1.3 Faktorisering og forenkling | Matematikk 10. klasse

Faktorisering er prosessen med å skrive et uttrykk som et produkt av faktorer. Dette er en viktig ferdighet for å løse likninger og forenkle algebraiske brøker.

Faktorisering

ab + ac = a(b + c)

✏️Eksempel 1: Faktorisere med felles faktor

Faktoriser:
a) $6x + 9$
b) $4x^2 - 8x$
c) $15x^2y + 10xy^2$

a) $6x + 9 = 3(2x + 3)$

b) $4x^2 - 8x = 4x(x - 2)$

c) $15x^2y + 10xy^2 = 5xy(3x + 2y)$

📝Oppgave 1.3.1

Faktoriser uttrykkene.

Faktoriser $8x + 12$

Faktoriser $6x^2 - 15x$

Faktoriser $12ab + 18a^2$

Faktoriser $20x^3 - 8x^2 + 4x$

Løs oppgaven

✏️Eksempel 2: Faktorisere med kvadratsetningene

Faktoriser:
a) $x^2 + 6x + 9$
b) $x^2 - 10x + 25$
c) $x^2 - 16$

a) $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ (første kvadratsetning)

b) $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$ (andre kvadratsetning)

c) $x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$ (konjugatsetningen)

📝Oppgave 1.3.2

Faktoriser ved hjelp av kvadratsetningene.

Faktoriser $x^2 + 8x + 16$

Faktoriser $x^2 - 14x + 49$

Faktoriser $x^2 - 81$

Faktoriser $4x^2 - 25$

Løs oppgaven

✏️Eksempel 3: Faktorisere andregradsuttrykk

Faktoriser:
a) $x^2 + 5x + 6$
b) $x^2 - 2x - 15$

a) Vi søker tall som ganget gir 6 og summert gir 5: 2 og 3.
$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

b) Vi søker tall som ganget gir -15 og summert gir -2: 3 og -5.
$x^2 - 2x - 15 = (x + 3)(x - 5)$

📝Oppgave 1.3.3

Faktoriser andregradsuttrykkene.

Faktoriser $x^2 + 7x + 12$

Faktoriser $x^2 - x - 12$

Faktoriser $x^2 + 2x - 35$

Faktoriser $x^2 - 11x + 30$

Løs oppgaven

✏️Eksempel 4: Forenkle algebraiske brøker

Forenkle:
a) $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3}$
b) $\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4}$

a) $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x + 3} = x - 3$

b) $\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4} = \frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x+3}{x-2}$

📝Oppgave 1.3.4

Forenkle de algebraiske brøkene.

Forenkle $\displaystyle \frac{x^2 - 25}{x - 5}$

Forenkle $\displaystyle \frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 - 9}$

Forenkle $\displaystyle \frac{x^2 - 4x - 5}{x^2 - 1}$

Forenkle $\displaystyle \frac{2x^2 - 8}{x^2 + 4x + 4}$

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Faktorisering med felles faktor: Finne og trekke ut den største felles faktoren fra alle ledd ( $ab + ac = a(b + c)$ )
- Kvadratsetningene: Bruke de tre kvadratsetningene til å faktorisere uttrykk
- Faktorisering av andregradsuttrykk: Finne to tall som ganget gir konstantleddet og summert gir koeffisienten foran $x$
- Forenkling av algebraiske brøker: Faktorisere teller og nevner og forkorte felles faktorer

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Faktorisering	Å skrive et uttrykk som et produkt av faktorer
Felles faktor	Den største faktoren som er felles for alle ledd
Første kvadratsetning	$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Andre kvadratsetning	$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Konjugatsetningen	$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
Algebraisk brøk	Brøk der teller og/eller nevner inneholder variabler

Viktige formler

- Felles faktor:

ab + ac = a(b + c)

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver