10.1 Kongruens og kongruenssetningene

Perfekt like

Har du nokon gong prova to nyklar i same las og funne ut at dei passar perfekt? Eller lagt merke til at to puslespelbrikker dekkjer kvarandre heilt? Dann har du allereie forstått ideen bak kongruens utan å vite det.

I matematikken seier vi at to figurar er kongruente dersom dei har nøyaktig same form og same storleik. Tenk deg at du klipper ut ein trekant i papir. Uansett korleis du snur eller vender papirbiten -- du kan rotere han, spegle han, flytte han -- er trekanten kongruent med den opphavlege. Forma og storleiken er den same.

I dette kapittelet skal du lære kva kongruens betyr presist, korleis du skriv det med matematisk notasjon, og -- viktigast av alt -- korleis du beviser at to trekantar er kongruente utan å måle alt. For det finst snarveiar: fire elegante setningar som gjer jobben mykje enklare.

Kongruente figurar -- same form, same storleik

Når vi skriv $\triangle ABC \cong \triangle DEF$, les vi det som "trekant ABC er kongruent med trekant DEF". Men rekkjefølgja på bokstavane er ikkje tilfeldig! Ho fortel oss kva som svarar til kva:

- $A$ svarar til $D$ (korresponderande hjørne)
- $B$ svarar til $E$
- $C$ svarar til $F$

Det betyr at alle korresponderande sider er like lange: $AB = DE$, $BC = EF$, $AC = DF$. Og alle korresponderande vinklar er like store: $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$.

La oss ta eit doeme. Trekant ABC har sidene $AB = 5$ cm, $BC = 7$ cm og $AC = 6$ cm. Trekant DEF har sidene $DE = 5$ cm, $EF = 7$ cm og $DF = 6$ cm. Sidan $AB = DE$, $BC = EF$ og $AC = DF$, er trekantane kongruente: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

Merk at kongruens ikkje er det same som likskap. Likskap handlar om tal og uttrykk (vi skriv $=$), medan kongruens handlar om geometriske figurar (vi skriv $\cong$). Og ein kongruent figur kan vere spegla eller rotert -- det viktige er at forma og storleiken er identisk.

Dei fire kongruenssetningane -- snarveiar til bevis

A sjekke alle tre sider og alle tre vinklar kvar gong ville vore tungvint. Heldigvis finst det snarveiar. Dei fire kongruenssetningane fortel oss at vi berre treng å kjenne tre rette opplysningar for å fastslaa at to trekantar er kongruente.

SSS -- side, side, side: Dersom alle tre sidene i ein trekant er like lange som alle tre sidene i ein annan trekant, er trekantane kongruente. Tenk deg ein firkant ABCD der diagonalen BD deler han i to trekantar. Viss $AB = CB = 5$ cm og $AD = CD = 7$ cm, og BD er felles side, så har vi tre par like sider: $AB = CB$, $AD = CD$ og $BD = BD$. Etter SSS-setningen er $\triangle ABD \cong \triangle CBD$.

SVS -- side, vinkel, side: Dersom to sider og vinkelen mellom dei er like i begge trekantane, er dei kongruente. Det er viktig at vinkelen ligg mellom dei to sidene (den "inneslutta" vinkelen). Til doemes: Viss $AB = DE = 6$ cm, $\angle A = \angle D = 50°$ og $AC = DF = 9$ cm, der vinklane ligg mellom dei to sidene, gir SVS-setningen at $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

VSV -- vinkel, side, vinkel (ogs kalla ASA): Dersom to vinklar og sida mellom dei er like, er trekantane kongruente. Til doemes: $\angle A = \angle D = 40°$, $AB = DE = 7$ cm og $\angle B = \angle E = 65°$ gir kongruens etter VSV-setningen. Den tredje vinkelen følgjer automatisk sidan vinkelsummen i ein trekant alltid er $180°$: $\angle C = 180° - 40° - 65° = 75°$.

AAS -- vinkel, vinkel, side (ikkje mellom): Dersom to vinklar og ei side som ikkje ligg mellom dei er like, er trekantane også kongruente. Dette følgjer av at den tredje vinkelen er bestemt når du kjenner to vinklar.

Ein viktig advarsel: SSV (side, side, vinkel) er IKKJE ein gyldig kongruenssetning generelt. Viss vinkelen ikkje ligg mellom sidene, kan det finnast to ulike trekantar med same opplysningar.

Korleis byggje eit kongruensbevis

Når du skal vise at to trekantar er kongruente, følgjer du ein fast framgangsmate:

1. Skriv opp kva du veit om sidene og vinklane i begge trekantane.
2. Sjaa etter felles sider -- viss trekantane deler ei side, er den felles sida automatisk lik seg sjølv.
3. Sjaa etter toppvinklar -- når to linjer kryssar kvarandre, er vinklane rett overfor kvarandre (toppvinklane) alltid like store.
4. Vel den kongruenssetningen som passar.

Tenk deg at to linjestykke AB og CD kryssar kvarandre i punktet M, og at M er midtpunktet på begge linjestykkja. Altså er $AM = MB$ og $CM = MD$. Vi vil vise at $\triangle AMC \cong \triangle BMD$.

Vi skriv opp kva vi veit: $AM = MB$ (M er midtpunktet på AB), $CM = MD$ (M er midtpunktet på CD), og $\angle AMC = \angle BMD$ (toppvinklar er like store). Vi har to sider og vinkelen mellom dei -- det er SVS-setningen. Altså er $\triangle AMC \cong \triangle BMD$.

Kongruens har også praktisk nytte. Tomrarar brukar det når dei lagar takstolar med to kongruente trekantar for å fa symmetrisk tak. I industrien må alle delar vere kongruente for å passe saman -- kvar skrue, kvar mutter, kvar komponent. Og når du brukar passar og linjal til å konstruere geometriske figurar, brukar du eigentleg kongruenssetningane. SSS-setningen er grunnen til at du kan konstruere ein trekant når du kjenner alle tre sidene.

Oppsummering

Kongruente figurar har nøyaktig same form og storleik. Når vi skriv $\triangle ABC \cong \triangle DEF$, fortel rekkjefølgja på bokstavane oss kva hjørne, sider og vinklar som svarar til kvarandre.

Dei fire kongruenssetningane for trekantar er: SSS (tre par like sider), SVS (to par like sider og vinkelen mellom), VSV (to par like vinklar og sida mellom) og AAS (to par like vinklar og ei side som ikkje ligg mellom). SSV er generelt ikkje gyldig.

I kongruensbevis er det nyttig å sjaa etter felles sider (same side i begge trekantane) og toppvinklar (alltid like store når to linjer kryssar). Kongruens er viktig både i rein matematikk og i praktiske samanhengar som bygg, industri og konstruksjonar.