2.2 Andregradslikninger | Matematikk 10. klasse

Løse andregradslikninger med faktorisering og abc-formelen.

60 min

16 oppgaver

AndregradslikningFaktoriseringabc-formelenDiskriminant

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Førstegradslikninger 1.3Faktorisering og forenkling

Brukes videre i

2.4Ulikheter

Andregradslikninger er likninger der den ukjente variabelen opptrer i andre potens. De kan løses ved faktorisering eller ved hjelp av abc-formelen.

Andregradslikning

ax^2 + bx + c = 0

✏️Eksempel 1: Løse ved faktorisering

Løs likningene:
a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
b) $x^2 - 9 = 0$

a) $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$
$x = 2$ eller $x = 3$

b) $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) = 0$
$x = -3$ eller $x = 3$

📝Oppgave 2.2.1

Løs likningene ved faktorisering.

Løs $x^2 + 7x + 12 = 0$

Løs $x^2 - x - 20 = 0$

Løs $x^2 - 16 = 0$

Løs $x^2 + 6x + 9 = 0$

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2: Bruke abc-formelen

Løs likningen $2x^2 - 5x - 3 = 0$

a = 2

b = -5

c = -3

$\displaystyle x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2}$

$\displaystyle x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$

$\displaystyle x_1 = \frac{5 + 7}{4} = 3$ eller $\displaystyle x_2 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$

📝Oppgave 2.2.2

Bruk abc-formelen til å løse likningene.

Løs $x^2 + 4x - 5 = 0$

Løs $2x^2 + 3x - 2 = 0$

Løs $x^2 - 6x + 9 = 0$

Løs $3x^2 - x - 4 = 0$

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 3: Nullpunkter til andregradsfunksjoner

Finn nullpunktene til $f(x) = x^2 - 2x - 8$ .

Setter $f(x) = 0$ :
$x^2 - 2x - 8 = 0$

Ved faktorisering: $(x - 4)(x + 2) = 0$

$x = 4$ eller $x = -2$

Nullpunktene er $(-2, 0)$ og $(4, 0)$ .

📝Oppgave 2.2.3

Finn nullpunktene til funksjonene.

Finn nullpunktene til $f(x) = x^2 - 4x - 12$

Finn nullpunktene til $g(x) = x^2 + 2x - 15$

Finn nullpunktene til $h(x) = 2x^2 - 8x$

Finn nullpunktene til $p(x) = x^2 - 6x + 9$

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4: Praktiske problemer

Et rektangel har areal 48 cm^2. Lengden er 2 cm mer enn bredden. Finn sidene.

La bredden være $x$ cm. Da er lengden $(x + 2)$ cm.

Areal: $x(x + 2) = 48$
$x^2 + 2x - 48 = 0$
$(x + 8)(x - 6) = 0$

$x = 6$ (vi forkaster $x = -8$ )

Bredden er 6 cm og lengden er 8 cm.

📝Oppgave 2.2.4

Sett opp andregradslikning og løs.

Produktet av to påfølgende positive tall er 72. Finn tallene.

En rettvinklet trekant har kateter der den ene er 7 cm lengre enn den andre. Hypotenusen er 13 cm. Finn katetene.

Et kvadratisk område skal utvides med 3 m på hver side. Det nye arealet blir 121 m^2. Finn den opprinnelige sidelengden.

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Andregradslikninger: Likninger på formen $ax^2 + bx + c = 0$ der $a \neq 0$
- Løsning ved faktorisering: Skrive uttrykket som et produkt og bruke nullregelen
- abc-formelen: Bruke $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ for å finne løsninger
- Diskriminanten: Bruke $D = b^2 - 4ac$ til å avgjøre antall løsninger
- Nullpunkter: Finne nullpunktene til andregradsfunksjoner ved å løse $f(x) = 0$

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Andregradslikning	Likning der den ukjente opptrer i andre potens
abc-formelen	$\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Diskriminanten	$D = b^2 - 4ac$ , avgjør antall løsninger
Dobbeltrot	Likningen har kun én løsning ( $D = 0$ )
Nullpunkt	Punkt der grafen krysser $x$ -aksen ( $f(x) = 0$ )
Nullregelen	Hvis $a \cdot b = 0$ , så er $a = 0$ eller $b = 0$

Viktige formler

- abc-formelen:

\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

D > 0

: to ulike løsninger
-

D = 0

: én løsning (dobbeltrot)
-

D < 0

: ingen reelle løsninger

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.