10.1 Kongruens og kongruenssetningene

Kongruente figurer og kongruenssetningene SSS, SVS, VSV.

55 min

8 oppgaver

KongruensSSSSVSVSVTrekanter

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

10.2Formlike figurer og målestokk

Kongruens og kongruenssetningene

Har du noensinne lagt merke til at to puslespillbrikker passer perfekt oppå hverandre? Eller at to nøkler til samme lås er helt identiske? Da har du allerede møtt begrepet kongruens i hverdagen.

I geometrien handler kongruens om figurer som har nøyaktig samme form og størrelse. Hvis du kan legge den ene figuren oppå den andre slik at de dekker hverandre helt, er de kongruente.

I dette kapittelet skal du lære:
- Hva det betyr at to figurer er kongruente
- De fire kongruenssetningene for trekanter (SSS, SVS, VSV, ASA)
- Hvordan du bruker kongruenssetningene til å bevise at trekanter er kongruente
- Praktiske anvendelser av kongruens

Kongruente figurer

\triangle ABC \cong \triangle DEF

Kongruens handler om geometriske figurer, mens likhet handler om tall og uttrykk. Vi skriver $\cong$ for kongruens og $=$ for likhet.

En kongruent figur kan være speilvendt eller rotert i forhold til den andre. Det viktige er at formen og størrelsen er den samme. Tenk deg at du klipper ut en trekant i papir – uansett hvordan du snur eller vender papirbiten, er trekanten kongruent med den opprinnelige.

✏️Eksempel: Identifisere kongruente figurer

Tenk deg to trekanter: Trekant ABC har sidene $AB = 5$ cm, $BC = 7$ cm og $AC = 6$ cm. Trekant DEF har sidene $DE = 5$ cm, $EF = 7$ cm og $DF = 6$ cm. Er trekantene kongruente? I så fall, angi kongruensen med riktig korrespondanse.

Løsning:

Vi sammenligner sidene:
- $AB = 5$ cm og $DE = 5$ cm $\Rightarrow$ $AB = DE$
- $BC = 7$ cm og $EF = 7$ cm $\Rightarrow$ $BC = EF$
- $AC = 6$ cm og $DF = 6$ cm $\Rightarrow$ $AC = DF$

Alle tre par av korresponderende sider er like lange.

Svar: Ja, trekantene er kongruente: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .

📝Oppgave 1

Tenk deg to trekanter PQR og STU der $PQ = 4$ cm, $QR = 8$ cm, $PR = 6$ cm, $ST = 8$ cm, $TU = 6$ cm og $SU = 4$ cm. Er trekantene kongruente? Hvis ja, skriv kongruensen med riktig korrespondanse mellom hjørnene.

SSS-setningen (side, side, side)

AB = DE

✏️Eksempel: Bruke SSS-setningen

Tenk deg en firkant ABCD der diagonalen BD deler firkanten i to trekanter: $\triangle ABD$ og $\triangle CBD$ . Vi vet at $AB = CB = 5$ cm og $AD = CD = 7$ cm. Vis at $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ .

Løsning:

Vi sammenligner sidene i de to trekantene:

1. $AB = CB = 5$ cm (gitt)
2. $AD = CD = 7$ cm (gitt)
3. $BD = BD$ (felles side)

Alle tre par av korresponderende sider er like, så etter SSS-setningen er

$\triangle ABD \cong \triangle CBD$

Legg merke til at vi brukte at siden $BD$ er felles for begge trekantene. Dette er et vanlig triks i geometriske bevis.

📝Oppgave 2

Tenk deg et rektangel ABCD der $AB = CD = 8$ cm og $BC = AD = 5$ cm. Diagonalen AC deler rektangelet i to trekanter. Bruk SSS-setningen til å vise at $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ .

SVS-setningen (side, vinkel, side)

AB = DE

✏️Eksempel: Bruke SVS-setningen

Tenk deg to trekanter ABC og DEF der $AB = DE = 6$ cm, $\angle A = \angle D = 50°$ og $AC = DF = 9$ cm. Er trekantene kongruente?

Løsning:

Vi sjekker kriteriene for SVS:
1. $AB = DE = 6$ cm (side)
2. $\angle A = \angle D = 50°$ (vinkel mellom sidene)
3. $AC = DF = 9$ cm (side)

Vinkelen $\angle A$ ligger mellom sidene $AB$ og $AC$ , og vinkelen $\angle D$ ligger mellom sidene $DE$ og $DF$ .

Etter SVS-setningen er $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .

📝Oppgave 3

Tenk deg en likebeint trekant ABC der $AB = AC = 10$ cm. Punktet M er midtpunktet på BC. Vis at $\triangle ABM \cong \triangle ACM$ .

VSV-setningen (vinkel, side, vinkel)

\angle A = \angle D

✏️Eksempel: Bruke VSV-setningen

Tenk deg to trekanter ABC og DEF der $\angle A = \angle D = 40°$ , $AB = DE = 7$ cm og $\angle B = \angle E = 65°$ . Vis at trekantene er kongruente og finn den tredje vinkelen.

Løsning:

Vi sjekker kriteriene for VSV:
1. $\angle A = \angle D = 40°$ (vinkel)
2. $AB = DE = 7$ cm (side mellom vinklene)
3. $\angle B = \angle E = 65°$ (vinkel)

Etter VSV-setningen er $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .

Den tredje vinkelen finner vi ved å bruke at vinkelsummen i en trekant er $180°$ :

$\angle C = 180° - 40° - 65° = 75°$

Siden trekantene er kongruente, har vi også $\angle F = 75°$ .

📝Oppgave 4

Tenk deg to trekanter KLM og PQR der $\angle K = \angle P = 55°$ , $KL = PQ = 9$ cm og $\angle L = \angle Q = 70°$ . a) Vis at $\triangle KLM \cong \triangle PQR$ . b) Finn alle vinkler og begrunn hvorfor de korresponderende sidene $LM$ og $QR$ også må være like lange.

Vis at $\triangle KLM \cong \triangle PQR$ .

Finn alle vinkler og begrunn hvorfor $LM = QR$ .

Når du skal vise at to trekanter er kongruente, følg denne fremgangsmåten:

1. Skriv opp hva du vet om sidene og vinklene i begge trekantene.
2. Se etter felles sider – hvis trekantene deler en side, er den felles siden automatisk lik.
3. Se etter toppvinkler – vertikale vinkler (toppvinkler) er alltid like store.
4. Velg setning:
- Kjenner du 3 sider? Bruk SSS.
- Kjenner du 2 sider og vinkelen mellom? Bruk SVS.
- Kjenner du 2 vinkler og siden mellom? Bruk VSV.
- Kjenner du 2 vinkler og en side (ikke mellom)? Bruk AAS.

Husk: SSV (side-side-vinkel) er IKKE en gyldig kongruenssetning med mindre vinkelen ligger overfor den lengste av de to sidene.

✏️Eksempel: Velge riktig kongruenssetning

Tenk deg to trekanter som dannes når to linjestykker AB og CD krysser hverandre i punktet M, slik at M er midtpunktet på begge linjestykkene. Altså er $AM = MB$ og $CM = MD$ . Vis at $\triangle AMC \cong \triangle BMD$ .

Løsning:

Vi identifiserer hva vi vet:
1. $AM = MB$ (M er midtpunktet på AB)
2. $CM = MD$ (M er midtpunktet på CD)
3. $\angle AMC = \angle BMD$ (toppvinkler er like store)

Vi har to sider og vinkelen mellom dem:
- Side: $AM = MB$
- Vinkel: $\angle AMC = \angle BMD$ (mellom sidene)
- Side: $CM = MD$

Etter SVS-setningen er $\triangle AMC \cong \triangle BMD$ .

Merk: Vi brukte at toppvinkler er like store. Når to linjer krysser hverandre, er vinklene rett overfor hverandre (toppvinklene) alltid like store.

📝Oppgave 5

Tenk deg et parallellogram ABCD der AB er parallell med DC og AD er parallell med BC. Diagonalen AC deler parallellogrammet i to trekanter. Vis at $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ . Hvilken kongruenssetning bruker du?

Kongruens er viktig i mange praktiske sammenhenger:

Bygg og konstruksjon: Når du bygger en takstol, lager du to kongruente trekanter for at taket skal bli symmetrisk. Tømrere bruker maler for å sikre at alle delene er kongruente.

Industri: I masseproduksjon må alle delene være kongruente for at de skal passe sammen. Skruer, muttere og maskinkomponenter lages etter nøyaktige mål.

Geometriske konstruksjoner: Når du bruker passer og linjal til å konstruere geometriske figurer, bruker du egentlig kongruenssetningene. For eksempel er SSS-setningen grunnen til at du kan konstruere en trekant når du kjenner alle tre sidene.

📝Oppgave 6

Tenk deg en likebeint trekant ABC der $AB = AC$ . Fra B og C trekkes det linjer vinkelrett ned på de motstående sidene. Linjen fra B treffer AC i punktet D, og linjen fra C treffer AB i punktet E. Vis at $BD = CE$ .

📝Oppgave F1

Finn feilen! Ola har fått oppgitt følgende om to trekanter ABC og DEF:

- $AB = DE = 6$ cm
- $BC = EF = 8$ cm
- $\angle C = \angle F = 50°$

Ola skriver: «Vi har to sider og en vinkel som er like, altså kan vi bruke SVS-setningen. Da er $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .»

Finn feilen og forklar hva som er galt.

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

Hvis to trekanter har tre par like vinkler ( $\angle A = \angle D$ , $\angle B = \angle E$ , $\angle C = \angle F$ ), er de alltid kongruente.

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: Forklar hvorfor SSV (side-side-vinkel) ikke er en gyldig kongruenssetning. Vis med en tegning eller et eksempel at det finnes to trekanter som oppfyller SSV-kravet uten å være kongruente. Drøft også: Finnes det noen spesialtilfeller der SSV likevel gir kongruens?

Oppsummering

Kongruente figurer har nøyaktig samme form og størrelse.

De fire kongruenssetningene for trekanter:

Setning	Krav
SSS	Tre par like sider
SVS	To par like sider og vinkelen mellom dem
VSV	To par like vinkler og siden mellom dem
AAS	To par like vinkler og en side (ikke mellom)

Viktig å huske:
- Rekkefølgen på bokstavene i

\triangle ABC \cong \triangle DEF

viser korrespondansen
- Felles sider og toppvinkler er nyttige i bevis
- SSV er ikke en gyldig kongruenssetning (med unntak)
- Vinkelsummen

180°

kan brukes til å finne den tredje vinkelen

📝Oppgave 7

Avgjør hvilken kongruenssetning som passer i hvert tilfelle, eller om det ikke er nok informasjon:

Trekant ABC og DEF der $AB = DE = 4$ cm, $BC = EF = 6$ cm, $AC = DF = 5$ cm.

Trekant GHI og JKL der $GH = JK = 7$ cm, $\angle G = \angle J = 48°$ og $HI = KL = 5$ cm.

Trekant MNO og PQR der $\angle M = \angle P = 60°$ , $MN = PQ = 10$ cm og $\angle N = \angle Q = 45°$ .

Trekant STU og VWX der $ST = VW = 3$ cm, $\angle T = \angle W = 90°$ og $TU = WX = 4$ cm.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Tenk deg en likesidet trekant ABC der alle sidene er $s$ cm. Punktet P ligger inni trekanten slik at $PA = PB$ . Trekk linjen fra C gjennom P. Denne linjen treffer AB i punktet Q. Vis at $AQ = BQ$ , altså at Q er midtpunktet på AB.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.