2.1 Førstegradslikninger

Jakten på det ukjente

Tenk deg at du har en vekt som er i perfekt balanse. På den ene siden ligger noen kjente vekter og en mystisk boks. På den andre siden ligger bare kjente vekter. Hvor tung er den mystiske boksen? For å finne svaret må du manipulere vekten uten å forstyrre balansen. Det er akkurat dette vi gjør når vi løser likninger!

En likning er et utsagn om at to ting er like. Venstre side er lik høyre side, og vår jobb er å finne ut hvilken verdi den ukjente variabelen har. I dette kapittelet starter vi med førstegradslikninger -- den mest grunnleggende typen, der $x$ bare opptrer i første potens.

Grunnprinsippet: gjør det samme på begge sider

En førstegradslikning kan alltid skrives på formen $ax + b = 0$ der $a \neq 0$. Løsningen er $\displaystyle x = -\frac{b}{a}$.

Men i praksis ser likninger sjelden så ryddige ut. Vi bruker et enkelt prinsipp: vi kan gjøre det samme på begge sider av likhetstegnet. Legge til, trekke fra, gange, dele -- alt er lov, bare vi gjør det på begge sider.

La oss løse $3x + 7 = 22$. Vi vil isolere $x$, så vi trekker fra 7 på begge sider: $3x = 15$. Deretter deler vi på 3: $x = 5$.

Hva om $x$ er på begge sider? Ta $5x - 12 = 2x + 9$. Vi samler $x$-leddene på venstre side: $5x - 2x = 9 + 12$, som gir $3x = 21$, altså $x = 7$.

Her er noen til å øve på mentalt: $4x - 5 = 19$ gir $4x = 24$, altså $x = 6$. Og $7x + 3 = 2x + 28$ gir $5x = 25$, altså $x = 5$.

Strategien er alltid den samme: samle $x$-leddene på én side og tallene på den andre, og løs for $x$.

Likninger med brøk -- fjern brøkene!

Brøker i likninger kan se skremmende ut, men det finnes et triks: gang hele likningen med fellesnevneren. Da forsvinner alle brøkene, og du sitter igjen med en vanlig likning.

Ta $\displaystyle \frac{x}{3} + 2 = 5$. Trekk fra 2: $\displaystyle \frac{x}{3} = 3$. Gang med 3: $x = 9$.

Et vanskeligere eksempel: $\displaystyle \frac{2x-1}{4} = \frac{x+3}{2}$. Fellesnevner er 4, så vi ganger hele likningen med 4: $2x - 1 = 2(x + 3)$. Løser opp: $2x - 1 = 2x + 6$, som gir $-1 = 6$. Det er en selvmotsigelse! Denne likningen har ingen løsning.

Ja, det kan faktisk skje -- noen likninger har ingen løsning. Det betyr at det ikke finnes noen verdi av $x$ som gjør likningen sann.

La oss ta et par til som har løsning: $\displaystyle \frac{x}{4} - 3 = 2$ gir $\displaystyle \frac{x}{4} = 5$, altså $x = 20$. Og $\displaystyle \frac{x-2}{3} = \frac{x+4}{5}$ -- gang med fellesnevner 15: $5(x-2) = 3(x+4)$, som gir $5x - 10 = 3x + 12$, altså $2x = 22$ og $x = 11$.

Med flere brøkledd kan vi samle dem: $\displaystyle \frac{3x}{2} - \frac{x}{4} = 5$. Gang med fellesnevner 4: $6x - x = 20$, altså $5x = 20$ og $x = 4$.

Likninger med parenteser -- og spesielle tilfeller

Når likninger har parenteser, må vi først gange ut (løse opp parentesene) og deretter samle leddene.

La oss ta $5(x - 2) + 3(x + 4) = 34$. Ganger ut: $5x - 10 + 3x + 12 = 34$. Samler: $8x + 2 = 34$, som gir $8x = 32$ og $x = 4$.

Men noen ganger får vi overraskelser. Ta $3(2x - 4) - 2(x + 1) = 4x + 6$. Ganger ut: $6x - 12 - 2x - 2 = 4x + 6$. Samler venstre side: $4x - 14 = 4x + 6$. Trekker fra $4x$: $-14 = 6$. Det er umulig! Denne likningen har ingen løsning.

Og en til: $4(2x - 3) = 2(4x + 1) - 14$. Ganger ut: $8x - 12 = 8x + 2 - 14$, altså $8x - 12 = 8x - 12$. Det er alltid sant! Denne likningen har uendelig mange løsninger -- alle verdier av $x$ er løsninger.

Så det finnes tre muligheter for en førstegradslikning: nøyaktig én løsning (det vanligste), ingen løsning (selvmotsigelse), eller uendelig mange løsninger (identitet).

Praktiske problemer -- sette opp likninger

Den virkelige kraften i likninger viser seg når vi bruker dem til å løse problemer fra virkeligheten. Nøkkelen er å oversette problemet til en likning.

Problem 1: En rektangulær hage har omkrets 56 meter. Lengden er 4 meter mer enn bredden. Finn dimensjonene.

La bredden være $x$ meter. Da er lengden $(x + 4)$ meter. Omkretsen er $2x + 2(x + 4) = 56$. Løser: $2x + 2x + 8 = 56$, altså $4x = 48$ og $x = 12$. Bredden er 12 m og lengden er 16 m.

Problem 2: Summen av tre påfølgende tall er 72. Finn tallene.

La det første tallet være $x$. De tre tallene er $x$, $x+1$ og $x+2$. Likning: $x + (x+1) + (x+2) = 72$, som gir $3x + 3 = 72$, altså $3x = 69$ og $x = 23$. Tallene er 23, 24 og 25.

Problem 3: Per er 3 ganger så gammel som Kari. Om 10 år vil Per være dobbelt så gammel som Kari. Hvor gamle er de nå?

La Kari være $x$ år. Per er $3x$ år. Om 10 år: $3x + 10 = 2(x + 10)$. Løser: $3x + 10 = 2x + 20$, altså $x = 10$. Kari er 10 år og Per er 30 år.

Strategien er alltid: definer den ukjente med en variabel, sett opp en likning, og løs.

Oppsummering

Førstegradslikninger er likninger der $x$ opptrer i første potens. Vi løser dem ved å gjøre det samme på begge sider av likhetstegnet, med mål om å isolere $x$.

For likninger med brøk ganger vi med fellesnevneren for å fjerne brøkene. For likninger med parenteser løser vi opp parentesene først.

En likning kan ha én løsning (det vanlige), ingen løsning (selvmotsigelse som $-1 = 6$), eller uendelig mange løsninger (identitet som $0 = 0$).

For praktiske problemer definerer vi den ukjente med en variabel, oversetter problemet til en likning, og løser.