1.4 Potenser med rasjonale eksponenter

Når potenser og røtter møtes

Du vet allerede at $2^3 = 8$ og at $\sqrt[3]{8} = 2$. Men hva om vi skrev $\displaystyle 8^{\frac{1}{3}}$? Det betyr nøyaktig det samme som $\sqrt[3]{8}$! Brøkeksponenter er en elegant måte å skrive røtter på, og de knytter sammen to av algebras kraftigste verktøy: potensregning og rotutdragning.

I dette kapittelet skal vi lære å oversette mellom røtter og potenser, regne med brøkeksponenter, og bruke potensreglene på en helt ny måte.

Sammenhengen mellom røtter og potenser

En potens med brøkeksponent defineres slik:

$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$

Nevneren i brøkeksponenten forteller oss hvilken rot vi tar. $\displaystyle a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$ (kvadratrot), $\displaystyle a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$ (kubikkrot), $\displaystyle a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}$ (fjerde rot), og så videre.

Hva om telleren er noe annet enn 1? Da har vi:

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$$

Telleren er potensen, nevneren er roten. For eksempel: $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$. Og $\displaystyle 27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$.

La oss oversette begge veier. Fra rot til potens: $\displaystyle \sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$ og $\displaystyle \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$. Fra potens til rot: $\displaystyle x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}$ og $\displaystyle a^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{a^2}$.

Denne sammenhengen er ikke bare teoretisk pen -- den gjør at vi kan bruke alle potensreglene på røtter!

Beregne potenser med brøkeksponent

Nå som vi vet sammenhengen, la oss regne ut noen verdier. Strategien er enkel: ta roten først, deretter potensen. Det gir mye mindre tall å jobbe med.

$\displaystyle 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$. Enkelt -- vi tar bare kvadratroten.

$\displaystyle 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$. Vi tar kubikkroten av 8 (som er 2) og kvadrerer.

$\displaystyle 81^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27$. Fjerde roten av 81 er 3, og $3^3 = 27$.

$\displaystyle 32^{\frac{2}{5}} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4$. Femte roten av 32 er 2, og $2^2 = 4$.

Merk at det er mye lettere å ta roten først! Hvis vi i stedet prøvde $\displaystyle 81^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{81^3} = \sqrt[4]{531441}$... vel, det er ikke akkurat noe vi gjør i hodet. Men $(\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27$ er overkommelig.

Potensregler med brøkeksponenter

Det vakre med brøkeksponenter er at alle de vanlige potensreglene fortsatt gjelder:

- Multiplikasjon: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
- Divisjon: $\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
- Potens av potens: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
- Produktregel: $(ab)^n = a^n \cdot b^n$

La oss se disse i aksjon med brøkeksponenter.

$\displaystyle x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} = x^{\frac{4}{2}} = x^2$

$\displaystyle \frac{a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{5}{3} - \frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{3}} = a^1 = a$

$\displaystyle (x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} = x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = x^{\frac{6}{12}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

Legg merke til at vi bare bruker vanlig brøkregning med eksponentene -- legger sammen ved multiplikasjon, trekker fra ved divisjon, og ganger ved potens av potens. Og det fine er at vi ofte ender opp med pene, forenklede uttrykk.

Negative eksponenter

Hva skjer når eksponenten er negativ? En negativ eksponent betyr "ta den inverse":

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

La oss kombinere dette med brøkeksponenter.

$\displaystyle 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

$\displaystyle 27^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{27})^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

$\displaystyle 16^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{(\sqrt[4]{16})^3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Og her er et triks som er verdt å huske: når grunntallet selv er en brøk, snur den negative eksponenten brøken!

$\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$

Å ha negativ eksponent er som å si "flytt meg fra teller til nevner" (eller omvendt). Kombinert med brøkeksponenten som sier "ta denne roten og potensen", gir det oss enorm fleksibilitet.

Oppsummering

Brøkeksponenter gir en alternativ skrivemåte for røtter: $\displaystyle a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ og $\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.

Potensreglene gjelder også for brøkeksponenter: vi adderer eksponenter ved multiplikasjon ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), subtraherer ved divisjon ($a^m / a^n = a^{m-n}$), og multipliserer eksponenter ved potens av potens ($(a^m)^n = a^{mn}$).

Negative eksponenter betyr invers: $\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Kombinert med brøkeksponenter kan vi skrive uttrykk som $\displaystyle 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.

Nøkkelstrategien er: ta roten først, deretter potensen -- det gir de minste tallene å jobbe med.