10.2 Formlike figurer og målestokk

Same form, ulik storleik

Tenk deg at du forstørrar eit bilete på datamaskinen. Det ser likt ut -- same motiv, same proposjonar -- men det er blitt større. Alle avstandar i biletet har aukt med same faktor, og alle vinklane er dei same. Dette er formlikskap i praksis.

Medan kongruens krev at figurane har same form og same storleik, krev formlikskap berre at dei har same form. Storleiken kan vere ulik. Du kan tenke på det slik: kongruens er eit spesialtilfelle av formlikskap -- der forstørrelsesfaktoren er nøyaktig 1.

I dette kapittelet skal vi utforske formlike figurar, lære korleis du finn ukjende sider, måle høgda på tre ved hjelp av skyggar, og forstå korleis målestokk fungerer i kart og arkitektteiningar.

Formlike figurar og forstørrelsesfaktoren

To figurar er formlike dersom dei har nøyaktig same form. Det betyr to ting: alle korresponderande vinklar er like store, og alle korresponderande sider har det same forholdstalt.

Vi skriv $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ og les det som "trekant ABC er formlik trekant DEF". Forstoerrelsesfaktoren (eller skaleringsfaktoren) $k$ er forholdstalt mellom korresponderande sider:

$$k = \frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC}$$

Viss $k > 1$, er den andre figuren større (forstørring). Viss $k < 1$, er den andre figuren mindre (forminsking). Og viss $k = 1$, er figurane kongruente.

La oss ta eit doeme. Trekant ABC har sidene 3, 4 og 5 cm. Trekant DEF har sidene 6, 8 og 10 cm. Vi sjekkar: $6/3 = 2$, $8/4 = 2$, $10/5 = 2$. Alle forholdstall er like ($= 2$), så trekantane er formlike med forstørrelsesfaktor $k = 2$. Trekant DEF er dobbelt så stor som ABC.

Forresten -- begge desse trekantane er rettvinkla! $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ (Pytagoras). Og $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$. Alle rettvinkla trekantar med same vinkelforhold er formlike.

Formlikheitskriteria -- snarveiar til formlikskap

Akkurat som for kongruens finst det snarveiar for formlikskap. Du treng ikkje sjekke alle sider og vinklar kvar gong.

Å-kriteriet (vinkel-vinkel): Dersom to vinklar i den eine trekanten er like store som to vinklar i den andre, er trekantane formlike. (Den tredje vinkelen er automatisk lik, sidan vinkelsummen er $180°$.) Dette er det enklaste kriteriet og det mest brukte.

SSS-kriteriet (for formlikskap): Dersom alle tre par av korresponderande sider har det same forholdstalt, er trekantane formlike.

SVS-kriteriet (for formlikskap): Dersom to par av korresponderande sider har det same forholdstalt og vinkelen mellom dei er lik, er trekantane formlike.

Ikkje forveksle desse med kongruenssetningane! For kongruens krev vi at sidene er like lange. For formlikskap krev vi at sidene har same forholdstall. Og for formlikskap treng vi berre to like vinklar (Å), medan kongruens alltid krev informasjon om minst ei side.

Her er eit doeme med Å-kriteriet: Trekant ABC har $\angle A = 35°$ og $\angle B = 90°$, så $\angle C = 55°$. Trekant DEF har $\angle D = 35°$ og $\angle F = 55°$, så $\angle E = 90°$. To par vinklar er like ($35°$ og $90°$), så etter Å-kriteriet er $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Ein viktig bruksområde er å finne ukjende sider. Viss $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ med $AD = 4$ cm, $DB = 6$ cm og $DE = 5$ cm (der DE er parallell med BC), finn vi forstørrelsesfaktoren $k = AB/AD = (4+6)/4 = 2{,}5$. Dermed er $BC = DE \cdot k = 5 \cdot 2{,}5 = 12{,}5$ cm.

Skyggar, spegel og høgdemåling

Ein av dei mest elegante bruksområda for formlikskap er å måle høgda på ting som er for høge til å måle direkte -- som tre, bygningar og flaggstenger.

Skygge-metoden: Når sola skin, kastar alle gjenstandar skygge. Solstralane er tilnærma parallelle, så du og eit tre dannar to formlike rettvinkla trekantar med bakken. Du er 1,70 m høg og skyggen din er 2,00 m lang. Treets skygge er 14,00 m lang. Vi set opp forholdstalt:

$$\frac{h}{1{,}70} = \frac{14{,}00}{2{,}00}$$

$$h = 1{,}70 \cdot 7 = 11{,}9 \text{ m}$$

Treet er 11,9 meter høgt! Vi brukte Å-kriteriet: begge trekantane har ein rett vinkel mot bakken og same vinkel fra solstralane.

Spegel-metoden: Legg eit spegel på bakken 8,0 m fra foten av ein bygning. Gå bakover til du ser toppen av bygningen i spegelen -- du står 2,0 m fra spegelen og augene dine er 1,65 m over bakken. Lysrefleksjonen dannar to formlike trekantar. Forstoerrelsesfaktoren er $8{,}0/2{,}0 = 4$, så $h = 1{,}65 \cdot 4 = 6{,}6$ m.

Desse metodane er ikkje berre teori. Dei har blitt brukte i tusenvis av ar. Den greske matematikaren Thales brukte skygge-metoden til å måle høgda på pyramidane i Egypt for over 2 500 ar sidan!

Målestokk -- når verda krympar

Målestokk er forholdet mellom ein avstand på eit kart, ei teikning eller ein modell og den verkelege avstanden. Målestokk $1 : 50\,000$ betyr at 1 cm på kartet tilsvarar 50 000 cm -- altså 500 meter -- i verkelegheita.

For å finne verkeleg avstand gongar du kartavstanden med nevnaren i malestokken. På eit kart med $1 : 50\,000$ tilsvarar 7,4 cm kartavstand $7{,}4 \cdot 50\,000 = 370\,000$ cm $= 3{,}7$ km.

For å finne kartavstand deler du den verkelege avstanden på nevnaren. Viss den verkelege avstanden er 1,5 km $= 150\,000$ cm på eit kart med $1 : 25\,000$, blir kartavstanden $150\,000 / 25\,000 = 6{,}0$ cm.

Arkitektar brukar målestokk dagleg. I målestokk $1 : 100$ er 1 cm på teikninga 1 meter i verkelegheita. Viss stova er teikna som 4,5 cm gonger 6,0 cm, er ho i verkelegheita 4,5 m gonger 6,0 m -- eit areal på 27,0 kvadratmeter.

Men her kjem noko viktig: areal skalerer med $k^2$, og volum med $k^3$. Viss forstørrelsesfaktoren er $k$, blir alle lengder gonga med $k$, alle areal gonga med $k^2$ og alle volum gonga med $k^3$. Ein modell i målestokk $1:10$ har verkeleg areal som er $10^2 = 100$ gonger større, og verkeleg volum som er $10^3 = 1\,000$ gonger større.

Til doemes: Ei skulptur er 30 cm høg med volum 2 700 cm$^3$. Ein formlik kopi er 50 cm høg. Forstoerrelsesfaktoren er $k = 50/30 = 5/3$. Volumet av kopien er $(5/3)^3 \cdot 2\,700 = (125/27) \cdot 2\,700 = 12\,500$ cm$^3$.

Oppsummering

Formlike figurar har same form men kan ha ulik storleik. Alle korresponderande vinklar er like store, og alle korresponderande sider har same forholdstall -- forstørrelsesfaktoren $k$.

Formlikheitskriteria for trekantar er: Å (to par like vinklar), SSS (alle sidepar har same forholdstall) og SVS (to sidepar med same forholdstall og lik vinkel mellom). Av desse er Å-kriteriet det mest brukte.

Formlikskap har mange praktiske bruksområde. Skyggemetoden og spegelmetoden let oss måle høgder indirekte. Målestokk brukar vi i kart ($1 : 50\,000$), arkitektteiningar ($1 : 100$) og modellar. Og hugs den viktige regelen for skalering: lengder skalerer med $k$, areal med $k^2$ og volum med $k^3$.