9.3 Modellering med reelle datasett

Frå tal til forståing

Matematisk modellering er kunsten å bruke matematikk til å forstå verkelege situasjonar. Du har sikkert lagt merke til at mobilbatteriet ditt tappar seg raskare i starten enn mot slutten, eller at prisar på ny teknologi fell dramatisk dei første åra. Bak desse mønstra ligg det matematiske funksjonar som vi kan oppdage, beskrive og bruke.

I dette kapittelet skal du lære heile prosessen: samle inn data, velge rett modell, tilpasse parametrane, sjekke om modellen stemmer, og -- like viktig -- vurdere kvar modellen sviktar. For ingen modell er perfekt. Han er ei forenkling av verkelegheita, og det avgjerande er å forstå kva han kan fortelje oss og kva han ikkje kan.

Lineær eller eksponentiell? Slik vel du

Det første spørsmålet du alltid må stille deg er: Er endringa omtrent lik i kroner eller einingar frå periode til periode, eller er ho omtrent lik i prosent?

Viss ein taxi kostar 50 kroner i startpris pluss 15 kroner per kilometer, er det ein lineær samanheng -- prisen aukar med eit fast beløp for kvar kilometer. Viss ein sparekonto veks med 2,5 prosent kvart år, er det eksponentiell -- auken er prosentvis.

La oss sjå på to konkrete datasett. Ei nettavis har 200 abonnentar ved start, og talet veks til 260, 338, 439, 571 og 742 dei neste fem månadene. Sjekkar vi prosentvis auke: $(260-200)/200 = 30$ prosent, $(338-260)/260 = 30$ prosent, heile vegen omtrent 30 prosent. Konstant prosentauke! Her passar ein eksponentiell modell: $f(x) = 200 \cdot 1{,}30^x$.

Ei anna undersøking viser vatnstanden i ein dam: 48, 40, 33, 25, 18, 10 cm over normalt nivå. Absolutt endring: $-8$, $-7$, $-8$, $-7$, $-8$. Endringa er omtrent like mange centimeter kvar dag. Her passar ein lineær modell: $g(x) = 48 - 7{,}6x$.

Modelleringsprosessen har sju steg: (1) samle inn data, (2) visualisere datapunkta, (3) velje modell basert på mønsteret, (4) tilpasse parametrane $a$ og $b$, (5) vurdere kor godt modellen passar, (6) bruke modellen til prognosar, og (7) presentere resultata tydeleg.

Tilpasse modellen -- frå data til formel

Når du har bestemt at ein eksponentiell modell passar, treng du dei rette verdiane av $a$ og $b$.

La oss sjå på eit praktisk døme: Du måler batterinivået på mobilen kvar time og får 100, 88, 78, 69, 60, 53 og 47 prosent. Fyrst sjekkar vi forholdstalet mellom kvar måling: $88/100 = 0{,}88$, $78/88 \approx 0{,}886$, $69/78 \approx 0{,}885$, $60/69 \approx 0{,}870$, $53/60 \approx 0{,}883$, $47/53 \approx 0{,}887$. Forholdstalet ligg stabilt rundt $0{,}88$ -- eksponentiell modell passar!

Startverdien er $a = 100$ (fullt batteri). Gjennomsnittleg vekstfaktor er $b \approx 0{,}882$. Modellen blir $f(x) = 100 \cdot 0{,}882^x$. Vi sjekkar: $f(3) = 100 \cdot 0{,}882^3 \approx 68{,}6$ (faktisk: 69), og $f(6) \approx 47{,}1$ (faktisk: 47). Modellen treff godt!

Somme gonger må vi ta omsyn til ein asymptote. Når du lagar te med starttemperatur 85 grader i eit rom på 21 grader, kan ikkje teen bli kaldare enn 21 grader. Difor brukar vi $T(x) = a \cdot b^x + 21$. Sidan $T(0) = a + 21 = 85$, er $a = 64$. Viss $T(5) = 68$, har vi $64 \cdot b^5 = 47$, altså $b^5 = 47/64 \approx 0{,}734$ og $b \approx 0{,}940$. Modellen $T(x) = 64 \cdot 0{,}94^x + 21$ treff dataa godt: $T(10) \approx 55{,}5$ (målt: 55) og $T(20) \approx 39{,}6$ (målt: 39).

Du kan også bruke digitale verktøy som GeoGebra (med kommandoen FitExp) eller rekneark for å finne den beste tilpassinga automatisk -- det kallast regresjonsanalyse.

Når modellen sviktar -- avgrensingar og ekstrapolering

Ein modell er aldri perfekt -- han er ei forenkling. Det avgjerande er å vite kvar grensene går.

Under eit sjukdomsutbrot registrerte ein forskar 10, 15, 22, 34, 50, 74 og 112 nye smitta per dag. Modellen $f(x) = 6{,}7 \cdot 1{,}49^x$ treff dataa godt -- avvika er små. Men kva skjer viss vi brukar modellen vidare? Etter 14 dagar gir han 1 783 smitta per dag. Etter 21 dagar: 29 180. I ein kommune med 30 000 innbyggjarar er det openbart urealistisk. I røynda vil smitteveksten avta fordi folk blir immune, tiltak blir sett i verk, og det er færre att å smitte.

Vi skil mellom interpolering og ekstrapolering. Interpolering er å bruke modellen mellom kjende datapunkt -- det er vanlegvis trygt. Ekstrapolering er å bruke modellen utanfor datapunkta -- lenger fram i tid enn vi har data for -- og det kan vere upåliteleg.

Eit anna døme: Ein elev har laga to modellar for folketalet i ei bygd -- ein lineær ($f(x) = 2\,400 - 35x$) og ein eksponentiell ($g(x) = 2\,400 \cdot 0{,}985^x$). For dei neste 10 åra gir begge omtrent same resultat. Men for 2060 gir den lineære modellen til slutt negativt folketal -- openbart urealistisk! Den eksponentielle modellen gir aldri null folketal, og er difor meir realistisk på lang sikt.

Prisen på solcellepanel har falle med omtrent 34 prosent kvart andre år sidan 2010. Modellen $f(x) = 28 \cdot 0{,}66^x$ beskriv dette godt. Men kan prisane halde fram med å falle i same takt for alltid? Nei. Til slutt nærmar prisen seg produksjonskostnaden -- det finst ein nedre grense for materialkostnad og arbeid. Modellen er god for dei åra vi har data for, men pålitelegheita minkar jo lenger fram vi ser.

Oppsummering

Matematisk modellering er prosessen med å bruke matematikk til å forstå reelle situasjonar. Du startar med å samle inn data, deretter visualiserer du dei og vel mellom lineær modell (konstant beløpsendring) og eksponentiell modell (konstant prosentendring).

For å tilpasse ein eksponentiell modell $f(x) = a \cdot b^x$ finn du startverdien $a$ og vekstfaktoren $b$ -- anten frå to datapunkt, ved gjennomsnittleg prosentvis endring, eller ved hjelp av digitale verktøy (regresjon). Somme gonger treng du modellen $f(x) = a \cdot b^x + c$ for å ta omsyn til ein asymptote.

Det viktigaste er å vurdere modellen kritisk. Sjekk om han treff dataa. Drøft avgrensingar. Hugs at interpolering (mellom datapunkt) er tryggare enn ekstrapolering (utanfor datapunkt). Ingen modell held for alltid -- men ein god modell gjev oss verdifull innsikt for dei periodane han gjeld.