0, 5, 10, 15, 20, 30$ .

Etter hvor mange minutter er vannet under 30 °C?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Elias skal finne

f(0)

for funksjonen

f(x) = 3 \cdot 2^x

. Han skriver:

$f(0) = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 0 = 0$

«Grafen starter i origo,» konkluderer Elias.

Finn feilen og skriv riktig utregning.

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

Grafen til en eksponentialfunksjon $f(x) = a \cdot b^x$ (der $a > 0$ og $b > 0$ ) krysser alltid $x$ -aksen.

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: En lineær funksjon

g(x) = 100x + 500

og en eksponentialfunksjon

f(x) = 500 \cdot 1{,}1^x

starter begge med verdien 500 når

x = 0

. Sammenlign de to funksjonene. For hvilke verdier av

x

er den ene størst? Hvilken modell ville du valgt for å beskrive lønnsvekst over 30 år, og hvorfor?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Grafer til eksponentialfunksjoner kan tegnes ved hjelp av verditabeller
- Vekst ( $b > 1$ ) gir en stigende kurve som blir brattere og brattere
- Nedgang ( $0 < b < 1$ ) gir en fallende kurve som flater ut
- Horisontal asymptote: linjen grafen nærmer seg men aldri når ( $y = 0$ eller $y = c$ )
- Eksponentiell vs. lineær: Eksponentiell vekst øker prosentvis, lineær vekst øker med fast beløp
- Transformasjoner: $a$ styrer startverdien, $b$ styrer hvor bratt kurven er, $c$ flytter asymptoten

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Horisontal asymptote	Linje grafen nærmer seg men aldri krysser
Lineær vekst	Fast økning per periode (rett linje)
Eksponentiell vekst	Prosentvis økning per periode (kurve)
Verditabell	Tabell med $x$ - og $f(x)$ -verdier for å tegne graf
Transformasjon	Endring av $a$ , $b$ eller $c$ i funksjonsuttrykket

📝Oppgave 7

Grafen til en eksponentialfunksjon $f(x) = a \cdot b^x + c$ går gjennom punktene $(0, 12)$ og $(3, 5{,}375)$ , og har horisontal asymptote $y = 2$ .

Bestem verdien av $c$ .

Bestem verdien av $a$ .

Bestem verdien av $b$ .

Skriv opp funksjonen og bekreft ved å regne ut $f(3)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

En bruktbilforhandler i Bergen har følgende data for en bestemt bilmodell:

Nypris: 420 000 kr. Verdi etter 1 år: 340 000 kr. Verdi etter 3 år: 222 000 kr. Finn vekstfaktoren og skriv opp en eksponentialfunksjon for verdifallet.

Hvor mye er bilen verdt etter 7 år ifølge modellen?

Tegn grafen for $x = 0$ til $x = 10$ og sammenlign med en lineær modell som gir samme verdi etter 1 år.

Drøft hvorfor en eksponentiell modell er mer realistisk for bilverdi enn en lineær modell.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.