Tilbake
10.2
Alle fag for 10. klasse

10.2 Formlike figurer og målestokk

Formlikhet, forstørrelsesfaktor, målestokk i kart og tegninger.

60 min
8 oppgaver
FormlikhetMålestokkForstørrelsesfaktorKart
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 8 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Formlike figurer og målestokk

Tenk deg at du forstørrer et bilde på datamaskinen. Bildet ser likt ut, men det er blitt større. Alle avstander i bildet har økt med den samme faktoren, og alle vinklene er de samme. Dette er et eksempel på formlikhet (også kalt likedannethet).

Mens kongruente figurer har samme form og størrelse, har formlike figurer bare samme form – størrelsen kan være forskjellig.

I dette kapittelet skal du lære:
- Hva formlike figurer er og hva forstørrelsesfaktoren betyr
- Formlikhetskriteriene for trekanter (Å, SSS, SVS)
- Hvordan du finner ukjente sider ved hjelp av formlikhet
- Målestokk i kart, tegninger og modeller

Formlike figurer og forstørrelsesfaktor
To figurer er formlike dersom de har nøyaktig samme form. Det betyr:
- Alle korresponderende vinkler er like store
- Alle korresponderende sider har det samme forholdstallet

Vi skriver △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF og leser det som «trekant ABC er formlik trekant DEF».

Forstørrelsesfaktoren (eller skaleringsfaktoren) kk er forholdstallet mellom korresponderende sider:

k=DEAB=EFBC=DFACk = \frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC}

- Hvis k>1k > 1, er den andre figuren større (forstørring)
- Hvis k<1k < 1, er den andre figuren mindre (forminsking)
- Hvis k=1k = 1, er figurene kongruente

✏️Eksempel: Bestemme forstørrelsesfaktor

Tenk deg to trekanter ABC og DEF der AB=3AB = 3 cm, BC=4BC = 4 cm, AC=5AC = 5 cm, DE=6DE = 6 cm, EF=8EF = 8 cm og DF=10DF = 10 cm. Er trekantene formlike? Hva er forstørrelsesfaktoren?

Løsning:

Vi sjekker om forholdstallene er like:

DEAB=63=2\frac{DE}{AB} = \frac{6}{3} = 2

EFBC=84=2\frac{EF}{BC} = \frac{8}{4} = 2

DFAC=105=2\frac{DF}{AC} = \frac{10}{5} = 2

Alle forholdstallene er like (=2= 2), så trekantene er formlike: △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF.

Forstørrelsesfaktoren er k=2k = 2. Det betyr at △DEF\triangle DEF er dobbelt så stor som △ABC\triangle ABC.

📝Oppgave 1

Tenk deg to trekanter PQR og STU der PQ=5PQ = 5 cm, QR=12QR = 12 cm, PR=13PR = 13 cm, ST=10ST = 10 cm, TU=24TU = 24 cm og SU=26SU = 26 cm. a) Vis at trekantene er formlike. b) Finn forstørrelsesfaktoren. c) Er noen av trekantene rettvinklede?

a

Vis at trekantene er formlike.

b

Finn forstørrelsesfaktoren.

c

Er noen av trekantene rettvinklede?

Løs oppgavenTren
Formlikhetskriterier for trekanter
For å vise at to trekanter er formlike, trenger du ikke sjekke alle sider og vinkler. Det holder å bruke ett av disse kriteriene:

Å-kriteriet (vinkel-vinkel): Dersom to vinkler i den ene trekanten er like store som to vinkler i den andre trekanten, er trekantene formlike. (Den tredje vinkelen er da automatisk lik, siden vinkelsummen er 180°180°.)

SSS-kriteriet (for formlikhet): Dersom alle tre par av korresponderende sider har det samme forholdstallet, er trekantene formlike.

DEAB=EFBC=DFAC=k\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = k

SVS-kriteriet (for formlikhet): Dersom to par av korresponderende sider har det samme forholdstallet og vinkelen mellom dem er lik, er trekantene formlike.

✏️Eksempel: Bruke Å-kriteriet

Tenk deg to trekanter. Trekant ABC har ∠A=35°\angle A = 35° og ∠B=90°\angle B = 90°. Trekant DEF har ∠D=35°\angle D = 35° og ∠F=55°\angle F = 55°. Er trekantene formlike?

Løsning:

Vi finner de manglende vinklene:

I △ABC\triangle ABC: ∠C=180°−35°−90°=55°\angle C = 180° - 35° - 90° = 55°

I △DEF\triangle DEF: ∠E=180°−35°−55°=90°\angle E = 180° - 35° - 55° = 90°

Nå sammenligner vi:
- ∠A=35°=∠D\angle A = 35° = \angle D
- ∠B=90°=∠E\angle B = 90° = \angle E
- ∠C=55°=∠F\angle C = 55° = \angle F

To par av vinkler er like (egentlig alle tre), så etter Å-kriteriet er △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF.

📝Oppgave 2

Avgjør om følgende trekantpar er formlike. Begrunn svaret ditt med riktig kriterium.

a

Trekant ABC med vinkler 50°50°, 60°60°, 70°70° og trekant DEF med vinkler 50°50°, 70°70°, 60°60°.

b

Trekant GHI med sider 33, 44, 66 og trekant JKL med sider 66, 88, 1212.

c

Trekant MNO med vinkler 30°30°, 60°60°, 90°90° og trekant PQR med vinkler 45°45°, 45°45°, 90°90°.

Løs oppgavenTren

En av de viktigste anvendelsene av formlikhet er å finne ukjente sidelengder. Dersom to trekanter er formlike, kan vi sette opp en likning basert på forholdstallene mellom korresponderende sider.

Fremgangsmåte:
1. Vis at trekantene er formlike (bruk Å, SSS eller SVS)
2. Skriv opp forholdstallet mellom kjente korresponderende sider
3. Sett opp en likning med den ukjente siden
4. Løs likningen

✏️Eksempel: Finne ukjent side med formlikhet

Tenk deg en trekant ABC der en linje DE er trukket parallelt med BC. Linjen treffer AB i D og AC i E. Vi vet at AD=4AD = 4 cm, DB=6DB = 6 cm, AE=3AE = 3 cm og at DE er parallell med BC. Finn lengden av EC og BC, gitt at DE=5DE = 5 cm.

Løsning:

Siden DE∥BCDE \parallel BC, er △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC etter Å-kriteriet (vinklene ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC og ∠AED=∠ACB\angle AED = \angle ACB fordi de er samsvarende vinkler ved parallelle linjer).

Forstørrelsesfaktoren:

k=ABAD=AD+DBAD=4+64=104=2,5k = \frac{AB}{AD} = \frac{AD + DB}{AD} = \frac{4 + 6}{4} = \frac{10}{4} = 2{,}5

Vi finner EC:

ACAE=k=2,5\frac{AC}{AE} = k = 2{,}5

AC=AE⋅2,5=3⋅2,5=7,5 cmAC = AE \cdot 2{,}5 = 3 \cdot 2{,}5 = 7{,}5 \text{ cm}

EC=AC−AE=7,5−3=4,5 cmEC = AC - AE = 7{,}5 - 3 = 4{,}5 \text{ cm}

Vi finner BC:

BCDE=k=2,5\frac{BC}{DE} = k = 2{,}5

BC=DE⋅2,5=5⋅2,5=12,5 cmBC = DE \cdot 2{,}5 = 5 \cdot 2{,}5 = 12{,}5 \text{ cm}

Svar: EC=4,5EC = 4{,}5 cm og BC=12,5BC = 12{,}5 cm.

📝Oppgave 3

Tenk deg en trekant ABC der en linje DE er trukket parallelt med BC, slik at D ligger på AB og E ligger på AC. Vi vet at AD=6AD = 6 cm, DB=9DB = 9 cm og DE=8DE = 8 cm. Finn lengden av BC.

En klassisk anvendelse av formlikhet er å måle høyden av ting som er for høye til å måle direkte – som trær, bygninger og flaggstenger. Vi kan bruke skygger eller speil til å danne formlike trekanter.

Skygge-metoden: Når sola skinner, kaster alle gjenstander skygge. Solstrålene er tilnærmet parallelle, så en person og et tre danner to formlike trekanter med bakken og solstrålene.

Speil-metoden: Legg et speil på bakken. Gå bakover til du ser toppen av gjenstanden i speilet. Lysrefleksjonen danner to formlike trekanter.

✏️Eksempel: Måle høyden av et tre

Du vil finne høyden av et tre. Du er 1,701{,}70 m høy, og skyggen din er 2,002{,}00 m lang. Treets skygge er 14,0014{,}00 m lang. Hvor høyt er treet?

Løsning:

Solstrålene er tilnærmet parallelle. Du og treet danner to rettvinklede trekanter med bakken:

- Din trekant: Høyde =1,70= 1{,}70 m, skygge =2,00= 2{,}00 m
- Treets trekant: Høyde =h= h, skygge =14,00= 14{,}00 m

De to trekantene er formlike (Å-kriteriet: begge har en rett vinkel mot bakken og samme vinkel fra solstrålene).

Vi setter opp forholdstallet:

h1,70=14,002,00\frac{h}{1{,}70} = \frac{14{,}00}{2{,}00}

h=1,70⋅14,002,00=1,70⋅7=11,9 mh = 1{,}70 \cdot \frac{14{,}00}{2{,}00} = 1{,}70 \cdot 7 = 11{,}9 \text{ m}

Svar: Treet er 11,911{,}9 m høyt.

📝Oppgave 4

Du legger et speil på bakken 8,08{,}0 m fra foten av en bygning. Du går bakover fra speilet og ser toppen av bygningen i speilet når du er 2,02{,}0 m fra speilet. Øynene dine er 1,651{,}65 m over bakken. Finn høyden av bygningen.

Målestokk
Målestokk er forholdet mellom en avstand på et kart, en tegning eller en modell og den virkelige avstanden.

Ma˚lestokk=avstand pa˚ kart/tegningvirkelig avstand\text{Målestokk} = \frac{\text{avstand på kart/tegning}}{\text{virkelig avstand}}

Målestokk skrives som et forholdstall, for eksempel:

- 1:1001 : 100 betyr at 1 cm på tegningen tilsvarer 100 cm (=1= 1 m) i virkeligheten
- 1:50 0001 : 50\,000 betyr at 1 cm på kartet tilsvarer 50 000 cm (=500= 500 m) i virkeligheten
- 1:1 000 0001 : 1\,000\,000 betyr at 1 cm på kartet tilsvarer 10 km i virkeligheten

For å finne virkelig avstand: virkelig avstand=kartavstand⋅nevneren i ma˚lestokken\text{virkelig avstand} = \text{kartavstand} \cdot \text{nevneren i målestokken}

For å finne kartavstand: kartavstand=virkelig avstandnevneren i ma˚lestokken\displaystyle \text{kartavstand} = \frac{\text{virkelig avstand}}{\text{nevneren i målestokken}}

✏️Eksempel: Bruke målestokk

På et kart med målestokk 1:50 0001 : 50\,000 måler du at avstanden mellom to byer er 7,47{,}4 cm. Hva er den virkelige avstanden?

Løsning:

Målestokk 1:50 0001 : 50\,000 betyr at 1 cm på kartet tilsvarer 50 000 cm i virkeligheten.

Virkelig avstand=7,4⋅50 000=370 000 cm\text{Virkelig avstand} = 7{,}4 \cdot 50\,000 = 370\,000 \text{ cm}

Vi gjør om til kilometer:

370 000 cm=3 700 m=3,7 km370\,000 \text{ cm} = 3\,700 \text{ m} = 3{,}7 \text{ km}

Svar: Den virkelige avstanden er 3,73{,}7 km.

📝Oppgave 5

Et turkart har målestokk 1:25 0001 : 25\,000.

a

Du måler 1212 cm på kartet mellom hytta og vannet. Hva er den virkelige avstanden i meter?

b

Den virkelige avstanden fra hytta til toppen er 1,51{,}5 km. Hvor lang er denne avstanden på kartet?

c

Et rektangulært tjern er 4,04{,}0 cm langt og 1,61{,}6 cm bredt på kartet. Finn det virkelige arealet av tjernet i kvadratmeter.

Løs oppgavenTren

Arkitekter bruker målestokk for å tegne bygninger i en håndterbar størrelse. Vanlige målestokker i arkitekturtegninger er:

- 1:1001 : 100 – Plantegninger (1 cm = 1 m)
- 1:501 : 50 – Detaljerte plantegninger (1 cm = 0,5 m)
- 1:201 : 20 – Snitt og detaljer (1 cm = 20 cm)
- 1:5001 : 500 – Situasjonsplan/utomhusplan

Modellbyggere bruker også målestokk. En modell i 1:871 : 87 (H0-skala for modelltog) betyr at en virkelig bygning på 10 m blir 10/87≈0,11510 / 87 \approx 0{,}115 m ≈11,5\approx 11{,}5 cm i modellen.

✏️Eksempel: Plantegning med målestokk

En plantegning av en leilighet har målestokk 1:1001 : 100. Stuen er tegnet som et rektangel som er 4,54{,}5 cm bredt og 6,06{,}0 cm langt. Hva er det virkelige arealet av stuen?

Løsning:

Målestokk 1:1001 : 100 betyr at 1 cm på tegningen er 100 cm (=1= 1 m) i virkeligheten.

Virkelig bredde: 4,5⋅100=4504{,}5 \cdot 100 = 450 cm =4,5= 4{,}5 m

Virkelig lengde: 6,0⋅100=6006{,}0 \cdot 100 = 600 cm =6,0= 6{,}0 m

Virkelig areal:

A=4,5⋅6,0=27,0 m2A = 4{,}5 \cdot 6{,}0 = 27{,}0 \text{ m}^2

Svar: Stuen er 27,027{,}0 m2^2.

Merk: Arealforholdet er k2=1002=10 000k^2 = 100^2 = 10\,000. Areal på tegning: 4,5⋅6,0=27,04{,}5 \cdot 6{,}0 = 27{,}0 cm2^2. Virkelig areal: 27,0⋅10 000=270 00027{,}0 \cdot 10\,000 = 270\,000 cm2^2 =27,0= 27{,}0 m2^2. Samme svar!

📝Oppgave 6

En arkitekt har tegnet en plantegning av et hus i målestokk 1:501 : 50. a) Soverommet er tegnet som et rektangel på 6,06{,}0 cm ×\times 8,08{,}0 cm. Finn de virkelige målene og arealet. b) Inngangsdøren er 1,81{,}8 cm bred på tegningen. Hvor bred er den i virkeligheten? c) Et kvadratisk vindu har et areal på 1,441{,}44 cm2^2 på tegningen. Hva er det virkelige arealet i cm2^2?

a

Finn de virkelige målene og arealet av soverommet.

b

Hvor bred er inngangsdøren i virkeligheten?

c

Hva er det virkelige arealet av vinduet?

Løs oppgavenTren
Areal og volum ved formlikhet
Når to figurer er formlike med forstørrelsesfaktor kk, gjelder:

Lengder: Alle lengder ganges med kk

ny lengde=k⋅opprinnelig lengde\text{ny lengde} = k \cdot \text{opprinnelig lengde}

Areal: Arealet ganges med k2k^2

nytt areal=k2⋅opprinnelig areal\text{nytt areal} = k^2 \cdot \text{opprinnelig areal}

Volum: Volumet ganges med k3k^3

nytt volum=k3⋅opprinnelig volum\text{nytt volum} = k^3 \cdot \text{opprinnelig volum}

Eksempel: Hvis en modell er i målestokk 1:101:10 (k=10k = 10), er det virkelige arealet 102=10010^2 = 100 ganger større, og det virkelige volumet er 103=1 00010^3 = 1\,000 ganger større.

✏️Eksempel: Areal og volum ved skalering

En skulptur er 30 cm høy og har et volum på 2 7002\,700 cm3^3. En formlik kopi skal være 50 cm høy. Finn volumet av kopien.

Løsning:

Forstørrelsesfaktoren:

k=5030=53k = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}

Volumet ganges med k3k^3:

Vkopi=k3⋅Voriginal=(53)3⋅2 700V_{\text{kopi}} = k^3 \cdot V_{\text{original}} = \left(\frac{5}{3}\right)^3 \cdot 2\,700

=12527⋅2 700=125⋅100=12 500 cm3= \frac{125}{27} \cdot 2\,700 = 125 \cdot 100 = 12\,500 \text{ cm}^3

Svar: Volumet av kopien er 12 50012\,500 cm3^3.

📝Oppgave 7

To formlike sylindere har høydene h1=12h_1 = 12 cm og h2=18h_2 = 18 cm. Den minste sylinderen har grunnflate A1=28,3A_1 = 28{,}3 cm2^2 og volum V1=339,6V_1 = 339{,}6 cm3^3. Finn grunnflaten og volumet av den største sylinderen.

📝Oppgave F1
Finn feilen! Lisa har tegnet et rektangel som er 4 cm langt og 3 cm bredt på en tegning med målestokk 1:501:50. Hun skal finne arealet av rektangelet i virkeligheten og regner slik:

«Målestokken er 1:501:50, så alle lengder i virkeligheten er 5050 ganger større. Arealet på tegningen er 4⋅3=124 \cdot 3 = 12 cm2^2. Arealet i virkeligheten er 12⋅50=60012 \cdot 50 = 600 cm2^2.»

Finn feilen og regn ut riktig areal.

📝Oppgave S1
Sant eller usant?

Hvis målestokken på et kart er 1:1001:100, er arealet i virkeligheten 100100 ganger større enn på kartet.

📝Oppgave D1
Drøftingsoppgave: Den greske matematikeren Thales skal ha brukt formlike trekanter til å måle høyden av en pyramide ved hjelp av skyggen. Han målte sin egen skygge og pyramidens skygge samtidig, og brukte formlikhet til å regne ut høyden.

a) Forklar hvorfor Thales' metode fungerer — hvilke forutsetninger må være oppfylt?

b) En person som er 1,701{,}70 m høy kaster en skygge som er 2,402{,}40 m lang. Samtidig kaster et tre en skygge som er 8,008{,}00 m lang. Finn høyden av treet.

c) Drøft: Hvilke feilkilder kan påvirke nøyaktigheten av denne metoden?

Oppsummering

Formlike figurer har samme form, men kan ha ulik størrelse. Alle korresponderende vinkler er like store, og alle korresponderende sider har det samme forholdstallet.

KriteriumKrav
ÅTo par like vinkler
SSS (formlikhet)Alle sidepar har likt forholdstall
SVS (formlikhet)To sidepar har likt forholdstall og vinkelen mellom er lik

Forstørrelsesfaktor kk:
- Lengder: ganges med kk
- Areal: ganges med k2k^2
- Volum: ganges med k3k^3

Målestokk 1:n1 : n betyr at 1 enhet på tegningen tilsvarer nn enheter i virkeligheten.
Praktiske anvendelser:
- Høydemåling med skygger eller speil
- Kartlesing og avstandsberegning

- Arkitekttegninger og modellbygging

📝Oppgave 8

En kommune skal bygge en ny park. Arkitekten har tegnet parken i målestokk 1:2001 : 200. Parken har form som en trekant med sider 15,015{,}0 cm, 20,020{,}0 cm og 25,025{,}0 cm på tegningen. I parken er det et sirkelformet fontene som har diameter 3,03{,}0 cm på tegningen.

a

Finn de virkelige sidelengdene av parken i meter.

b

Vis at parken er rettvinklet og finn arealet.

c

Finn den virkelige diameteren og arealet av fontenen.

d

Hvor stor prosentandel av parkens areal dekker fontenen?

Løs oppgavenTren
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.