2.1 Førstegradslikninger | Matematikk 10. klasse

Førstegradslikninger er likninger der den ukjente variabelen opptrer i første potens. Vi skal se på ulike teknikker for å løse slike likninger.

Førstegradslikning

ax + b = 0

✏️Eksempel 1: Enkle førstegradslikninger

Løs likningene:
a) $3x + 7 = 22$
b) $5x - 12 = 2x + 9$

a)
$3x + 7 = 22$
$3x = 22 - 7$
$3x = 15$
$x = 5$

b)
$5x - 12 = 2x + 9$
$5x - 2x = 9 + 12$
$3x = 21$
$x = 7$

📝Oppgave 2.1.1

Løs likningene.

Løs $4x - 5 = 19$

Løs $7x + 3 = 2x + 28$

Løs $3(x + 4) = 27$

Løs $2(3x - 1) = 4(x + 2)$

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2: Likninger med brøk

Løs likningene:
a) $\displaystyle \frac{x}{3} + 2 = 5$
b) $\displaystyle \frac{2x-1}{4} = \frac{x+3}{2}$

a)
$\displaystyle \frac{x}{3} + 2 = 5$
$\displaystyle \frac{x}{3} = 3$
$x = 9$

b) Ganger med fellesnevner 4:
$2x - 1 = 2(x + 3)$
$2x - 1 = 2x + 6$
$-1 = 6$ (ingen løsning)

📝Oppgave 2.1.2

Løs likningene.

Løs $\displaystyle \frac{x}{4} - 3 = 2$

Løs $\displaystyle \frac{2x + 1}{3} = 5$

Løs $\displaystyle \frac{x-2}{3} = \frac{x+4}{5}$

Løs $\displaystyle \frac{3x}{2} - \frac{x}{4} = 5$

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 3: Likninger med parenteser

Løs likningen:
$3(2x - 4) - 2(x + 1) = 4x + 6$

6x - 12 - 2x - 2 = 4x + 6

4x - 14 = 4x + 6

-14 = 6

Dette er en selvmotsigelse, så likningen har ingen løsning.

📝Oppgave 2.1.3

Løs likningene.

Løs $5(x - 2) + 3(x + 4) = 34$

Løs $4(2x - 3) = 2(4x + 1) - 14$

Løs $2(x + 5) - 3(x - 2) = 20$

Løs $\displaystyle \frac{2(x-1)}{3} + \frac{x+2}{2} = 4$

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4: Praktisk problem

En rektangulær hage har omkrets 56 meter. Lengden er 4 meter mer enn bredden. Finn dimensjonene.

La bredden være $x$ meter. Da er lengden $(x + 4)$ meter.

Omkrets: $2x + 2(x + 4) = 56$
$2x + 2x + 8 = 56$
$4x = 48$
$x = 12$

Bredden er 12 m og lengden er 16 m.

📝Oppgave 2.1.4

Sett opp likning og løs problemene.

Summen av tre påfølgende tall er 72. Finn tallene.

En trekant har omkrets 45 cm. Den ene siden er dobbelt så lang som den korteste, og den tredje er 5 cm kortere enn den lengste. Finn sidene.

Per er 3 ganger så gammel som Kari. Om 10 år vil Per være dobbelt så gammel som Kari. Hvor gamle er de nå?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Førstegradslikninger: Løse likninger på formen $ax + b = 0$ ved å isolere den ukjente
- Likninger med brøk: Fjerne brøker ved å gange med fellesnevneren på begge sider
- Likninger med parenteser: Løse opp parenteser og samle like ledd
- Spesielle tilfeller: Gjenkjenne likninger uten løsning (selvmotsigelse) og likninger der alle verdier er løsning
- Praktiske problemer: Sette opp og løse likninger fra tekstoppgaver

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Førstegradslikning	Likning der den ukjente opptrer i første potens ( $ax + b = 0$ )
Likhetstegnet	Vi kan gjøre samme operasjon på begge sider uten å endre løsningen
Fellesnevner	Brukes til å fjerne brøker i likninger
Ingen løsning	Oppstår når forenklingen gir en selvmotsigelse (f.eks. $3 = 7$ )
Uendelig mange løsninger	Oppstår når forenklingen gir en identitet (f.eks. $0 = 0$ )

Viktige formler

- Standardform:

\displaystyle ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}

- Samle

x

-ledd: flytt alle ledd med

x

til én side
- Fjerne brøker: gang begge sider med fellesnevneren

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver