1.4 Potenser med rasjonale eksponenter | Matematikk 10. klasse

Potenser med brøkeksponenter og sammenhengen med røtter.

45 min

12 oppgaver

PotenserBrøkeksponenterRøtterPotensregler

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.1Regning med røtter

Potenser med brøkeksponenter gir oss en elegant måte å skrive røtter på. Dette knytter sammen potensregning og rotutdragning.

Rasjonale eksponenter

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

✏️Eksempel 1: Skrive om mellom røtter og potenser

Skriv om:
a) $\sqrt{5}$ som potens
b) $\sqrt[3]{x^2}$ som potens
c) $\displaystyle x^{\frac{3}{4}}$ som rot

a) $\displaystyle \sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$

b) $\displaystyle \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$

c) $\displaystyle x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}$

📝Oppgave 1.4.1

Skriv om mellom røtter og potenser.

Skriv $\sqrt[3]{7}$ som potens

Skriv $\sqrt[4]{x^3}$ som potens

Skriv $\displaystyle a^{\frac{2}{5}}$ med rottegn

Skriv $\sqrt{x^3}$ som potens

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2: Beregne potenser med brøkeksponent

Regn ut uten kalkulator:
a) $\displaystyle 16^{\frac{1}{2}}$
b) $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}}$
c) $\displaystyle 81^{\frac{3}{4}}$

a) $\displaystyle 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$

b) $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$

c) $\displaystyle 81^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27$

📝Oppgave 1.4.2

Regn ut uten kalkulator.

Regn ut $\displaystyle 25^{\frac{1}{2}}$

Regn ut $\displaystyle 27^{\frac{1}{3}}$

Regn ut $\displaystyle 16^{\frac{3}{4}}$

Regn ut $\displaystyle 32^{\frac{2}{5}}$

Løs oppgaven Tren

Potensregler

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

✏️Eksempel 3: Forenkle med potensregler

Forenkle:
a) $\displaystyle x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}$
b) $\displaystyle \frac{a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}}$
c) $\displaystyle (x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}}$

a) $\displaystyle x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} = x^2$

b) $\displaystyle \frac{a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{5}{3} - \frac{2}{3}} = a^1 = a$

c) $\displaystyle (x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} = x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

📝Oppgave 1.4.3

Forenkle uttrykkene.

Forenkle $\displaystyle x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}}$

Forenkle $\displaystyle \frac{a^{\frac{7}{4}}}{a^{\frac{3}{4}}}$

Forenkle $\displaystyle (y^{\frac{4}{5}})^{\frac{5}{2}}$

Forenkle $\displaystyle x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}$

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4: Negative eksponenter

Regn ut:
a) $\displaystyle 4^{-\frac{1}{2}}$
b) $\displaystyle 27^{-\frac{2}{3}}$

a) $\displaystyle 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

b) $\displaystyle 27^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{27})^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

📝Oppgave 1.4.4

Regn ut uten kalkulator.

Regn ut $\displaystyle 9^{-\frac{1}{2}}$

Regn ut $\displaystyle 8^{-\frac{1}{3}}$

Regn ut $\displaystyle 16^{-\frac{3}{4}}$

Regn ut $\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}$

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Brøkeksponenter og røtter: Sammenhengen mellom potenser med brøkeksponent og røtter ( $\displaystyle a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ )
- Generell brøkeksponent: Tolke og beregne $\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$
- Potensregler med brøkeksponenter: Bruke potensreglene for multiplikasjon, divisjon og potens av potens
- Negative eksponenter: Beregne potenser med negative brøkeksponenter ( $\displaystyle a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$ )

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Brøkeksponent	Eksponent på formen $\displaystyle \frac{m}{n}$ som knytter potenser og røtter sammen
$n$ -te rot	$\displaystyle \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ , tallet som opphøyd i $n$ gir $a$
Negativ eksponent	$\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ , gir den inverse verdien

Viktige formler

\displaystyle a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

- $\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
- $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
- $\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.