9.3 Modellering med reelle datasett

Velge modell, tilpasse til data, vurdere gyldighet.

60 min

8 oppgaver

ModelleringDatasettRegresjonModellvalidering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

9.1Eksponentiell vekst og nedgang 9.2Eksponentialfunksjoner og grafer

Modellering med reelle datasett

Matematisk modellering handler om å bruke matematikk til å forstå virkelige situasjoner. Når du modellerer, oversetter du et praktisk problem til et matematisk uttrykk — en modell — som du kan bruke til å gjøre beregninger, se mønstre og lage prognoser.

I dette kapittelet skal du lære:
- Hvordan du samler inn og organiserer reelle data
- Hvordan du velger mellom lineær og eksponentiell modell
- Hvordan du tilpasser en modell til dataene
- Hvordan du vurderer om modellen er gyldig
- Hvordan du presenterer resultatene dine

Viktig: Ingen modell er perfekt. Modellen er en forenkling av virkeligheten. Det avgjørende er å forstå hva modellen kan fortelle oss, og hvilke begrensninger den har.

Matematisk modell

a

✏️Eksempel: Lineær eller eksponentiell?

Her er data for to ulike situasjoner. Avgjør om hver situasjon passer best til en lineær eller eksponentiell modell.

Situasjon A — Antall abonnenter på en nettavis:

Månad	0	1	2	3	4	5
Abonnenter	200	260	338	439	571	742

Situasjon B — Vannstand i en dam (cm over normal):

Dag	0	1	2	3	4	5
Vannstand	48	40	33	25	18	10

Løsning:

Situasjon A:
La oss sjekke den prosentvise økningen mellom hver måned:
- Månad 0→1: $(260-200)/200 = 30$ %
- Månad 1→2: $(338-260)/260 = 30$ %
- Månad 2→3: $(439-338)/338 \approx 30$ %
- Månad 3→4: $(571-439)/439 \approx 30$ %

Økningen er ca. 30 % hver måned. → Eksponentiell modell med $b = 1{,}30$ .

Modell: $f(x) = 200 \cdot 1{,}30^x$

Situasjon B:
La oss sjekke den absolutte endringen:
- Dag 0→1: $40-48 = -8$ cm
- Dag 1→2: $33-40 = -7$ cm
- Dag 2→3: $25-33 = -8$ cm
- Dag 3→4: $18-25 = -7$ cm

Endringen er ca. $-7{,}5$ cm per dag. → Lineær modell.

Modell: $g(x) = 48 - 7{,}6x$

📝Oppgave 1

Avgjør om hver situasjon best kan modelleres med en lineær eller eksponentiell modell. Begrunn svaret.

En sparekonto med 2,5 % årlig rente.

En taxi som koster 50 kr i startpris pluss 15 kr per km.

En bakteriekultur som dobler seg hver 3. time.

En svømmeklubb som får 12 nye medlemmer hver måned.

📝Oppgave 2

Tabellen viser folketallet i en norsk kommune de siste årene:

År	2018	2019	2020	2021	2022	2023
Folketall	8 200	8 364	8 531	8 702	8 876	9 054

Regn ut den årlige endringen i antall innbyggere og i prosent. Er mønsteret lineært eller eksponentielt?

Sett opp en eksponentiell modell $f(x) = a \cdot b^x$ der $x = 0$ svarer til 2018.

Bruk modellen til å estimere folketallet i 2028.

Hvordan tilpasse en modell til datapunktene

Når du har bestemt at en eksponentiell modell passer, må du finne de rette verdiene av $a$ og $b$ .

Metode 1: Bruke to datapunkt (for hånd)
1. Velg to datapunkt, for eksempel det første og det siste
2. Sett inn i $f(x) = a \cdot b^x$ og løs likningene
3. Sjekk at modellen passer rimelig godt til de andre punktene

Metode 2: Bruke gjennomsnittlig prosentvis endring
1. Regn ut den prosentvise endringen mellom hvert påfølgende par av datapunkt
2. Finn gjennomsnittet av disse prosentene
3. Bruk gjennomsnittet som grunnlag for $b$

Metode 3: Bruke digitale verktøy (regresjon)
GeoGebra og regneark har innebygde funksjoner for å finne den beste eksponentielle modellen (regresjonsanalyse). Skriv inn datapunktene, velg «eksponentiell regresjon», og verktøyet finner $a$ og $b$ automatisk.

Tips: I GeoGebra kan du bruke kommandoen FitExp(liste) for eksponentiell regresjon.

✏️Eksempel: Tilpasse modell til batteridata

Du måler batterinivået på en mobiltelefon hver time:

Tid (timer)	0	1	2	3	4	5	6
Batteri (%)	100	88	78	69	60	53	47

Finn en eksponentiell modell som beskriver batterinedgangen.

Løsning:

Steg 1: Sjekk om eksponentiell modell passer
Prosentvis endring per time:
- $88/100 = 0{,}88$
- $78/88 \approx 0{,}886$
- $69/78 \approx 0{,}885$
- $60/69 \approx 0{,}870$
- $53/60 \approx 0{,}883$
- $47/53 \approx 0{,}887$

Forholdstallet (vekstfaktoren) er omtrent 0,88 hver time. ✓ Eksponentiell modell passer.

Steg 2: Bestem $a$ og $b$
Startverdi: $a = 100$
Gjennomsnittlig vekstfaktor: $b \approx (0{,}88 + 0{,}886 + 0{,}885 + 0{,}870 + 0{,}883 + 0{,}887) / 6 \approx 0{,}882$

Modell: $f(x) = 100 \cdot 0{,}882^x$

Steg 3: Sjekk modellen
- $f(3) = 100 \cdot 0{,}882^3 \approx 68{,}6$ (målt: 69 ✓)
- $f(6) = 100 \cdot 0{,}882^6 \approx 47{,}1$ (målt: 47 ✓)

Svar: $f(x) = 100 \cdot 0{,}882^x$ er en god modell for batterinedgangen. Batteriet faller med ca. 11,8 % per time.

📝Oppgave 3

Du lager en kopp te og måler temperaturen hvert 5. minutt:

Minutt	0	5	10	15	20	25	30
Temperatur (°C)	85	68	55	46	39	34	30

Romtemperaturen er 21 °C.

Forklar hvorfor en modell på formen $T(x) = a \cdot b^x + 21$ er mer realistisk enn $T(x) = a \cdot b^x$ .

Finn $a$ ved å bruke at $T(0) = 85$ .

Bruk datapunktet $T(5) = 68$ til å finne $b$ .

Sjekk modellen mot de andre datapunktene. Hvor godt passer den?

Løs oppgaven Tren

Er modellen god nok?

En modell er aldri perfekt. Den er en forenkling av virkeligheten. Men vi kan vurdere hvor god den er:

Sjekkliste for å vurdere en modell:

1. Passer modellen til dataene?
- Sammenlign modellverdier med de faktiske dataene
- Små avvik er normalt, store avvik tyder på feil modellvalg

2. Gir modellen mening for alle $x$ -verdier?
- Gir modellen mening for $x = 0$ ?
- Hva skjer for svært store eller negative $x$ -verdier?
- Er det realistisk at mønsteret holder fram?

3. Hvilke begrensninger har modellen?
- Kan du stole på prognoser langt inn i framtiden?
- Er det faktorer som modellen ikke tar hensyn til?

4. Er det riktige modelltypen?
- Har du prøvd både lineær og eksponentiell?
- Passer dataene bedre til en annen type modell?

Ekstrapolering vs. interpolering:
- Interpolering = bruke modellen mellom datapunktene (vanligvis trygt)
- Ekstrapolering = bruke modellen utenfor datapunktene (kan være upålitelig)

Forsiktig med ekstrapolering!

Når du bruker en modell til å si noe om framtiden (ekstrapolering), bør du alltid spørre deg:

- Er det realistisk at mønsteret holder fram?
- Hva kan endre seg?
- Hvor langt fram er det trygt å estimere?

Eksempel: En modell som viser at antall brukere av en app vokser eksponentielt, kan ikke holde fram for alltid. Til slutt vil veksten avta (markedet er mettet, konkurrenter dukker opp osv.). En eksponentiell modell er ofte god for korte tidsperioder, men urealistisk for svært lang tid.

✏️Eksempel: Vurdere en smittemodell

Under et sykdomsutbrudd ble det registrert følgende antall smittede per dag:

Dag	1	2	3	4	5	6	7
Nye smittede	10	15	22	34	50	74	112

En elev lager modellen

f(x) = 6{,}7 \cdot 1{,}49^x

. Vurder modellen.

Løsning:

Steg 1: Sjekk tilpasningen

Dag	Faktisk	Modell	Avvik
1	10	$6{,}7 \cdot 1{,}49^1 \approx 10{,}0$	0
2	15	$6{,}7 \cdot 1{,}49^2 \approx 14{,}9$	$-0{,}1$
3	22	$6{,}7 \cdot 1{,}49^3 \approx 22{,}2$	$+0{,}2$
4	34	$6{,}7 \cdot 1{,}49^4 \approx 33{,}0$	$-1{,}0$
5	50	$6{,}7 \cdot 1{,}49^5 \approx 49{,}2$	$-0{,}8$
6	74	$6{,}7 \cdot 1{,}49^6 \approx 73{,}3$	$-0{,}7$
7	112	$6{,}7 \cdot 1{,}49^7 \approx 109{,}2$	$-2{,}8$

Avvikene er relativt små — modellen passer godt til dataene. ✓
Steg 2: Vurder realistiske begrensninger
- Modellen gir

f(14) \approx 1\,783

f(21) \approx 29\,180

smittede per dag
- Med et begrenset folketall (f.eks. 30 000 i en kommune) er dette urealistisk
- I virkeligheten vil smitteveksten avta etter hvert (immunitet, tiltak, færre igjen å smitte)
Konklusjon: Modellen er god for de første dagene av utbruddet, men påliteligheten minker jo lenger fram vi ser. For kortsiktige prognoser (1–3 dager) er den nyttig. For lengre perioder trenger vi en mer avansert modell.

📝Oppgave 4

En elev har laget to modeller for folketallet i en bygd:

- Lineær modell: $f(x) = 2\,400 - 35x$ (der $x = 0$ er 2020)
- Eksponentiell modell: $g(x) = 2\,400 \cdot 0{,}985^x$

Faktiske data:

År	2020	2021	2022	2023	2024
Folketall	2 400	2 362	2 328	2 291	2 254

Regn ut modellverdiene og avvikene for begge modellene.

Hva gir de to modellene for 2030 ( $x = 10$ )?

Hva gir de to modellene for 2060 ( $x = 40$ )? Hvilken modell er mest realistisk på lang sikt?

Slik presenterer du en modelleringsoppgave

Når du løser en modelleringsoppgave, bør du vise tydelig hva du gjør. Her er en god struktur:

1. Beskriv problemet
- Hva vil du undersøke?
- Hvor kommer dataene fra?

2. Vis dataene
- Tabell med målinger
- Plott datapunktene i et koordinatsystem

3. Velg og begrunn modell
- Lineær eller eksponentiell?
- Vis beregningene for den prosentvise/absolutte endringen

4. Bestem modellen
- Finn $a$ og $b$ (og evt. $c$ )
- Skriv opp funksjonsuttrykket

5. Vurder modellen
- Sammenlign modellverdier med faktiske data
- Drøft begrensninger

6. Bruk modellen
- Gjør prognoser eller beregninger
- Svar på det opprinnelige spørsmålet

7. Konklusjon
- Oppsummer funnene dine
- Kommenter usikkerhet og begrensninger

✏️Eksempel: Modellering av pris på brukt elbil

Nybilprisen på en populær elbil i Norge er 450 000 kr. Bruktbilpriser hentet fra finn.no:

Alder (år)	0	1	2	3	4	5
Pris (kr)	450 000	382 000	326 000	278 000	237 000	202 000

Finn en eksponentiell modell og vurder den.

Løsning:

Steg 1: Sjekk om eksponentiell modell passer
Beregnet forholdstallet mellom hvert år:
- $382\,000 / 450\,000 = 0{,}849$
- $326\,000 / 382\,000 = 0{,}853$
- $278\,000 / 326\,000 = 0{,}853$
- $237\,000 / 278\,000 = 0{,}853$
- $202\,000 / 237\,000 = 0{,}852$

Forholdstallet er svært stabilt rundt $0{,}852$ . ✓ Eksponentiell modell passer godt.

Steg 2: Bestem modellen
- $a = 450\,000$
- $b \approx (0{,}849 + 0{,}853 + 0{,}853 + 0{,}853 + 0{,}852) / 5 \approx 0{,}852$

$f(x) = 450\,000 \cdot 0{,}852^x$

Steg 3: Sjekk modellen
- $f(3) = 450\,000 \cdot 0{,}852^3 \approx 450\,000 \cdot 0{,}618 \approx 278\,100$ (faktisk: 278 000 ✓)
- $f(5) = 450\,000 \cdot 0{,}852^5 \approx 450\,000 \cdot 0{,}449 \approx 202\,050$ (faktisk: 202 000 ✓)

Steg 4: Prognosar
- Etter 8 år: $f(8) = 450\,000 \cdot 0{,}852^8 \approx 450\,000 \cdot 0{,}279 \approx 125\,550$ kr
- Etter 10 år: $f(10) = 450\,000 \cdot 0{,}852^{10} \approx 450\,000 \cdot 0{,}203 \approx 91\,350$ kr

Steg 5: Vurdere begrensninger
- Modellen gir aldri $0$ kr, noe som er urealistisk for svært gamle biler (de blir til slutt vraket)
- Elbilteknologi utvikler seg raskt, noe som kan påvirke verdifallet
- Modellen er basert på gjennomsnittlige priser; individuelle biler kan avvike

Svar: Prisen faller med ca. 14,8 % per år. Modellen $f(x) = 450\,000 \cdot 0{,}852^x$ passer godt for de første 5–8 årene, men bør brukes med varsomhet for eldre biler.

📝Oppgave 5

Tabellen viser hvordan antall følgere på en ny Instagram-konto vokser:

Uke	0	1	2	3	4	5	6
Følgere	50	68	92	125	170	231	314

Vis at en eksponentiell modell passer bedre enn en lineær modell.

Finn den eksponentielle modellen.

Hvor mange følgere gir modellen etter 10 uker?

Diskuter: Er det realistisk at denne veksten holder fram i 1 år (52 uker)?

📝Oppgave 6

Du vil undersøke hvordan en kopp kaffe kjøler seg ned. Du måler temperaturen hvert 2. minutt:

Minutt	0	2	4	6	8	10	12	14
°C	82	72	64	57	52	48	44	42

Romtemperaturen er 20 °C.

Trekk fra romtemperaturen fra hver måling og sett opp en ny tabell for «overtemperaturen».

Finn en eksponentiell modell for overtemperaturen.

Skriv opp den fullstendige modellen $T(x) = a \cdot b^x + 20$ .

Etter hvor mange minutter er kaffen under 30 °C?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Sara har målinger av antall bakterier i et eksperiment:

Tid (timer)	0	1	2	3	4
Antall	200	260	338	439	571

Hun ser at antallet øker med ca. 60 for hvert steg i starten, og lager en lineær modell:

f(x) = 200 + 60x

«Etter 10 timer er det $200 + 60 \cdot 10 = 800$ bakterier,» skriver Sara.

Finn feilen og skriv en bedre modell.

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

En matematisk modell gir alltid eksakte svar som stemmer helt med virkeligheten.

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: Du har laget en modell som viser at prisen på en bestemt type elektronikk halveres hvert tredje år. I dag koster produktet 8 000 kr. Ifølge modellen vil det koste ca. 125 kr om 18 år.

a) Er det rimelig å stole på denne modellen så langt frem i tid? Begrunn svaret.

b) Hva er forskjellen på interpolering og ekstrapolering, og hvorfor er det ene tryggere enn det andre?

c) Gi et eksempel på en situasjon der ekstrapolering kan gi direkte farlige eller misvisende resultater.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Matematisk modellering er prosessen med å bruke matematikk til å forstå reelle situasjoner
- Velge modell: Sjekk om endringen er et fast beløp (lineær) eller en fast prosent (eksponentiell)
- Tilpasse modell: Bruk datapunkt, gjennomsnittlig endring, eller digitale verktøy (regresjon)
- Vurdere modell: Sjekk om modellen passer dataene, og drøft begrensninger
- Interpolering (mellom datapunkt) er tryggere enn ekstrapolering (utenfor datapunkt)
- Presentere: Vis data, valg av modell, utregninger, vurdering og konklusjon

Modelleringsprosessen

Steg	Hva gjør du?
1. Samle data	Mål eller finn pålitelige tall
2. Visualisere	Plott datapunktene
3. Velge modell	Lineær eller eksponentiell?
4. Tilpasse	Bestem $a$ , $b$ , evt. $c$
5. Vurdere	Hvor godt passer modellen?
6. Bruke	Gjør prognoser eller beregninger
7. Presentere	Vis og forklar resultatene

📝Oppgave 7

Tabellen viser hvordan prisen på en bestemt type solcellepanel har utviklet seg (pris per watt):

År	2010	2012	2014	2016	2018	2020	2022
Kr/W	28	18	12	8,0	5,2	3,5	2,3

x = 0

svare til 2010 og

x

øke med 1 for hvert 2. år (altså

x = 1

for 2012 osv.).

Vis at en eksponentiell modell er passende.

Finn modellen $f(x) = a \cdot b^x$ .

Hvilken pris gir modellen i 2026 ( $x = 8$ )?

Drøft: Er det realistisk at prisen holder fram med å falle i samme takt? Hvilke faktorer kan endre utviklingen?

📝Oppgave 8

UndersøkelsesoppgaveDenne oppgaven krever at du undersøker kilder utenfor læreboka

Prosjektoppgave: Velg ett av temaene under og gjennomfør en fullstendig modelleringsoppgave. Presenter resultatene med tabell, graf, modell og vurdering.

Tema A: Strømbatteriet — Mål hvor raskt batteriet på mobilen eller et nettbrett tapper seg. Bruk en app eller manuell måling hver halvtime.

Tema B: Befolkningsvekst — Finn folketallsdata for en norsk kommune eller en by fra SSB. Undersøk om utviklingen er lineær eller eksponentiell.

Tema C: Prisutvikling — Finn historiske priser for en vare (f.eks. strøm, bensin, melk) fra SSB og lag en modell.

Tema D: Avkjøling — Mål hvordan temperaturen i en kopp vann endrer seg over tid (bruk termometer).

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.