1.3 Faktorisering og forenkling

Algebra som puslespill

Tenk deg at du har uttrykket $x^2 - 9$. Det ser kanskje enkelt ut, men det gjemmer en hemmelighet: det kan skrives som $(x+3)(x-3)$. Denne "oppdelingen" av uttrykk i faktorer kalles faktorisering, og det er en av de viktigste ferdighetene i algebra.

Hvorfor bryr vi oss? Fordi faktorisering lar oss forenkle brøker, løse likninger og se sammenhenger som ellers er usynlige. Det er som å knekke en kode -- når du ser mønsteret, åpner dørene seg.

Felles faktor -- det enkleste trikset

Å faktorisere betyr å skrive et uttrykk som et produkt av faktorer. Det enkleste tilfellet er når alle leddene har en felles faktor som vi kan "trekke ut".

Grunnregelen er: $ab + ac = a(b + c)$. Vi finner det som er felles og setter det utenfor en parentes.

La oss ta $6x + 9$. Begge leddene er delelige med 3: $6x + 9 = 3(2x + 3)$.

Hva med $4x^2 - 8x$? Her er felles faktor $4x$ (begge leddene har minst $4$ og minst $x$): $4x^2 - 8x = 4x(x - 2)$.

For $15x^2y + 10xy^2$ ser vi at begge leddene inneholder $5xy$: $15x^2y + 10xy^2 = 5xy(3x + 2y)$.

Trikset er å finne den største felles faktoren. $8x + 12$ kan skrives som $2(4x + 6)$, men det er ikke ferdig forenklet! Den største felles faktoren er 4: $8x + 12 = 4(2x + 3)$.

Med tre ledd fungerer det på samme måte: $20x^3 - 8x^2 + 4x$. Alle tre leddene har felles faktor $4x$, så $20x^3 - 8x^2 + 4x = 4x(5x^2 - 2x + 1)$.

Kvadratsetningene -- tre gullformler

Det finnes tre algebraiske identiteter som dukker opp så ofte at de har fått egne navn. Disse tre kvadratsetningene er:

Første kvadratsetning: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Andre kvadratsetning: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Konjugatsetningen: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Vi bruker disse "baklengs" for å faktorisere. Ser du et uttrykk som $x^2 + 6x + 9$? Sjekk om det matcher en av kvadratsetningene. Her er $a = x$ og $b = 3$, for $3^2 = 9$ og $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$. Altså: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.

Hva med $x^2 - 10x + 25$? Her er $a = x$ og $b = 5$: $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$.

Og $x^2 - 16$? Det er en differanse av kvadrater: $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x + 4)(x - 4)$.

Konjugatsetningen er spesielt nyttig fordi differansen av to kvadrater er et svært vanlig mønster. $4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x + 5)(2x - 5)$ -- legg merke til at vi her bruker $a = 2x$ og $b = 5$.

Faktorisere andregradsuttrykk -- finne tallparet

Ikke alle andregradsuttrykk matcher kvadratsetningene. For et generelt uttrykk som $x^2 + 5x + 6$ trenger vi en annen strategi. Vi søker to tall som ganget gir konstantleddet (6) og summert gir koeffisienten foran $x$ (5).

For $x^2 + 5x + 6$: Hvilke to tall ganget gir 6 og summert gir 5? Svaret er 2 og 3, fordi $2 \cdot 3 = 6$ og $2 + 3 = 5$. Altså: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$.

Hva med $x^2 - 2x - 15$? Vi trenger to tall som ganget gir $-15$ og summert gir $-2$. Det er 3 og $-5$, fordi $3 \cdot (-5) = -15$ og $3 + (-5) = -2$. Altså: $x^2 - 2x - 15 = (x + 3)(x - 5)$.

La oss ta et par til: $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$ fordi $3 \cdot 4 = 12$ og $3 + 4 = 7$. Og $x^2 - 11x + 30 = (x - 5)(x - 6)$ fordi $(-5) \cdot (-6) = 30$ og $(-5) + (-6) = -11$.

Pass på fortegnene! Hvis konstantleddet er positivt, har begge tallene likt fortegn (begge positive eller begge negative). Hvis konstantleddet er negativt, har tallene ulikt fortegn.

Forenkle algebraiske brøker

Nå kommer belønningen for all faktoriseringsøvelsen! Algebraiske brøker forenkles ved å faktorisere teller og nevner og deretter forkorte like faktorer.

Ta $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3}$. Vi faktoriserer telleren: $x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$. Da blir brøken $\displaystyle \frac{(x+3)(x-3)}{x+3}$. Faktoren $(x+3)$ finnes i både teller og nevner, så vi kan forkorte: $\displaystyle \frac{(x+3)(x-3)}{x+3} = x - 3$.

Et mer avansert eksempel: $\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4}$. Teller: $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$. Nevner: $x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$. Forkorter $(x+2)$: $\displaystyle \frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x+3}{x-2}$.

La oss ta den vanskeligste: $\displaystyle \frac{2x^2 - 8}{x^2 + 4x + 4}$. I telleren trekker vi ut 2 først: $2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x+2)(x-2)$. Nevneren er $(x+2)^2$. Forkorter én $(x+2)$: $\displaystyle \frac{2(x+2)(x-2)}{(x+2)^2} = \frac{2(x-2)}{x+2}$.

Merk: Vi kan bare forkorte faktorer (ting som er ganget sammen), aldri ledd (ting som er addert). $\displaystyle \frac{x + 3}{x + 5}$ kan IKKE forenkles!

Oppsummering

Faktorisering er å skrive et uttrykk som et produkt. Vi har lært tre hovedmetoder:

1. Felles faktor: $ab + ac = a(b + c)$ -- trekk ut det som er felles for alle ledd.
2. Kvadratsetningene: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, og $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
3. Tallparet: For $x^2 + bx + c$, finn to tall som ganget gir $c$ og summert gir $b$.

For å forenkle algebraiske brøker faktoriserer vi teller og nevner, og forkorter like faktorer. Husk at vi bare kan forkorte faktorer, aldri ledd!