2.4 Ulikheter | Matematikk 10. klasse

Løse første- og andregradsulikheter.

50 min

12 oppgaver

UlikheterFørstegradsulikhetAndregradsulikhetFortegnslinje

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Andregradslikninger

Ulikheter er matematiske utsagn som beskriver at en størrelse er større eller mindre enn en annen. Vi skal lære å løse ulikheter og uttrykke løsningene.

Ulikheter

<

✏️Eksempel 1: Førstegradsulikheter

Løs ulikhetene:
a) $3x - 7 > 8$
b) $-2x + 5 \leq 11$

a)
$3x - 7 > 8$
$3x > 15$
$x > 5$

b)
$-2x + 5 \leq 11$
$-2x \leq 6$
$x \geq -3$ (snur tegnet!)

📝Oppgave 2.4.1

Løs ulikhetene.

Løs $4x + 3 > 19$

Løs $5 - 2x \geq 13$

Løs $3(x - 2) < 2(x + 1)$

Løs $\displaystyle \frac{x - 1}{3} \leq 2$

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2: Doble ulikheter

Løs ulikheten $-3 < 2x + 1 \leq 7$

Trekker fra 1 fra alle ledd:
$-4 < 2x \leq 6$

Deler på 2:
$-2 < x \leq 3$

Løsningsmengden er alle $x$ slik at $-2 < x \leq 3$ .

📝Oppgave 2.4.2

Løs de doble ulikhetene.

Løs $1 < 3x - 2 < 10$

Løs $-5 \leq 2x + 3 \leq 9$

Løs $\displaystyle 0 < \frac{x + 1}{2} \leq 4$

Løs $-2 < 1 - x < 5$

Løs oppgaven Tren

Fortegnsskjema

For å løse andregradsulikheter bruker vi fortegnsskjema : 1. Finn nullpunktene til uttrykket 2. Tegn en tallinje med nullpunktene 3. Bestem fortegnet i hvert intervall 4. Les av løsningen

✏️Eksempel 3: Andregradsulikheter

Løs ulikheten $x^2 - 4x - 5 > 0$

Faktorserer: $(x - 5)(x + 1) > 0$

Nullpunkter: $x = 5$ og $x = -1$

Fortegnsskjema:
- For $x < -1$ : $(-)(-) = +$ (positiv)
- For $-1 < x < 5$ : $(+)(-) = -$ (negativ)
- For $x > 5$ : $(+)(+) = +$ (positiv)

Løsning: $x < -1$ eller $x > 5$

📝Oppgave 2.4.3

Løs andregradsulikhetene.

Løs $x^2 - 9 > 0$

Løs $x^2 - 2x - 8 \leq 0$

Løs $x^2 + 4x + 3 < 0$

Løs $x^2 - 6x + 9 \geq 0$

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4: Praktisk anvendelse

En ball kastes opp. Høyden (i meter) etter $t$ sekunder er $h(t) = -5t^2 + 20t$ . Når er ballen høyere enn 15 meter?

-5t^2 + 20t > 15

-5t^2 + 20t - 15 > 0

t^2 - 4t + 3 < 0

(deler på -5, snur tegnet)

(t - 1)(t - 3) < 0

$1 < t < 3$

Ballen er høyere enn 15 meter mellom 1 og 3 sekunder.

📝Oppgave 2.4.4

Løs praktiske problemer med ulikheter.

Arealet av et rektangel med bredde $x$ og lengde $(x + 4)$ skal være minst 45 cm^2. Finn mulige verdier for $x$ .

En ball kastes med høyde $h(t) = -4t^2 + 24t$ . Når er ballen over 32 meter?

En produsent har fortjeneste $P(x) = -2x^2 + 100x - 800$ kr ved salg av $x$ enheter. For hvilke $x$ er fortjenesten positiv?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Førstegradsulikheter: Løse ulikheter med $<$ , $>$ , $\leq$ og $\geq$ på samme måte som likninger
- Snu ulikhetstegnet: Når du ganger eller deler med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus
- Doble ulikheter: Løse ulikheter på formen $a < bx + c < d$ ved å gjøre samme operasjon på alle tre ledd
- Andregradsulikheter: Bruke faktorisering og fortegnsskjema for å finne løsningen
- Praktiske anvendelser: Bruke ulikheter til å løse problemer med arealer, høyder og fortjeneste

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Ulikhet	Matematisk utsagn med $<$ , $>$ , $\leq$ eller $\geq$
Løsningsmengde	Alle verdier av $x$ som gjør ulikheten sann
Dobbel ulikhet	Ulikhet med tre ledd, f.eks. $a < x < b$
Fortegnsskjema	Verktøy for å bestemme fortegnet til et uttrykk i ulike intervaller
Snu ulikhetstegnet	Nødvendig når man ganger/deler med negativt tall

Viktige formler

- Førstegradsulikhet:

\displaystyle ax + b > 0 \Rightarrow x > -\frac{b}{a}

(for

a > 0

)
- Andregradsulikhet: Faktoriser, finn nullpunkter, bruk fortegnsskjema
- Husk: Ganger/deler med negativt tall

\Rightarrow

snu tegnet

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.